Systemtheorie Teil B

Transkript

1 d 0 d c d c uk d 0 yk d c d c Systemtheorie Teil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner

2 Inhalt 9 Musterlösungen Zeitdiskrete pproximation zeitkontinuierlicher Systeme Sprunginvarianter Systementwurf Tiefpass-Filterentwurf über bilineare Transformation Hochpass-Filterentwurf über bilineare Transformation pproximation eines zeitkontinuierlichen Systems Vergleich unterschiedlicher Systementwürfe Filterentwurf mit und ohne Prewarping...

3

4 9 Musterlösungen Zeitdiskrete pproximation zeitkontinuierlicher Systeme 9. Sprunginvarianter Systementwurf a) Die Sprungantwort des Systems mit der Übertragungsfunktion Gs 3 s 5 s hat die Laplace-Transformierte Hs 3 s 3 s 5 s s 3 s 5 s Die Koeffizienten der Partialbrüche errechnen sich zu 3 s 5 s s s 5 s s s 3 s s und die Sprungantwort lautet t t t t h t e e t e e t b) Mit T = ergibt sich direkt k k hk e e k c) Zur einfacheren Transformation in den z-bereich wird die Sprungantwort umgeformt zu k k k k h k e e k e e k Es ergibt sich die z-transformierte der Sprungantwort z 3 z 5 z z e z e Hz 3 5 und die Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems

5 Signal Signal z 3 z 5 z z 3 z 5 z z z z e z e z e z e z e z e Gz d) Die Impulsantwort des zeitdiskreten Systems lautet k k k k g k h k h k e e k e e k k k k k k e k e k e k e k Zur Berechnung der Impulsantwort des zeitkontinuierlichen Systems wird eine Partialbruchzerlegung durchgeführt. Es ergibt sich der nsatz Gs 3 s 5 s 3 s 5 s mit den Koeffizienten 3 5 s s s s 5 Daraus wird die Impulsantwort g(t) bestimmt zu t t 3 5 gt e e t Beide Impulsantworten sind in dem folgenden Bild dargestellt.. Sprungantworten Sprungantwort h(t) Sprungantwort h[k] 0.5 Impulsantworten Impulsantwort g(t) Impulsantwort g[k] Zeit t Zeit t e) Das Integral der zeitkontinuierlichen Impulsantwort g(t) ergibt die Sprungantwort h(t). Im zeitdiskreten Bereich kann dieses Integral nur genähert werden, sodass bei identischen Impulsantworten g[k] = g(kt ) die Sprungantworten voneinander abweichen. Stimmen die Sprungantworten h[k] = h(kt ) überein, ergibt sich im zeitkontinuierlichen Bereich die Impulsantwort über die bleitung der Sprungantwort. uch diese Operation kann im zeitdiskreten Bereich nur genähert werden. Damit können selbst bei einer btastzeit T = nur die Impulsantworten g(t) und g[k] oder die Sprungantworten h(t) und h[k] übereinstimmen.

6 9. Tiefpass-Filterentwurf über bilineare Transformation a) Das zeitdiskrete Filter soll eine Grenzfrequenz von g = Hz aufweisen. Wegen der Frequenzverschiebung bei der bilinearen Transformation und einer btastzeit von T = 0. muss das analoge Filter ausgelegt werden auf eine Grenzfrequenz von g T ga tan tan tan 0.5 T T 0. Daraus ergibt sich die Zeitkonstante von T ga b) Die Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems ergibt sich bei der bilinearen Transformation aus G z Gs z s T z T 9 0 T c) Zur Bestimmung der Differenzengleichung muss die Übertragungsfunktion umgeformt werden Gz Y z z z U z 9 9 z usmultiplizieren führt zu der Gleichung Y z 9 z U z z Mit der Verschiebungsregeln ergibt sich die Differenzengleichung yk9 yk uk uk uflösen nach y[k] führt zu u k u k 9 y k yk d) Die Übertragungsfunktion des Systems besitzt einen Pol an der Stelle 9 Er liegt im Einheitskreis, so dass das System stabil ist. Damit kann der Frequenzgang berechnet werden über G Gz j j e cos( ) j sin( ) j e 9 ze cos( ) 9 j sin( ) Der mplitudengang ergibt sich aus dem Betrag des Frequenzgangs zu cos( ) j sin ( ) cos( ) cos( ) 9 sin ( ) cos( ) n der Stelle g = g T = ergibt sich erwartungsgemäß der Frequenzgang

7 g 9.3 Hochpass-Filterentwurf über bilineare Transformation a) Das Filter kann zerlegt werden in die Form 3 s Gs 3 s Es ist ein Hochpass-Filter mit einer Grenzfrequenz von G = /3 und k = b) Bestimmung von G(z) durch bilineare Transformation, T = z 3 3 s z G z 3 s z z s z 6 z 6 7 z 5 7 z 5 / 7 z 3 z c) Der Pol der Übertragungsfunktion liegt bei z = 5/7 und liegt damit innerhalb des Einheitskreises. Das System ist somit stabil und der Frequenzgang ergibt sich aus j j sin j e e 4 j G e j e 7 z 5 / 7 7 cos j sin 5 / 7 7 cos 5 / 7 j sin j ze Der mplitudengang errechnet sich aus dem Betrag des Frequenzgangs zu cos cos d) Das zeitdiskrete Filter wird über die bilineare Transformation berechnet. Damit kann die Grenzfrequenz des Ω G berechnet werden zu T G 3 G arctan arctan e) Die Übertragungsfunktion im z-bereich Gz Y z z z U z 7 z 5 / / 7 z 7 5 z kann umgeformt werden zu Y z 7 5 z z U z Rücktransformation führt zu der Gleichung 7 yk 5 yk uk uk beziehungsweise y k u k u k 5 y k 7

