Digitale Signalverarbeitung

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1 Formeln und Notizen Digitale Signalverarbeitung Florian Franzmann 7. April 009, 3:5 Uhr Abbildungsverzeichnis. Konvergenzbereich kausaler kontinuierlicher LTI-Systeme rect- und sinc-funktion Konvergenzbereich diskreter LTI-Systeme Zustandsraumbeschreibung für diskrete Systeme Direktform I für zeitdiskrete Systeme Direktform II für zeitdiskrete Systeme Direktform III für zeitdiskrete Systeme Filterentwurf Trigonometrische Funktionen Tabellenverzeichnis. Korrespondenzen der zweiseitigen Laplace-Transformation Sätze der zweiseitigen Laplace-Transformation Korrespondenzen der Fourier-Transformation Korrespondenzen der Fourier-Transformation Korrespondenzen der Fourier-Transformation Sätze der Fourier-Transformation Korrespondenzen der zweiseitigen z-transformation Korrespondenzen der DTFT Korrespondenzen der DTFT Sätze der DTFT Sätze der DFT siflfran@hawo.stw.uni-erlangen.de

2 Inhaltsverzeichnis 0. Korrespondenzen der Hilbert-Transformation Teile von Einheiten Vielfache von Einheiten Trigonometrische Funktionen Funktionswerte besonderer Winkel Potenzen der imaginären Einheit Bekannte Reihen Inhaltsverzeichnis. Abtasttheorem 5.. Basisband-Signale Bandpass-Signale Interpolationsfilter Basisbandsignale Bandpaßsignale Abtastung Transformationen 6.. Laplace-Transformation Definition Inverse Laplace-Transformation Fourier-Transformation Definition Inverse Fourier-Transformation rect- und sinc-funktion Hinreichende Bedingung für die Existenz z-transformation Definition Konvergenzbereich Inverse z-transformation Zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT) DTFT IDTFT Diskrete Fourier-Transformation (DFT) DFT IDFT Zyklische Faltung Lineare Faltung Symmetrien im Spektrum Hilbert-Transformation Definition Besonderheiten ECB-Transformation

3 Inhaltsverzeichnis.8.. Definition Inverse Transformation Theorem von Grettenberg Inphasekomponente Quadraturkomponente Eigenschaften von LTI-Systemen Linearität Zeitinvarianz Dispersivität Stabilität BIBO-Stabilität Bedingte (schwache) Stabilität Kausalität FIR-Systeme Reellwertigkeit Minimalphasigkeit Maximalphasigkeit Verzerrungsfreie Systeme Linearphasige Systeme Eigenschaften der Impulsantwort Fall Fall Eigenschaften der z-transformierten Allpaßfilter Zerlegung in stabilen Allpaß und minimalphasiges System Gruppenlaufzeit von Allpaßfiltern Betrag, Phase und Gruppenlaufzeit Übertragungsfunktion Betrag Phase Gruppenlaufzeit Idealisierte LTI-Systeme 8 5. Zustandsraumbeschreibung Im Zeitbereich Im Frequenzbereich Übertragungsfunktion Transformation auf Diagonalform Frobenius-Matrix Signalflußgraphen Berechenbarkeit Transposition

4 Inhaltsverzeichnis 6. Schnelle Fouriertransformation (FFT) Definition FFT in Matrixschreibweise Vergleich von Overlap-Add- und Overlap-Save-Methode Filterentwurf Abtastratenwandlung, Multiratensysteme und Filterbänke Dezimation und Interpolation Abtastratenreduktion Dezimation A. Mathematische Grundlagen 38 A.. Frequenz A... Definition A... Kreisfrequenz A..3. Normierte Kreisfrequenz A..4. Die z-ebene A.. Lösungsformel für quadratische Gleichungen A.3. Geradengleichung A.3.. Gerade durch einen Punkt P (x 0, y 0 ) mit Steigung m A.3.. Gerade durch die Punkte P (x 0, y 0 ) und A(x, y ) A.3.3. Parameterform A.3.4. Allgemeine Form der Geradengleichung A.4. Additionstheoreme A.5. Rechenregeln des Logarithmus A.6. Differentiation A.6.. Regeln A.6... Quotientenregel A.6... Kettenregel A Produktregel A Logarithmische Differentiation A Differentiation eines parameterabhängigen Integrals... 4 A l Hospital sche Regel A.6.. Operatoren A.6... Laplace-Operator A.6... Divergenz-Operator div A Gradient-Operator A Rotations-Operator A Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) A Hesse-Matrix A Zusammengesetzte Operationen A.7. Integrationsregeln A.7.. Partielle Integration

5 . Abtasttheorem A.7.. Substitutionsregel A.7.3. Logarithmische Integration A.7.4. Integration der Umkehrfunktion A.8. Komplexe Zahlen A.8.. Komplexe Wurzel A.9. Binomialkoeffizient A.9.. Reihen A.0.Abschätzung mittels Union-Bound A..Bessel-Funktion erster Art A...Definition A...Eigenschaften Abtasttheorem.. Basisband-Signale.. Bandpass-Signale ω B ω S = π T () ω S = ω B mit ω B = ω ω () falls die obere Bandgrenze ω ganzzahliges Vielfach der Bandbreite ω B ist. Sonst wähle maximales ganzzahliges n, so daß.3. Interpolationsfilter ω S = ω n > ω B (3).3.. Basisbandsignale ( ) ω H(jω) = T rect ω B (4).3.. Bandpaßsignale h(t) = T ω B sinc(t ω B )(?) (6) (5) ( ) ( ( ωt H(jω) = T rect δ ω ω 0 ω ) ( + δ ω + ω 0 + ω )) π ( ) (( πt h(t) = sinc cos ω 0 + ω ) ) t T (7) (8) (9) 5

