Das Integral T e (x+iω)t := 1

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1 1 Das Integral T e (+i)t := 1 t t e τ t e (+i)τ dτ. 1) I. Es sei die Funktion ei : IR IR definiert durch ei(z) := z e y dy. (1) Dann gilt für IR und t > Satz 1: F () : = e cos d = e, () G() : = e sin d = e ( ei ), (3) und H() := F () + ig() = e e i d = e 1 + i ei ( Beweis für (). Auf Grund der gleichmäßigen Konvergenz des Integrales ( ) e cos d = e sin d auf IR ist F () = e sin d. ). () Durch partielle Integration mit den Setzungen u = e, v = 1 sin und u = e, v = cos folgt F () = e sin e cos d = F (). 1) Die Bedeutung des linearen Operators T :C (, ) C (, ) besteht in folgendem Zusammenhang mit der durch den linearen Operator L symbolisierten Laplace-Transformation: Ist Lf(t) = e st dt = F (s) und ˆf(t) = T f(t), so ist T Lf(t) = F ( s) bzw. L ˆf(t) = F ( s).

2 Diese homogene lineare Differentialgleichung hat die allgemeine Lösung F () = Ce mit einer willkürlichen Konstanten C IR, für welche dann C = 1 wegen F () = e d = 1 und somit F () = e gelten muß. Beweis für (). Auf Grund der gleichmäßigen Konvergenz des Integrales ( ) e sin d = e cos d auf IR ist G () = e cos d. Durch partielle Integration mit den Setzungen u = e, v = 1 cos und u = e, v = sin folgt G () = e cos e sin d = 1 G(). Diese lineare jetzt inhomogene Differentialgleichung hat die homogene Lösung G h () = Ce mit einer willkürlichen Konstanten C; zur Konstruktion einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung dient (mit einer zu bestimmenden Funktion c())) der Ansatz G p () = c()e ; er liefert G p() + G p() = c ()e c() + c() Daraus folgt e c () = 1 e e = 1. und damit Somit ist c() = c (y)dy = 1 G() = e e y dy = C + ei ( ) e z dz = ei ( ). und wegen G() = G() = e ei ( ).

3 3 II. Sei weiter für (, ) IR F (, ) : = e z cos zdz, (5) G(, ) : = e z sin zdz. (6) sowie durch Zusammenfassen H(, ) := F (, ) + i G(, ) = e z e iz dz. (7) Satz : Es gilt für (, ) IR F (, ) = e G(, ) = e e H(, ) = e Beweis für (8): Es gilt erfc() e erfc() + ie e y sin ydy. (8) e y cos ydy, (9) F = ze z sin zdz ; e y e iy dy. (1) daraus wird durch partielle Integration mit den Setzungen u (z) = ze z, v(z) = 1 sin z sowie u(z) = e z, v (z) = cos z F (, ) also = e z sin z Mit dem partikulären Integral e e 1 e z cos zdz = e sin F (, ), F + F = e sin. e z sin zdz = e e e y sin ydy

4 wird F (, ) = e c() e e y sin ydy. Dabei ist c() = 1 wegen F (, ) = F () = e für IR. Durch Bildung der partiellen Ableitung von (5) nach der Variablen folgt einerseits F (, ) = und unter Berücksichtigung von e z cos zdz = e cos, ye y cos ydy = 1 ( ) e cos 1 + e y sin ydy andererseits F (, ) = e = e = e = e daraus folgt c () = e c() = c() + c() e c () + e e e y sin ydy e y sin ydy ye y cos ydy c () + e ( 1 e cos ) c () + e e cos = e cos ; und c (ξ)dξ = 1 e ξ dξ = 1 erf() = erfc(). Somit ist (8) gezeigt. Zur Berechnung des Integrales (9) ist zunächst G(, ) = ze z cos zdz und analog durch partielle Integration mit den Setzungen u = ze z, v = und u = e z, v = sin z ist G = ze z cos zdz = 1 e z cos z = 1 e cos G, e z sin zdz cos z

5 5 also G(, ) Lösung der linearen inhomogenen Differentialgleichung Mit dem partikulären Integral e e 1 G + G = 1 e cos. e z cos zdz = e e e y cos ydy wird G(, ) = e c() + e e y cos ydy, wobei G(, ) = G() = e ei( ) für IR. Partielle Differentiation führt zu G(, ) dabei wurde von = e = e c () e e y cos ydy e ( c () ) e e sin ye y sin ydy = 1 e y sin y Gebrauch gemacht, sodaß für G(, ) = = 1 e sin ; ye y sin ydy e y cos ydy e y cos ydy e z sin zdz = e sin = e c () e sin, also c () = und c() = c() folgt. Wegen G(, ) = e c() + ei( ) = G() = e ei( ) ist c() =, woraus schließlich die Behauptung (9) folgt. Die Zusammenfassung H := F + i G ergibt schließlich (1). Definition: Seien die reellen Funktionen erf : IR IR und erfc : IR IR

6 6 gegeben durch erf() := Dann sei für s = + i C symbolisch e y dy, erfc() := 1 erf() = e y dy. (11) erf(s) := erf( + i), erfc(s) := erfc( + i), (1) erf(s) = +i e y dy, erfc(s) = Satz 3: Es gilt für s C +i e y dy. (13) im Detail erfc(s) = e (Is) H(Rs, Is), (1) erf(s) = erf(rs) + ie Is (Rs) e y e iy dy, (15) erfc(s) = erfc(rs) ie Is (Rs) e y e iy dy. (16) Beweis für (1): Für s = + i C gilt e H(, ) = e e z e iz dz = e (z+i) dz = e y dy = erfc( + i). +i Für (16) ist die Darstellung (1) dienlich, erfc( + i) = e H(, ) = erfc() + ie = erfc() ie damit wird (15) bestätigt durch e z e iz dz, erf( + i) = 1 erfc( + i) = erf() + ie e z e iz dz e z e iz dz.