8 9.4 pproximation eines zeitkontinuierlichen Systems a) Die Differentialgleichung kann wegen der verschwindenden nfangsbedingungen direkt in den Laplace-Bereich transformiert werden als s Ys Ys s Us und es ergibt sich die Übertragungsfunktion Y s s s Gs U s s s b) us den Korrespondenzen der Laplace-Transformation ergibt sich t gt t e t c) Umrechnung des Filters durch bilineare Transformation s T z führt zu der Übertragungsfunktion Gz Y z T z U z s T z T 4 z 4 T 4 z T 4 s z z z s T z T d) Berechnung der Impulsantwort g(k) durch Zerlegung von G(z) G z z z z z z T 4 z T 4 T 4 T 4 T 4 T 4 T 4 T 4 z z z T 4 T 4 T 4 Mit T = 0. errechnet sich G(z) zu Gz z z z z z z 0. 4 Mit den Korrespondenzen zur z-transformation ergibt sich k k g k k k e) Bestimmung der Differenzengleichung aus der Übertragungsfunktion G(z) Gz Y z z U z 4. z 3.8 Umformung ergibt Yz4. z 3.8 z Uz beziehungsweise Y z z z U z Rücktransformation mit der Verschiebungsregel ergibt die Differenzengleichung

9 4. yk 3.8 yk uk uk uflösen nach y(k) liefert auf das Ergebnis y k u k u k 3.8 y k Vergleich unterschiedlicher Systementwürfe a) Die bilineare Transformation von G(s) führt zu G B z 5 s z s 0 0 z 9 T z 5 T z b) Das System besitzt folgende Eigenschaften: Eigenschaft Kausalität Sprungfähigkeit symptotische Stabilität Keine Schwingungsneigung Infinite-Impulse-Response (IIR-System) Grenzstabil invertierbares System Übertragungsfunktion Zählergrad M Nennergrad N Zählergrad M = Nennergrad N Pol innerhalb des Einheitskreises positiver reeller Pol Pol nicht im Koordinatenursprung Nullstellen auf dem Einheitskreis Verstärkung G(z = ) = c) Frequenzgang des Systems errechnet sich wegen der Stabilität des Systems zu j G G z j e e 9 B B ze j d) Die Grenzfrequenz des über bilineare Transformation entwickelten zeitdiskreten Systems BG ergibt sich aus der 3-dB-Grenzfrequenz des analogen Systems G T 5 zu T BG 5 G arctan arctan 0.993

10 e) usmultiplizieren der Übertragungsfunktion Yz z 9 Uzz Division durch z Y z 9 z U z z und Rücktransformation in den Zeitbereich yk 9 yk uk uk führt zu der Differenzengleichung u k u k 9 y k yk f) Die Übertragungsfunktion kann dargestellt werden als Gs 5 s 5 s 0. Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion des impulsinvarianten Systems von z e z 5 e z 5 z n G z I n T 0. g) Für das bilineare System ergibt sich über die Differenzengleichung u k u k 9 y k yk die Impulsantwort an der Stelle k = 0 zu g 0 g0 Damit ist die Impulsantwort g die Impulsantwort des Systems G B. Wegen der Nullstelle = - ist das Pol-Nullstellen-Diagramm das Pol-Nullstellen-Diagramm von dem System G B. Der mplitudengang des Systems G B weist an der Stelle = eine Nullstelle auf. Damit ist der mplitudengang der mplitudengang von dem System G B.

11 9.6 Filterentwurf mit und ohne Prewarping a) Bei der bilinearen Transformation ohne Prewarping wird folgende Substitution vorgenommen: z z z 4 z z s G G K T z T Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion G z s GK z G K G K G G G z G s z K z K z z K K z K z K K Mit den angegebenen Werten ist 4 K.73 z und die Übertragungsfunktion lautet G z z z z z z z b) Das System hat zwei reelle Nullstellen bei = -. Die Polstellen errechnen sich mit der Gleichung K K K z z 0 K K K K zu z K K K K K K, K K Die Pole liegen damit an den Stellen, j Damit ergibt sich das linke Pol-Nullstellen-Diagramm:

12 Imaginärteil normiert Imaginärteil normiert Bilineare Transformation ohne Prewarping Bilineare Transformation mit Prewarping Realteil normiert Realteil normiert c) Bei der bilinearen Transformation mit Prewarping wird die Substitution s T tan G G K G durchgeführt. Die Rechnung von ufgabenteil a) ändert sich demnach nicht, es wird nur die Konstante K durch K ersetzt. Mit den angegebenen Werten ist K T tan tan tan 4 G G und die Übertragungsfunktion lautet G z K K z K z K K z z z z z z 3.44 z d) Die Nullstellen sind von der Änderung nicht betroffen. Die Pole errechnen sich zu z K K K K, K K Die Pole liegen damit an den Stellen, j 0.44 Damit ergibt sich das oben bereits gezeigte rechte Pol-Nullstellen-Diagramm. e) Die richtige Lösung bezüglich mplitudengang ergibt sich aus der - 3 db Grenzfrequenz. Bei Prewarping bleibt die bei 500 rad/s, damit gehört Lösung B zum Filterentwurf mit Prewarping. Die Sprungantwort eines Systems mit hoher Grenzfrequenz ist schneller als die eines Systems mit niedrigerer Grenzfrequenz. Damit gehört Lösung C zum Filterentwurf mit Prewarping.