6 . Transformationen jω σ Abbildung : Konvergenzbereich kausaler kontinuierlicher LTI-Systeme.4. Abtastung x s (t) = x c (t) δ(t nt ) (0). Transformationen X s (jω) = π X c(jω) π T k= δ(ω π T () k) ().. Laplace-Transformation... Definition L{x(t)} = X(s) = x(t)e st dt (3)... Inverse Laplace-Transformation x(t) = L {X(s)} = π σ+j σ j X(s)e st ds (4) 6

7 . Transformationen Tabelle : Korrespondenzen der zweiseitigen Laplace-Transformation x(t) X(s) = L{x(t)} Kb δ(t) s C ε(t) s Re{s} > 0 e at ε(t) s+a e at ε( t) s+a Re{s} > Re{ a} Re{s} < Re{ a} tε(t) s Re{s} > 0 t n ε(t) n! s n+ Re{s} > 0 te at ε(t) (s+a) t n e at ε(t) n! (s+a) n+ Re{s} > Re{ a} Re{s} > Re{ a} sin(ω 0 t)ε(t) cos(ω 0 t)ε(t) e at cos(ω 0 t)ε(t) e at sin(ω 0 t)ε(t) ω 0 s +ω 0 s s +ω 0 s+a (s+a) +ω 0 ω 0 (s+a) +ω 0 Re{s} > 0 Re{s} > 0 Re{s} > Re{ a} Re{s} > Re{ a} t cos(ω 0 t)ε(t) t sin(ω 0 t)ε(t) s ω 0 (s +ω 0 ) Re{s} > 0 ω 0 s (s +ω 0 ) Re{s} > 0 7

8 . Transformationen Tabelle : Sätze der zweiseitigen Laplace-Transformation x(t) X(s) = L{x(t)} Kb Linearität Ax (t) + Bx (t) AX (s) + BX (s) Kb Kb{X } Kb{X } Verschiebung x(t τ) e sτ X(s) unverändert Modulation e at x(t) X(s a) um Re{a} nach rechts verschoben Multiplikation mit t, Differentiation im Frequenzbereich Differentiation im Zeitbereich tx(t) d dsx(s) unverändert d dtx(t) sx(s) Kb Kb{X} Integration t x(τ)dτ s X(s) Achsenskalierung x(at) a X ( ) s a Kb Kb{X} {s : Re{s} > 0} Kb mit Faktor a skalieren 8

9 . Transformationen.. Fourier-Transformation... Definition X(jω) = F{x(t)} = x(t)e jωt dt = L{x(t)} (5) s=jω X(jω) = X(jω) e jϕ(jω) (6)... Inverse Fourier-Transformation x(t) = π X(jω)e jωt dω (7)..3. rect- und sinc-funktion rect(at) := sinc(ω) := { für t a 0 sonst { sin ω ω für ν 0 für ν = 0 (8) (9) (0) Bemerkung zur Implementierung von Systemen, die auf der rect- bzw. sinc basieren: Der Spitzenwertfaktor ζ 0 geht gegen. Das System ist schwach stationär, nicht zyklostationär. Dadurch wird eine eventuell nötige Symboltaktsynchronisation extrem schwierig. Die horizontale Augenöffnung im Augendiagramm geht gegen Null. Das System ist nur mit einem sehr hohen Systemgrad implementierbar und nie exakt. Die Grundlaufzeit ist sehr hoch. Tabelle 3: Korrespondenzen der Fourier-Transformation x(t) X(jω) = F{x(t)} Bemerkung δ(t) Dirac- Impuls δ(t) jω 9

10 . Transformationen Tabelle 3: Korrespondenzen der Fourier-Transformation x(t) X(jω) = F{x(t)} Bemerkung δ n (t) (jω) n πδ(ω) Gleichgröße t n πj n δ n (ω) n N ε(t) πδ(ω) + jω Sprungfunktion t n ε(t) n! (jω) n+ + πj n δ n (ω) n N sign(t) jω Signumfunktion +(at) t +a t t +a ω π a e a π a e a ω jπ e a ω signω πt jsign(ω) Hilbert- Transformator cos(ω g) πt jsign(ω) rect( ω ω g ) bandbegr. Hilberttr. cos(ω 0 t) π[δ(ω + ω 0 ) + δ(ω ω 0 )] Cosinusschwingung sin(ω 0 t) jπ[δ(ω + ω 0 ) δ(ω ω 0 )] Sinusschwingung e jω 0t πδ(ω ω 0 ) komplexe Exp.- Schw. sign(cos(ω 0 t)) π ν= ν [δ(ω (ν )ω 0) +δ(ω + (ν )ω 0 )] Rechteckschwingung 0

11 . Transformationen Tabelle 3: Korrespondenzen der Fourier-Transformation x(t) X(jω) = F{x(t)} Bemerkung π k= δ(t kt ) T ( ) T T k= δ ( ω π T k) Dirac- Kamm ( ) ωt π rect(at) a sinc ( ) ω a tri(at) ) a sinc ω a sinc(at) π a rect ( ) ω a Rechteckimpuls Dreieckimpuls sinc- Impuls ε(t) e at a+jω Einseitiger Exp.- Impuls e a t a a +ω a > 0 Zweiseitiger Exp.- Impuls e a t π ω a e 4a Gaußimpuls..4. Hinreichende Bedingung für die Existenz der Fourier-Transformierten x(t) dt < ().3. z-transformation.3.. Definition Z {x[k]} = X(z) = x[k]z k () k=

12 . Transformationen.5 f(t) t a (a) f(t) = rect(at) F (jω) a ω π a (b) F (jω) = a sinc( ω a ) Abbildung : rect- und sinc-funktion

