Übungen Grundlagen der Schwingungslehre

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1 Übungen Grundlagen der Schwingungslehre Aufg. 1: Fundamentale Begriffe der Systemtheorie und Schwingungslehre (Linearität und Zeitinvarianz) In der Systemtheorie geht es um den Zusammenhang zwischen Signal-System-Signal unter Anwendung der Black-Box-Methode im weiteren Sinne. Die systemtheoretische Betrachtung schließt eine vertiefte Darstellung der Signal- und Systembegriffe mit ein. Im Fall linearer zeitinvarianter Systeme herrscht völlige Gleichberechtigung zwischen Zeit- und Spektralsignalen bzw. -begriffen. Es existieren Querverbindungen verschiedener Beschreibungsformen (Abtasttheoreme, Faltung, Korrelation). Ingenieurmäßiges oder zweckmäßiges Arbeiten gestattet die eduzierung auf die wesentlichen Zusammenhänge. Auf eine Wahrung des Abbildes der tatsächlichen Verhältnisse auf die Modellbildung kann verzichtet werden, da es in der egel um das Erkennen der wesentlichen Zusammenhänge geht. Dies rechtfertigt das System näherungsweise zu beschreiben. In diesem Sinne stellen die linearen zeitinvarianten Systeme eine wichtige Klasse von Modellen dar. Für eine große Zahl von Anwendungsfällen können die Nichtlinearitäten und Zeitabhängigkeiten vernachlässigt werden oder aber die Betriebsbedingungen sind so zu gestalten, dass diese vernachlässigbar sind. a) Definieren Sie die analytischen Eigenschaften einer linearen zeitinvarianten Abbildung (Linearität und Homogenität) b) Bei der dynamischen Untersuchung Ihrer Konstruktion in Abb. 1 Abb.: 1: Mechanischer Schwinger (ad auf Fahrbahn) erhalten Sie eine gewöhnliche Differentialgleichung vom Typ: Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack

2 d f df a () t + b () t + c f() t = e() t. dt dt Handelt es sich bei Ihrer Konstruktion um ein lineares zeitinvariantes System? Beweisen Sie Ihre Aussagen. c) Bei einer anderen Aufgabenstellung erhalten Sie die Differentialgleichung d f ( x ) + x f ( x ) + sin( f ( x )) = 0. dx Es stellt sich die Frage, ob hier ein lineares zeitinvariantes System vorliegt? Beweisen Sie Ihre Aussage. d) Für eine Kraftmessung bei einem mechanischen schwingungsfähigen Gebilde verwenden Sie eine DMS-Messbrücke mit integrierter Elektronik. Die Sensorgleichung folgt im Arbeitsbereich D F = [-10N,10N] dem Gesetz: uf = mf F + cf. Stellt dieses Messsystem ein lineares zeitinvariantes System dar? Aufgrund von aumtemperaturschwankungen verändern sich die Eigenschaften der elektrischen und mechanischen Komponenten des Messsystems. Nehmen wir an, der wesentliche Effekt artikuliert sich in den elektronischen Komponenten des Kraftaufnehmers, indem die Offsetspannung c F und der Sensorparameter m F sich in Abhängigkeit von der Temperatur ändert. Die typischen Werte der linearen Terme der Temperaturfunktionen liegen hierbei in der Größenordnung von: dcf dm ( τ F A) 1mV/ C und ( τ A) 100 µv / C. dτ dτ Definieren Sie die allgemeine temperaturabhängige Sensorgleichung und untersuchen Sie, ob ein lineares zeitinvariantes System vorliegt oder nicht. Aufg. : Die Idee des komplexen Ansatzes Das Ausgangssignal eines physikalischen Systems berechnet sich über den das System charakterisierenden Operator zu at () = L rt (), mit L: r( t) a( t) und r: t r( t) Führt man nun nach Garbor eine komplexe Erweiterung i(t) i: t i( t) zum physikalischen Signal r(t) ein, so erhält man das komplexe Signal φ () t = r() t + ji(), t j = 1. Wobei zu bemerken ist, dass offen gelassen wurde, wie die komplexe Ergänzung i(t) auszusehen hat. An sie wird nur die Forderung gestellt, ein physikalisches Signal zu sein. - - Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack

3 Wendet man den Systemoperator L auf das komplexe Signal an, so erhält man formal at () = L rt () + jit () Bei einem linearen Operator oder System gilt der Superpositionssatz, so dass man ferner at () = L rt () + L jit () notieren kann. Zur Erinnerung sei bemerkt, dass die komplexen Zahlen auf einer Erweiterung der reellen Zahlen beruhen. Ihre Entstehung verdanken die komplexen Zahlen historisch im wesentlichen den Bemühungen, die Probleme der Auflösung algebraischer Gleichungen in einer abgerundeten Form darstellen zu können. In der Systemtheorie und Schwingungslehre erlaubt die komplexe Erweiterung in der egel eine transparente Darstellung der Operationen, die das System charakterisieren. Aufgrund der Einbettung der komplexen Zahlen in die Arithmetik der reellen Zahlen, kann man die imaginäre Einheit als Faktor deuten, so dass der Homogenität der linearen Abbildung zur Folge, ferner auch at () = L rt () + jl it () notiert werden kann. Wir definieren hierbei letztlich nur formal die Benutzung der komplexen Einheit im Zusammenhang mit dem Systemoperator. Da i(t) ein physikalisches Signal repräsentiert, kann formal eine Systemantwort L{i(t)} berechnet werden. Bildet man den ealteil des komplexen Ausgangssignals, so erhält man e { L{ φ ( t) }} = L{ r( t) }. Da ferner rt () = e { φ() t} ist, gilt e { L{ φ( t) }} L e { φ( t) } =. a) Interpretieren Sie das Ergebnis. b) Verwenden Sie die Garborsche Idee der komplexen Ergänzung bei dem System mit dem Operator 1 L{ r() t } = r () t. Berechnen Sie die Systemantwort über den komplexen Ansatz und vergleichen Sie das Ergebnis mit der klassischen Berechnungsmethode. Welche Schlussfolgerung lässt sich ziehen? Was hätten Sie erwartet? c) Welche komplexe Ergänzung halten Sie bei den Signalen r(t) für sinnvoll r(t) ( ω ) x cos k t k 0 ( ω + ϕ ) x cos k t k 0 0 i(t) 1 Leistungsbegriffe in der Mechanik und Elektrotechnik sind proportional zu Signalquadraten Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack

4 Begründen Sie Ihre Entscheidung und geben Sie ein Beispiel für die Vorteile der Garborschen Idee an (z. B. Differential des Zeitsignals berechnen). d) Lässt sich das komplexe Signal messtechnisch erfassen? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie einen Messaufbau an. Aufg. 3: Faltungssatz und Anwendungen (Fourier-, Laplace-Transformation und Fremderregung harmonischer Schwinger) Für lineare zeitinvariante Systeme gilt der Faltungssatz: + at ( ) = L{ e( τ )}( t) = gt ( τ) e( τ)dτ. a) Zeigen Sie, dass die Linearität und Zeitinvarianz eine hinreichende Bedingung für die Gültigkeit des Faltungssatzes ist. Die Linearität und Zeitinvarianz ist zugleich auch eine notwendige Bedingung. b) Mit Hilfe der Fourier- oder Laplace-Transformation lässt sich die Faltung in ein Produkt der Fourieroder Laplace-Transformierten der Gewichts- und Eingangsfunktion g(t) und e(t) überführen: e(t) L{} Le { ()}() τ t + L e( τ) ( t) = g( t τ) e( τ)dτ ( ω) = ( ω) ( ω),mit ( ω) =I{ ()}( ω) A j G j E j F j f t j Sie stehen vor der Aufgabe, das unbekannte Übertragungsverhalten G ( jω ) zu bestimmen. Welche Möglichkeiten stehen Ihnen zur Verfügung? Geben Sie einige typische Erregungsfunktionen und deren Spektren an und diskutieren Sie die praktischen Gesichtspunkte bei der Auswahl und Erzeugung von Erregersignalen. c) In einem Sensorsystem wird der Betrag eines physikalischen Signals bestimmt. Das Messsystem hat folgende Struktur: x I x S x SB Sensor y = x Abb. : Blockschaltbild eines betragsbildenden Sensorsystems Sie stehen vor der Aufgabe das Gesamtübertragungsverhalten des Sensorsystems zu bestimmen. Wenn möglich, geben Sie die Übertragungsfunktion G ( jω ) an. Diskutieren Sie Ihr Ergebnis. Wie wäre die Gesamtübertragungsfunktion prinzipiell zu bestimmen? d) Es liege ein fremderregtes Feder-Masse-System mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung vor (siehe Abbildung Abb. 5). Die Masse des Systems sei in der punktförmigen Masseverteilung m vereinigt. Die Feder und das Dämpfungssystem seien masselos. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf. Zur Standardisierung gehen Sie anschließend von der DGL Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack

5 a d d () () () () d a t + b d a t + t t ca t = e t aus. Mit Hilfe der Laplace-Transformation und unter Annahme verschwindender Anfangsbedingungen bestimmen Sie die Laplace-Transformierte G(s) der Gewichtsfunktion. Für die anschließende Diskussion können Sie von einer weiteren Standardisierung Gebrauch machen. Gegen Sie hierzu von der Laplace-Transformierten As () k Gs () = = Es () T0 s + DT0 + 1 aus. Diese Form der Darstellung hat, wie Sie sehen werden, gewisse Vorteile. Bestimmen Sie Eigenresonanzfrequenz f 0 = 1 T 0 und das Lehrsche Dämpfungsmaß D aus den Koeffizienten der standardisierten DGL. Wählen Sie als Sprungfunktion den Einheitssprung und geben Sie die Systemantwort im Laplace- und Zeitbereich an. Unterscheiden Sie hierbei zwei Fälle: a) Fall 1 für 0 D < 1 und b) Fall für 1 < D Charakterisieren Sie diese beiden Fälle bzw. geben Sie eine physikalische Interpretation an. Vergleichen Sie die Operatorenschreibweise der DGL mit der Laplace-Transformierten. Welche formale Analogie fällt Ihnen auf? Bemerkung: Die Laplace-Transformation führt die Lösung von linearen zeitinvarianten Differentialgleichungen auf die Lösung von algebraischen Gleichungen zurück. Nutzen Sie diese Tatsache bei der Bestimmung der Sprungantwort und greifen Sie ferner auf Korrespondenztabellen zurück Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack