MusterModulprüfung. Anteil Transformationen

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1 MusterModulprüfung Anteil Transformationen Studiengang: Elektrotechnik oder Energiewirtschaft Datum: Prüfer: heute Prof. Dr. Felderhoff Version:.0 (vom ) Name: Vorname: Matr.-Nr.: 1

2 Aufgabe 1 Fourier-Transformation und inverse Fourier-Transformation Gegeben sei das Signal ( ) t x(t) = 1 rect T 0 wobei T 0 > 0 eine positive Zeitkonstante beschreibt., 1.1 Skizzieren Sie maßstabsgetreu das Signal x(t) im Zeitintervall 5T 0 t 5T 0. Tragen Sie dabei markante Werte in das Koordinatensystem ein und achten Sie auf eine korrekte Achsenbeschriftung. 1. Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(jω) = F {x(t)} x(t). 1.3 Geben Sie die Kreisfrequenzen ω an, für die X(jω) = 0 gilt, oder begründen Sie, warum es keine Frequenzen gibt, die diese Anforderung erfüllen. Nun sei die Fourier-Transformierte Y (jω) = F {y(t)} des Signals y(t) gegeben zu Y (jω) = X(jω) e jωt Geben Sie y(t) in Abhängigkeit von x(t) an. 1.5 Skizzieren Sie maßstabsgetreu das Signal y(t) im Zeitintervall 5T 0 t 5T 0. Tragen Sie dabei markante Werte in das Koordinatensystem ein und achten Sie auf eine korrekte Achsenbeschriftung.

3 Aufgabe Laplace-Transformation und inverse Laplace-Transformation Gegeben seien die rechtsseitigen Zeitsignale x(t), x 1 (t) und x (t) mit ihren jeweiligen Laplace-Transformierten x(t) X(s) = L {x(t)}, x 1 (t) X 1 (s) = L {x 1 (t)} bzw. x (t) X (s) = L {x (t)}. Es gilt x(t) = α 1 x 1 (t) + x (t), wobei α 1 eine zunächst beliebige reelle Konstante beschreibt. Bekannt sei X 1 (s) = Ω 0 s + 4Ω 0 und X(s) = s + Ω 0 s + 8Ω 0 s (s + 4Ω 0) wobei Ω 0 > 0 eine positive Frequenzkonstante bezeichnet. Das Zeitsignal x (t) und seine Laplace-Transformierte X (s) sind zunächst noch unbekannt.,.1 Bestimmen Sie das rechtsseitige Zeitsignal x 1 (t) als Inverse der Laplace- Transformierten X 1 (s) x 1 (t).. Berechnen Sie das rechtsseitige Zeitsignal x(t) als Inverse der Laplace- Transformierten X(s) x(t)..3 Bestimmen Sie den Wert der Konstanten α 1..4 Bestimmen Sie das rechtsseitige Zeitsignal x (t) sowie seine Laplace-Transformierte X (s). 3

4 Aufgabe 3 Abtasttheorem Gegeben sei die Fourier-Transformierte ( ) ( ) ω + Ω0 ω Ω0 X(jω) = rect + rect + δ(ω + 5Ω 0 ) + δ(ω) + δ(ω 5Ω 0 ), Ω 0 Ω 0 wobei Ω 0 = πf 0 und F 0 positive Konstanten bezeichnen. Das Zeitsignal x(t) X(jω) werde mit der Abtastperiode T abgetastet. 3.1 Skizzieren Sie X(jω) maßstabsgerecht in einem normierten (Kreis-)Frequenzintervall 0 ω/ω 0 0, und tragen Sie markante Werte ein. 3. Wie ist hier die Abtastfrequenz F = 1/T zu wählen, damit das Abtasttheorem eingehalten wird? Begründen Sie Ihre Antwort. 3.3 Skizzieren Sie die diskrete Fourier-Transformierte, X DF T (jω), in einem normierten (Kreis-)Frequenzintervall 0 ω/ω 0 0, wenn die Abtastfrequenz F = 11F 0 gewählt wird. Tragen Sie markante Werte ein. Wie erkennen Sie, dass das Abtasttheorem eingehalten wird oder dass das Abtasttheorem nicht eingehalten wird? 3.4 Skizzieren Sie die diskrete Fourier-Transformierte, X DF T (jω), in einem normierten (Kreis-)Frequenzintervall 0 ω/ω 0 0, wenn die Abtastfrequenz F = 8F 0 gewählt wird. Tragen Sie markante Werte ein. Wie erkennen Sie, dass das Abtasttheorem eingehalten wird oder dass das Abtasttheorem nicht eingehalten wird? 4

5 Aufgabe 4 Bilineartransformation Gegeben seien die beiden Übertragungsfunktionen Ĥ1(s) und Ĥ(s) zeitkontinuierlicher Systeme, Ĥ 1 (s) = 1 3 s Ω s Ω 0 und Ĥ(s) = s Ω 0, wobei Ω 0 eine positive reelle Konstante bezeichnet. Die Abtastperiode T erfülle die Beziehung Ω 0 T = Bestimmen Sie mit Hilfe der Bilineartransformation die Übertragungsfunktionen H 1 (z) und H (z) der entsprechenden zeitdiskreten Systeme, H 1 (z) = Ĥ1(s) s= T z 1 z+1 und H (z) = Ĥ(s) 4. Skizzieren Sie für die zeitdiskreten Systeme H 1 (z) und H (z) jeweils einen Signalflussgraphen. 4.3 Es gelte nun H(z) = H 1 (z) + H (z). Skizzieren Sie einen Signalflussgraphen des zu H(z) gehörenden zeitdiskreten Systems. s= T z 1 z+1. 5

6 Aufgabe 5 Allgemeine Signal- und Systembetrachtung 1 x(t) 4T 0 t Gegeben sei der dargestellte zeitliche Signalverlauf x(t). Mit T 0 Zeitkonstante bezeichnet. > 0 werde eine positive 5.1 Geben Sie eine funktionale Beschreibung für x(t) mithilfe der rect-funktion an. 5. Bestimmen Sie eine funktionale Beschreibung für x(t) durch geeignete Addition zweier Sprungfunktionen. 5.3 Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(jω): x(t) X(jω) = 5.4 Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte X(s): x(t) X(s) = x(t)e jωt dt. x(t)e st dt. 5.5 Weisen Sie durch Berechnung eindeutig nach, dass gilt: X(jω) = X(s) s=jω. x(t) h(t) y(t) X(s) H(s) Y(s) Das Signal x(t) sei nun das Eingangssignal eines Systems mit der Impulsantwort h(t) und der Übertragungsfunktion H(s). Für das Ausgangssignal y(t) sei die Laplace-Transformierte bekannt als 1 y(t) Y (s) = s (1 + st 0 ) ( ) ( 1 e 4sT 0 1 = s T ) 0 (1 e 0) 4sT. 1 + st Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(s) und berechnen Sie die dazugehörige Impulsantwort h(t). 5.7 Berechnen Sie das Ausgangssignal y(t). 6