13 . Transformationen Tabelle 4: Sätze der Fourier-Transformation x(t) X(jω) = F{x(t)} Lineariät Ax (t) + Bx (t) AX (jω) + BX (jω) Verschiebung x(t τ) e jωτ X(jω) Modulation e jω 0t x(t) X(j(ω ω 0 )) Differentiation Frequenzbereich im tx(t) dx(jω) d(jω) Differentiation Zeitbereich im dx(t) dt jωx(jω) Integration t x(τ)dτ jω Ähnlichkeit x(at) a X ( jω a X(jω) + πx(0)δ(ω) ) ; a R \ {0} Faltung x (t) x (t) X (jω) X (jω) Multiplikation x (t) x (t) π X (jω) X (jω) Dualität x (t) x (jt) x (jω) πx ( ω) Symmetrien x( t) x (t) x ( t) X( jω) X ( jω) X (jω) Parsevalsches Theorem x(t) dt π X(jω) dω 3

14 . Transformationen Im{z} Im{z} Re{z} Re{z} (a) kausal (b) antikausal Abbildung 3: Konvergenzbereich diskreter LTI-Systeme mit z := e jω (3).3.. Konvergenzbereich. Der Konvergenzbereich ist ein Ring um den Ursprung der z-ebene.. Der Konvergenzbereich enthält keine Pole. 3. Ist x[k] von endlicher Dauer, so besteht der Konvergenzbereich aus der gesamten z-ebene außer evt. z = 0 und/oder z =. 4. Bei kausalen Folgen: Liegt der Kreis z = r 0 im Konvergenzbereich, dann auch alle endlichen Werte von z, für die z > r 0 gilt. 5. Bei antikausalen Folgen: Liegt der Kreis z = r 0 im Konvergenzbereich, dann auch alle Werte von z, für die 0 < z < r 0 gilt. 6. Bei zweiseitigen Folgen: Liegt z = r 0 im Konvergenzbereich, so ist der Konvergenzbereich ein Ring in der z-ebene, der z = r 0 enthält. 4

15 . Transformationen Tabelle 5: Korrespondenzen der zweiseitigen z-transformation x[k] X(z) = Z{x[k]} Kb δ[k] z C ε[k] z z z > a k ε[k] a k ε[ k ] z z a z z a z > a (kausal) z < a (antikausal) kε[k] z (z ) z > ka k ε[k] ε[k ] k ak az (z a) a ln ( z z a ) z > a z > a sin(ω 0 k)ε[k] cos(ω 0 k)ε[k] z sin Ω 0 z z cos Ω 0 + z > z(z cos Ω 0 ) z z cos Ω 0 + z >.3.3. Inverse z-transformation x[k] = πj = π = ν C π 0 X(z)z k dz (4) X( z e jω z k e jωk dω (5) } Res {X(z)z k z=z,ν (6) = ν [ d m k ] (m )! dz m (z z,ν) m X(z)z (7) z=z,ν m ist die Vielfachheit der betrachteten Singularität. 5

16 . Transformationen Lineariät ax [k] + bx [k] ax (z) + bx (z) Kb Kb{X } Kb{X } Verschiebung x[k κ] z κ X(z) Kb{x}; z = 0 und z gesondert betrachten Modulation a k x[k] X ( ) z a Kb = { z z a Kb{x}} Multiplikation mit k kx[k] z dx(z) dz Kb{x}; z = 0 gesondert betrachten Zeitumkehr x[ k] X(z ) Kb = {z z Kb{x}} Faltung x [k] x [k] X (z) X (z) Kb Kb{x } Kb{x } Multiplikation x [k] x [k] ( ) πj X (ζ)x z ζ ζ dζ Grenzen der Konvergenzbereiche multiplizieren.4. Zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT).4.. DTFT Die Zeitdiskrete Fouriertransformation ist gegeben durch X(e jω ) = F {x[k]} = x[k]e jωk (8) k= Sie entspricht der zweiseitigen z-transformation für den Fall z = e jω, falls z = Kb. 6

17 . Transformationen.4.. IDTFT Die inverse DTFT braucht keinen Kb. x[k] = F { X(e jω ) } = π π 0 X(e jω )e jωk dω (9) Tabelle 7: Korrespondenzen der DTFT x[k] X(e jω ) = F {x[k]} δ[k] ε[k] ε[k]e jω 0k e jω 0k cos Ω 0 k ε[k] cos Ω 0 k π n= δ(ω πn)+ e jω π n= δ(ω Ω 0 πn) + e j(ω Ω 0 ) µ= δ ( Ω π µ) π n= δ(ω Ω 0 πn) π n= δ(ω Ω 0 πn) + δ(ω + Ω 0 πn) π n= δ(ω Ω 0 πn) + δ(ω + Ω 0 πn) + ejω cos Ω 0 cos Ω cos Ω 0 ε[k] sin Ω 0 k π j n= δ(ω Ω 0 πn) δ(ω + Ω 0 πn) + sin Ω 0 cos Ω cos Ω 0 rect[k] = sin Ω 0 k { für 0 k N 0 sonst jπ n= δ(ω Ω 0 πn) δ(ω + Ω 0 πn) N jω e sin( NΩ ) sin( Ω ) 7

18 . Transformationen Tabelle 7: Korrespondenzen der DTFT x[k] für k > 0 sign[k] = 0 für k = 0 für k < 0 X(e jω ) = F {x[k]} +e jω e jω = j tan(ω/) a k ε[k] ae jω.5. Diskrete Fourier-Transformation (DFT).5.. DFT Die DFT einer Folge x[k] der Länge M ist gegeben durch X[µ] = mit dem Drehfaktor.5.. IDFT M k=0 x[k] w µk M = DFT M {x[k]} mit µ = 0()M (30) Die Inverse DFT einer Folge X[µ] der Länge M ist definiert w M = e j π M (3) x[k] = M M µ=0 X[µ]w µk M = DFT M {X[µ]} mit k = 0()M (3).5.3. Zyklische Faltung Eine zyklische Faltung der Länge M ist definiert als M κ=0 mit x[k] = x[k] für k = 0()M Lineare Faltung x [k] M x [k] = x [k] M x [k] (33) x [k κ] x [κ] = M κ=0 x [k κ] x [κ] (34) Die minimale DFT-Länge für aliasingfreies lineares Falten beträgt M = M x + M h. 8

19 . Transformationen Tabelle 8: Sätze der DTFT Eigenschaft x[k] X(e jω ) = F {x[k]} Linearität ax [k] + bx [k] ax (e jω ) + bx (e jω ) Verschiebungssatz x[k κ] e jωκ X(e jω ); κ Z Zeitumkehr x[ k] X(e jω ) Modulationssatz e jω 0k x[k] X(e j(ω Ω 0) ); Ω 0 R Differentiation kx[k] j dx(ejω ) dω Konjugation x [k] X (e jω ) Realteil Re{x[k]} X g (e jω ) x g [k] Re{X(e jω )} Imaginärteil Im{x[k]} X u (e jω ) x u [k] jim{x(e jω )} Faltungssatz x [k] x [k] X (e jω )X (e jω ) π Multiplikationssatz x [k] x [k] π 0 Y (e jω )X(e j(ω η) )dη = π X (e jω ) X (e jω ) Parsevalsches Theorem k= x[k] π π π X(ejΩ ) dω 9

20 . Transformationen Tabelle 9: Sätze der DFT x[k] X[µ] Linearität i a ix i [k] a i C i a ix i [µ] Zyklische Verschiebung im Zeitbereich Zyklische Verschiebung im Frequenzbereich x[k + κ] x[k] w kλ M X[µ] w µκ M X[µ + λ] Zeitumkehrung x[ k] = x[m k] X[ µ] Komplexe Konjugation x [k] X [ µ] DFT der zyklischen Faltung im Zeitbereich DFT der Multiplikation im Zeitbereich x [k] M x [k] X [µ] X [µ] x [k] x [k] M M κ=0 X [µ κ] X [κ] 0

21 . Transformationen.6. Symmetrien im Spektrum x(t)reell (35) (36) X(jω) = X ( jω) (37) Re {X(jω)} = Re {X( jω)} (38) Im {X(jω)} = Im {X( jω)} (39) X(jω) = X( jω) (40) arg {X(jω)} = arg {X( jω)} (4) x(t) = Re {x g (t)} + Re {x u (t)} + jim {x g (t)} + jim {x u (t)} X(jω) = Re {X g (jω)} + jim {X u (jω)} + jim {X g (jω)} + Re {X u (jω)} (4).7. Hilbert-Transformation.7.. Definition H H (e jω ) = jsign(ω) (43) h h [k] = π π 0 sin(ωk)dω = { πk.7.. Besonderheiten { } H a i cos(it) + b i sin(it) = i= für k gerade 0 für k ungerade (44) (45) a i sin(it) b cos(it) (46) Die Hilbert-Transformation liefert zu einer geraden Funktion eine ungerade Funktion mit demselben Betragsspektrum (nur Phase gedreht) und umgekehrt. i= X(f) = X H (f) f 0 (47) Ein Signal und seine Hilbert-Transformierte sind zueinander orthogonal x(t) H {x(t)} dt = 0 (48)

22 . Transformationen Tabelle 0: Korrespondenzen der Hilbert-Transformation[3]. x(t) H {x(t)} Voraussetzung cos(ω 0 t) sin(ω 0 t) ω 0 > 0 sin(ω 0 t) cos(ω 0 t) ω 0 > 0 δ 0 (t) πt sin(ω gt) ω gt cos(ω gt) ω gt s(t) cos(ω 0 t) s(t) sin(ω 0 t) S(jω) = 0 für ω ω 0 Läßt sich eine Funktion x(t) in einen geraden Anteil x g (t) und einen ungeraden Anteil x u zerlegen, so gilt H {x(t)} = H {x g (t)} + H {x u (t)} (49) Achtung: Bei Signaltransformationen zur Gewinnung des ECB-Signals jh {x HF (t)} = jx HF (t) πt X HF (f) sign(f) (50).8. ECB-Transformation Anmerkung: Der Faktor wird verwendet, damit HF- und ECB-Signal die gleiche Energie haben. An f 0 werden keinerlei Anforderungen gestellt..8.. Definition s(t) = (s HF (t) + jh {s HF (t)}) e j π f 0 t = s + HF (t) e jπf 0t (5) (5) (53) S(f) = S + HF (f + f 0) (54) = ( + sign(f + f 0 )) S HF (f + f 0 ) (55)

23 3. Eigenschaften von LTI-Systemen.8.. Inverse Transformation s HF (t) = Res(t) e jπf 0t (56) ( ) = s(t) e jπf0t + s (t) e jπf 0t (57) S HF (f) =.8.3. Theorem von Grettenberg (58) (S(f f 0) + S ( (f + f 0 ))) (59) Ein reeller, physikalischer, schwach stationärer Zufallsprozeß besitzt einen äquivalenten ECB-Prozeß mit den Eigenschaften stationär, mittelwertfrei, rotationssymmetrisch (siehe??) Inphasekomponente h I (t) = Re {h K (t)} (60) (6) H I (t) = Re {H K(f) + H K ( f)} +j }{{} Im {H K(f) H K ( f)} }{{} gerader Anteil ungerader Anteil (6).8.5. Quadraturkomponente h Q (t) = Im {h K (t)} (63) (64) H Q (t) = Im {H K(f) + H K ( f)} j Re {H K(f) H K ( f)} (65) 3. Eigenschaften von LTI-Systemen 3.. Linearität S{c x [k] + c x [k]} = c S{x [k]} + c S{x [k]} = c x [k] + c x [k] (66) 3.. Zeitinvarianz y[k N] = S{x[k N]} (67) 3