7 7 Folgerung 1: Durch Real- und Imaginärteilbildung ergibt sich R erfc(s) = e (Is) F Is (, )=erfc(rs) e (Rs) e y sin(yrs)dy, (17) I erfc(s) = e (Is) G(, ) = e (Rs) Is e y cos(yrs)dy. (18) Für s = i, IR bedeutet dies R erfc(i) = e e z cos zdz = e F () = 1, (19) I erfc(i) = e e z sin zdz = e G() = e z dz = ei(), () also erf(i) = i e z dz = iei(), erfc(i) = e z dz = 1 iei(). (1) i Folgerung : Es gilt für s C erfc(s) e (Is) H(Rs, Is) e (Is) erfc(rs) () und e s erfc(s) e (Rs) H(Rs, Is) e (Rs) erfc(rs). (3) III. Es sei für (, ) IR, t > und für s = + i C F (,, t) : = 1 t t Ĝ(,, t) : = 1 t t T e st := Ĥ(,, t) = F 1 (,, t)+iĝ(,, t) = t t Satz : Für (, ) IR, t > ist τe τ t e τ cos τdτ, () τe τ t e τ sin τdτ (5) F (,, t) = 1 t + e t R se s t H( t, t) Ĝ(,, t) = e t I se s t H( t, t) τe τ t e sτ dτ. (6) (7) (8)

8 8 beziehungsweise T e st = Ĥ(,, t) = 1 t + se st erfc( s t). (9) Beweis für (7): Es gilt F (,, t) = 1 t t e und mit der Substitution z = Dabei ist F (,, t) = t e t F 1 (,, t) = t e t τ t t t t τe ( = F 1 (,, t) + F (,, t). t τ t t) cos τdτ (z + z cos t(z + t)dz ze z cos t(z + t)dz = 1 t e t e z cos t(z + t) t t e z sin t(z + t)dz = 1 t e t e t t t e z sin t(z + t)dz = 1 t e t t e z sin t(z + t)dz t = 1 t e t cos t G( t, t)+ sin t F ( t, t) = 1 t e t I H( t, it = 1 t e t I H( t, (+i) t und weiter F (,, t) = e t e z cos t(z + t)dz t = e t cos t F ( t, t) sin t G( t, t) = e t R H( t, it = e t R H( t, (+i) t.

9 9 Mit s = + i C wird (7) zu F (,, t) = 1 t + e t R ( + i) H( t, it = 1 t + e t R ( se s t H( t, t) ). Beweis für (8):. Analog wird aus (5) mit Hilfe der Substitution z = Es ergibt sich für Ĝ(,, t) = 1 t t e = t e t t t τe ( = Ĝ1(,, t) + Ĝ(,, t). τ t t) sin τdτ (z + z sin t(z + t)dz Ĝ 1 (,, t) = e t 1 t e z sin t(z + t) t + t e z cos t(z + t)dz τ t t = e t t e z cos t(z + t)dz t = e t cos t e z cos z tdz t sin t e z sin z tdz und t = e t cos t F ( t, t) sin t G( t, t) = e t R H( t, it = e t R H( t, (+i) t Ĝ (,, t) = e t t e z sin t(z + t)dz = e t cos t G( t, t) + sin t F ( t, t) = e t I H( t, it = e t I H( t, (+i) t.

10 1 Zusammengenommen ergibt dies Ĝ(,, t) = e t I se s t H( t, t). Beweis für (9): Für s = + i ist T e st = 1 t t e τ t e sτ dτ = F (,, t) + iĝ(,, t) = 1 t + e t R ( se s t H( t, t) ) + ii ( se s t H( t, t) ) = 1 t + se st erfc( s t), worin (1) verwendet wurde. IV. Bemerkenswert ist der folgende Zusammenhang des Integraloperators T mit der Faltung bezüglich der Laplace-Transformation: Satz 5. Sind f(t) und g(t) reelle Funktionen, die nicht stärker als eponentiell anwachsen, so gilt das gleiche für das Faltungsintegral insbesondere ist h(t) = f g(t) = f(τ)g(t τ)dτ, (T f) (T g)(t) = T (f g)(t). (3) Beweis: Es bezeichne F (s) = Lf(t), G(s) = Lg(t) und H(s) = Lh(t) mit h(t) = f g(t). Dann ist LT f(t) = F ( s), LT g(t) = G( s) und und mit H( s) = LT h(t) = LT (f g)(t) H( s) = F ( s)g( s) weiter also und daher H( s) = L(T f T g), L(T f T g) = LT (f g) T (f g) = (T f) (T g), da die Laplace-Transformation und ebenso die Transformation T injektiv ist. V. Schließlich sei für s = + i C und t das Integral untersucht. T e st dt = ( 1 ) e τ e sτ dτ d (3)

11 11 Durch Einsetzen aus (9) folgt T e st dt = 1 + se sτ erfc( s τ ) dτ τ = t + s t e sτ erfc( s τ )dτ und weiter durch partielle Integration mit u(τ) = erfc( s τ ), v (τ) = e sτ bzw. v(τ) = 1 s e sτ, u (τ) = s τ e s τ T e st dt = t + s 1 e sτ erfc( s τ) t 1 s s = 1 t + e st erfc( s t) 1 s dτ τ = 1 s e s t erfc( s t) 1. (31)