24 3. Eigenschaften von LTI-Systemen 3.3. Dispersivität Ein System heißt dispersiv, wenn die Gesamtheit aller Funktionswerte x(t) t R bei der Entstehung des Wertes des Ausgangssignals y(t 0 ) zum Zeitpunkt t 0 zusammenwirkt Stabilität Bei stabilen LTI-Systemen mit rechtsseitiger Impulsantwort (kausal) liegen alle Singularitäten der Systemfunktion H(z) im Einheitskreis: z < (68) D. h. das Nennerpolynom ist ein Hurwitz-Polynom. Ein Polynom vom Grad heißt Hurwitz-Polynom, wenn alle Koeffizienten größer 0 sind. Für Polynome höherer Ordnung müssen die Hurwitz-Determinanten größer 0 sein. linksseitiger Impulsantwort (antikausal) liegen alle Singularitäten der Systemfunktion H(z) außerhalb des Einheitskreises: z > (69) zweiseitiger Impulsantwort dürfen keine Singularitäten der Systemfunktion H(z) auf dem Einheitskreis liegen: z (70) BIBO-Stabilität x[k] M < k y[k] M < k (7) Bedingte (schwache) Stabilität H(e jω ) kann auch dann existieren, wenn BIBO-Stabilität nicht gegeben ist. Dann hat die Impulsantwort endliche Energie oder die Singularitäten erster Ordnung liegen auf dem Einheitskreis, wenn dieser die Grenze des Kb von H(z) darstellt. h[k] M k Z (7) 3.5. Kausalität Das Ausgangssignal hängt nur von vergangenen und dem aktuellen Eingangswert ab und falls x[k] = 0 y[k] = FIR-Systeme FIR-Systeme haben alle m Polstellen im Ursprung. 4

25 3. Eigenschaften von LTI-Systemen 3.7. Reellwertigkeit Ein System heißt reellwertig, wenn bei Erregung mit einem reellwertigen Signal auch das Ausgangssignal reellwertig ist. Bei reellwertigen Systemen sind alle Pole und Nullstellen konjugiert komplex Minimalphasigkeit Alle Nullstellen befinden sich innerhalb des Einheitskreises Maximalphasigkeit Alle Nullstellen befinden sich außerhalb des Einheitskreises. Die Überführung eines minimalphasigen in ein maximalphasiges System (und umgekehrt) entspricht der Umkehr der Zeitachse Verzerrungsfreie Systeme Verzerrungsfreie Systeme bewirken ausschließlich Modulation im Frequenzbereich und Skalierung der Amplitude. Y ( e jω) = H 0 e jωξ X ( e jω) (73) Für diese Systeme gilt mit H 0, ξ R: H ( e jω ) = H0 (74) 3.. Linearphasige Systeme 3... Eigenschaften der Impulsantwort b(ω) = Ωξ + ( sign(h 0)) πsignω (75) τ g (Ω) = ξ (76) H(z) = H 0 z ξ (77) Fall H ( e jω) = H 0 ( e jω ) e jωξ mit Ω π und ξ R. H 0 (e jω ) sei reell und gerade. Für ξ = k 0 mit k 0 Z gilt h[k 0 k] = h[k 0 + k]. Für ξ = k 0 + mit k 0 Z gilt h[k 0 k] = h[k 0 + k + ]. Die Phase ist dann b(ω) = Ωξ + h[k] = π π ( sign ( H0 ( e jω ))) πsign(ω) (78) H 0 ( e jω ) cos((k ξ)ω)dω (79) 5

26 3. Eigenschaften von LTI-Systemen Fall H ( e jω) = jh 0 ( e jω ) e jωξ mit Ω π und ξ R. H 0 ( e jω ) sei reell ungerade. Für ξ = k 0 mit k 0 Z gilt h[k 0 k] = h[k 0 + k]. Für ξ = k 0 + mit k 0 Z gilt h[k 0 k] = h[k 0 + k + ]. Die Phase ist dann b(ω) = Ωξ π + h[k] = π 3... Eigenschaften der z-transformierten π π ( sign ( H0 ( e jω ))) πsign(ω) (80) H 0 ( e jω ) sin((k ξ)ω)dω (8) Bei linearphasigen Systemen liegen alle Pole im Ursprung und die Nullstellen als am Einheitskreis gespiegelte Paare bzw. auf dem Einheitskreis (d. h. falls z 0ν = ρ ν e jψν Polstelle ist, dann auch z 0λ = ρ ν e jψν ). Ist ein System linear und BIBO-stabil, so hat es endliche Impulsantwort. 3.. Allpaßfilter Für Allpaßfilter gilt A(e jω ) = Ω A(z) = z n N(z ) N(z) Pole und Nullstellen befinden sich spiegelbildlich zum Einheitskreis, d. h. z 0ν = z ν (8) (83) Ein stabiler Allpaß ist minimalphasig, d. h. alle Nullstellen sind innerhalb des Einheitskreises, alle Polstellen außerhalb Zerlegung in stabilen Allpaß und minimalphasiges System H(z) = Z i(z) Z o, (z) N(z) }{{} minimalphasig Z o (z) Z o, (z) }{{} stabiler Allpaß mit Z i (z) Nullstellen im Einheitskreis, Z o (z) Nullstellen außerhalb des Einheitskreises und Z o, (z) = z n Z o (z ), N(z) Polstellen. (84) 3... Gruppenlaufzeit von Allpaßfiltern n ρ ν τ A (Ω) = + ρ ν ρ ν cos(ω ψ ν ) ν= (85) 6

27 3. Eigenschaften von LTI-Systemen 3.3. Betrag, Phase und Gruppenlaufzeit Übertragungsfunktion m µ= H(z) = b m (z z 0µ) n ν= (z z ν) m H(e jω ) = H(e jω ) e jb(ω) µ=0 = b µe jµω m ( n ν=0 a νe jνω = b µ= e jω ) z 0µ m n ν= (ejω z ν ) (86) (87) Zusammenhang zwischen Differenzengleichung und Systemfunktion: N a n y[k n] = n= Betrag N n=0 H(e jω ) = bm b n x[k n] H(z) = Y (z) N X(z) = m=0 b mz m N n=0 a (88) nz n m µ= + ρ 0µ ρ 0µ cos(ω ψ 0µ ) + ρ ν ρ ν cos(ω ψ ν ) n ν= mit ρ [ 0]a = z [ 0]a und ψ [ 0]a = arg { z [ 0]a } Phase b(ω) = arg { H(e jω ) } = arctan Im{H(ejΩ )} Re{H(e jω )} = arg { N(e jω ) } arg { Z(e jω ) } (90) = π n m [ signb m] sign sin(ω) + b ν (Ω) b 0µ (Ω) (9) ν= µ= (89) mit b [ 0]a = arctan sin Ω ρ [ 0]a sin ψ [ 0]a cos Ω ρ [ 0]a cos ψ [ 0]a (9) Gruppenlaufzeit Die Gruppenlaufzeit wird bei zeitkontinulierlichen Systemen definiert als Ableitung der Phase nach der Frequenz: τ g (Ω) = τ g ( Ω) = d arg{h(ejω )} = [ z H (z) dω H(z) + z H (z ] ) H(z (93) ) z=e n m jω = τ g ν (Ω) τ g0µ (Ω) (94) ν= µ= wobei ρ cos(ω ψ) τ gρ (Ω) = + ρ ρ cos(ω ψ) und τ g ν (Ω) = τ gρ (Ω) sowie τ g0µ (Ω) = τ gρ (Ω). (95) 7

28 4. Idealisierte LTI-Systeme D z[k + ] z[k] x[k] y[k] B z E C A Abbildung 4: Zustandsraumbeschreibung für diskrete Systeme 4. Idealisierte LTI-Systeme sind nicht kausal sind nicht BIBO-stabil besitzung keine z-transformierte haben lineare Phase haben bei geeigneter Zeitverschiebung gerade oder ungerade Symmetrie 8

29 5. Zustandsraumbeschreibung x(t) b 0 /a 0 y(t) z[k + ] z z z[k] b a b N a N z z b N a N Abbildung 5: Direktform I für zeitdiskrete Systeme 5. Zustandsraumbeschreibung 5.. Im Zeitbereich 5.. Im Frequenzbereich z[k + ] = Az[k] + Bx[k] (96) y[k] = Cz[k] + Dx[k] (97) 5.3. Übertragungsfunktion 5.4. Transformation auf Diagonalform zz(z) = AZ(z) + BX(z) (98) Y (z) = CZ(z) + DX(z) (99) H(z) = C(zE A) B + D (00) Berechne T, so daß D = T AT Diagonalform hat. T besteht aus den normierten Eigenvektoren von A, D aus den Eigenwerten. 9

30 5. Zustandsraumbeschreibung x(t) + /a 0 b 0 + y(t) z a b a N b N z a N b N Abbildung 6: Direktform II für zeitdiskrete Systeme 5.5. Frobenius-Matrix z z. z N z N [k + ] = ( y[k] = a a 0 a a 0 a a 0 a a b a b 0 a 0 b N a N b 0 a 0. ) z z. z N z z. z N z N [k] + a x[k] (0) [k] + b 0 x[k] (0) a 0 30

31 5. Zustandsraumbeschreibung x(t) b 0 /a 0 y(t) z b a z b N a N z b N a N Abbildung 7: Direktform III für zeitdiskrete Systeme 3

32 6. Schnelle Fouriertransformation (FFT) 5.6. Signalflußgraphen Berechenbarkeit Ein Signalflußgraph heißt nicht berechenbar, wenn er verzögerungsfreie Schleifen enthält Transposition Umkehr aller Zweigrichtungen und Vertauschen von Ein- und Ausgängen führt auf ein bezüglich der Differenzengleichung äquivalentes Netzwerk. Für digitale Schaltungen ist die Graphform, die erst verzögert und dann multipliziert und addiert zu bevorzugen. 6. Schnelle Fouriertransformation (FFT) 6.. Definition Sei M die Länge der DFT und n+ die Länge der Impulsantwort des Filters. Dann ergibt sich die Blocklänge für die Anwendung der Overlap-Save- und Overlap-Add-Methoden (siehe Abbildungen?? und??) zu L M n. Der Block muß mit n Nullen aufgefüllt werden. 6.. FFT in Matrixschreibweise Sei A(n) die Matrix A(n) = w n w n w n n w n w 4 n w (n ) n.. w n n..... wn (n ) w n (n )(n ) (03) und w n = e j π n durch die n-te Einheitswurzel. Ist m = n, so ist die FFT der Länge n gegeben A(m) 0 E 0 E 0 A(m) 0 M E E E (04) wobei E die Einheitsmatrix ist und M = diag(, w n, w n,..., w m n ). 3

33 7. Filterentwurf HLP (e jω ) G(jv ) δ P δ S Ω δ P δ S v Ω D Ω S π π (a) Periodische Toleranzschema v D v S (b) Toleranzschema nach der bilinearen Transformation C K(jv ) v v D v S (c) Toleranzschema für C K(jv ) Abbildung 8: Filterentwurf 6.3. Vergleich von Overlap-Add- und Overlap-Save-Methode Overlap-Save: Eingabepuffer für die DFT der Länge M, keine Addition am Ausgang. Overlap-Add: Eingabepuffer für die DFT der Länge L, n Additionen am Ausgang. 7. Filterentwurf Gegeben: f D, f S, δ P, δ S, f A.. f A f max + f S (05). Periodisches Toleranzschema (siehe Abbildung 8(a)) des digitalen Tiefpasses. Ω = π f f A (06) Ω D = π fd f A (07) Ω S = π fs f A (08) 33

34 8. Abtastratenwandlung, Multiratensysteme und Filterbänke 3. Bilineare Transformation (siehe Abbildung 8(b)). w = z z + z = + w w (09) w = u + jv v = tan Ω (0) 4. v D = tan Ω D v S = tan Ω S () C(jv) = + C K(jv) () δ D δd δs = = (3) δ D δ S 5. Berechnung der Filterordnung a) Butterworth-Filter Filterordnung: n log log v S mit n N (4) C bestimmt den Radius der Pole. b) Tschebyscheff-Polynom Typ Filterordnung: n arccosh arccoshv S = C K(jv) = C(v ) n (5) (v ) n C (6) ( ln ln + ( v S v D + ) vs vd 8. Abtastratenwandlung, Multiratensysteme und Filterbänke 8.. Dezimation und Interpolation 8... Abtastratenreduktion. Multiplikation von x[k] mit einem Impulskamm: ) (7) x R,κ [k] = r R,κ [k] x[k] (8) 34

35 A. Mathematische Grundlagen wobei r R,κ [k] = { für k = n R + k 0 sonst = R R e j π R ρ (k κ) (9) ρ=0. Nullwerte weglassen ( X R,κ e jω ) = R R X ρ=0 X R,κ (z) = R R X ρ=0 πρ (e(ω R ) ) πρκ j e R (0) (z e j πρ R ) πρκ j e R () y[n] = X R,κ [n R + κ] = x[n R + κ] mit n Z () Y ( e jω ) R = y[n]e jω R mit Ω R = πf f s und f s Abtastrate (3) n= R ( ) = X R,κ e j Ω R R e jω R κ R (4) Y (z R ) = n= y[n]z n R = X R,κ (z rr ) z κ R R mit z R = z R (5) Um Aliasing bei Unterabtastung zu vermeiden muß x[k] auf π R bandbegrenzt werden. Tritt Aliasing auf spricht man von Unterabtastung. Reellwertige Folgen müssen in Ω [0; π} auf π R bandbegrenzt sein. Komplexwertige Folgen haben keine Einschränkung bezüglich Bandgrenzen Dezimation y R,κ [k] = R Y R,κ ( e jω ) = R Y R,κ (z) = R R ρ=0 R ρ=0 [( πρκ j e R h D [k] e j π ρk) ( R x[k] e j π ρk)] R (6) R ρ=0 H D (e j(ω π R ρ)) e j π R ρκ X H D (ze j π R ρ) e j π R ρκ X H D,ρ,κ (z) = R H D ( e j(ω π R ρ)) (7) ( ze j π R ρ) (8) ( ze j π R ρ) e j π R ρκ (9) 35

36 A. Mathematische Grundlagen Tabelle : Teile von Einheiten Bezeichnung Präfix Faktor Faktor Faktor 3 yotto y zepto z atto a femto f pico p nano n micro µ milli m centi c deci d

37 A. Mathematische Grundlagen Tabelle : Vielfache von Einheiten Bezeichnung Präfix Faktor Faktor Faktor 3 Deka da Hekto h Kilo k Mega M Giga G Tera T Peta P Exa E Zeta Z Yotta Y

38 A. Mathematische Grundlagen A. Mathematische Grundlagen A.. Frequenz A... Definition f := T (30) T ist die Periode der Schwingung. A... Kreisfrequenz ω := πf (3) A..3. Normierte Kreisfrequenz Ω := ω f a (3) f a ist die Abtastfrequenz. A..4. Die z-ebene A.. Lösungsformel für quadratische Gleichungen z := e jω (33) A.3. Geradengleichung ax + bx + c = 0 (34) b ± b 4ac falls b 4ac 0 x, = a b ± j (b (35) 4ac) falls b 4ac < 0 a A.3.. Gerade durch einen Punkt P (x 0, y 0 ) mit Steigung m y = m(x x 0 ) + y 0 (36) A.3.. Gerade durch die Punkte P (x 0, y 0 ) und A(x, y ) A.3.3. Parameterform mit t ], [. y = y 0 + y y 0 x x 0 (x x 0 ) mit x x 0 (37) x = x 0 + t cos α (38) y = y 0 + t sin α (39) 38

39 A. Mathematische Grundlagen cot tan sin cos Abbildung 9: Trigonometrische Funktionen A.3.4. Allgemeine Form der Geradengleichung A.4. Additionstheoreme Ax + By + C = 0 (40) sin α sin β = (cos(α β) cos(α + β)) (4) cos α cos β = (cos(α β) + cos(α + β)) (4) sin α cos β = (sin(α β) + sin(α + β)) (43) sin α = ( cos α) (44) cos α = ( + cos α) (45) sin α = sin α cos α = cos α (46) cos α = cos α sin α = sin α (47) sin α = ejα e jα j cos α = ejα + e jα (48) (49) e jα = cos α + j sin α (50) e jα = cos α j sin α (5) 39

40 A. Mathematische Grundlagen Tabelle 3: Trigonometrische Funktionen Funktionswerte besonderer Winkel 0 π 6 π 4 π 3 π 3 π π Quadrant ϕ I II III IV sin ϕ cos ϕ nicht tan ϕ definiert cot ϕ nicht definiert 3 nicht definiert 0 nicht definiert A.5. Rechenregeln des Logarithmus log b (u v) = log b u + log b v ( u ) log b = log v b u log b v (5) A.6. Differentiation A.6.. Regeln log b u z = z log b u log b n u = n log b u (53) A.6... Quotientenregel A.6... Kettenregel ( u v ) = u v uv v (54) (u(v(x))) = u (v(x)) v (x) (55) A Produktregel A Logarithmische Differentiation (u(x) v(x)) = u(x) v (x) + u (x) v(x) (56) y = u(x) v(x) mit u(x) > 0 (57) ( y = u(x) v(x) v (x) ln u(x) + v(x) ) u (x) (58) u(x) 40

41 A. Mathematische Grundlagen A Differentiation eines parameterabhängigen Integrals x b(x) a(x) f(t, x) dt = b(x) a(x) A l Hospital sche Regel A.6.. Operatoren A.6... Laplace-Operator x f(t, x) dt + f(b(x), x) b (x) f(a(x), x) a (x) (59) u(x) lim x a v(x) = lim u (x) x a v (x) f := A.6... Divergenz-Operator div n i= f x i (60) (6) = Sp (Hess f ( x)) (6) = f (63) Definition Rechenregeln divf := n i= f i x i = Sp(J v ) = f (64) (φ v) = ( φ) v + φ( v) (65) ( v w) = w ( v) v ( w) (66) A Gradient-Operator Definition Rechenregeln gradf := f = (f x,, f xn ) T (67) (A + B) = A + B (68) (A B) = A B + A B (69) Hierbei bedeutet eines der Produkte, oder und A bedeutet, daß nur auf A angewandt wird. Damit folgt: (φψ) = φ( ψ) + ( φ)ψ (70) (φ v) = v ( φ) + φ( v) (7) ( v w) = ( v) T w + ( w) T v (7) (φf) = ( φ) f + φ f (73) 4

42 A. Mathematische Grundlagen A Rotations-Operator Definition rotv := v 3 x v x 3 v x 3 v 3 x v x v x = V (74) Rechenregeln (φ v) = ( φ) v + φ( v) (75) ( v w) = ( w) v + v w ( v) w w v Hierbei ist v w die Richtungsableitung von v in Richtung von w, d. h. w = w. A Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) f f = f x x = J f =..... f m x A Hesse-Matrix Hess φ ( x) = φ x = φ x φ x x φ x 3 x A Zusammengesetzte Operationen A.7. Integrationsregeln f x n f m x n φ x x φ x φ x 3 x (76) = f (77) φ x x 3 φ x x 3 φ x 3 (78) = grad(gradφ) = φ (79) ( v) = 0 (80) ( φ) = 0 (8) ( v) = ( v) v (8) A.7.. Partielle Integration u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx (83) 4

43 A. Mathematische Grundlagen Tabelle 4: Potenzen der imaginären Einheit n 0 3 j (n mod 4) j j A.7.. Substitutionsregel x = u(t) bzw. t = v(x). u und v seien zueinander Umkehrfunktionen. f(x) dx = f(u(t))u (t) dt bzw. (84) f(x) dx = f(u(t)) v dt (u(t)) (85) A.7.3. Logarithmische Integration f (x) dx = ln f(x) + c (86) f(x) f (x) f(x) dx = f (x) + c (87) A.7.4. Integration der Umkehrfunktion u und v seien zueinander Umkehrfunktionen. Dann ist u(x) dx = xu(x) F (u(x)) + c (88) mit A.8. Komplexe Zahlen F (x) = v(x) dx + c (89) z = a + jb (90) = ρ(cos ϕ + j sin ϕ) (9) arg z = ϕ + kπ ( π < ϕ +π k Z) (9) a = ρ cos ϕ (93) b = ρ sin ϕ (94) ρ = a + b (95) 43

44 A. Mathematische Grundlagen arccos a ρ für b 0 ρ > 0 ϕ = arccos a ρ für b < 0 ρ > 0 unbestimmt für ρ = 0 arctan b a für a > 0 + π für a = 0 b > 0 ϕ = π für a = 0 b < 0 arctan b a + π für a < 0 b 0 arctan b a π für a < 0 b < 0 (96) (97) z = ρ e jϕ (98) e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ (99) e a+jb = e a cos b + je a sin b (00) A.8.. Komplexe Wurzel n ( ( ) ( )) z = n ψ + πk ψ + πk z cos + j sin n n mit k = 0,..., n und ψ = arg(z). (0) A.9. Binomialkoeffizient (n ) = k ( ) n = n k n! k!(n k)! (0) A.9.. Reihen Für konvergente Reihen gilt (αa n + βb n ) = α a n + β b n (03) n= n= n= A.0. Abschätzung mittels Union-Bound P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B) (04) Harmonische Reihe Geometrische Reihe 44

45 A. Mathematische Grundlagen Tabelle 5: Bekannte Reihen Formel Anmerkung n= k=0 n k q k k=k 0 n ( ) n n= n= divergiert q k q n qk0 qk+ q ln π 6 ( ) falls q < n α konvergiert für α > m n n= m n= m (m + ) n m (m + ) (n + ) 6 45

46 Literatur A.. Bessel-Funktion erster Art A... Definition J ν (η) = π A... Eigenschaften π π e j(η sin x νx) dx (05) ( x ) n n! ( x ) n+ (n + )! falls x (06) n gerade J n (x) = J n ( x) = J n (x) = J n ( x) n ungerade J n (x) = J n ( x) = J n (x) = J n (x) Literatur [] Furlan, Peter: Das Gelbe Rechenbuch. Lineare Algebra, Differentialrechnung für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker. Dortmund : Verlag Martina Furlan, 995. ISBN [] Huber, Johannes: Nachrichtenübertragung. Erlangen : Vorlesungsskript zur gleichnamigen Veranstaltung, 006 [3] Kammeyer, Karl-Dirk: Nachrichtenübertragung. Stuttgart : Teubner, 004. ISBN [4] Kellermann, Walter: Digitale Signalverarbeitung. Erlangen : Vorlesungsskript zur gleichnamigen Veranstaltung, 005 [5] Konstantin Adolfowitsch Semendjajew, Ilja Nikolajewitsch B.: Taschenbuch der Mathematik. Thun und Frankfurt am Main : Verlag Harri Deutsch, 00. ISBN [6] Paul Mühlbauer, Friedrich B.: Mathematische Formeln und Definitionen. München : Bayerischer Schulbuchverlag, 998. ISBN X [7] Rudolf Rabenstein, Bernd G.: Einführung in die Systemtheorie. Stuttgart : Teubner, 005. ISBN

47 Index Symbole, 4 H {.}, j, 43, 4 A Ableitungsoperator Nabla, 4 Divergenz, 4 Gradient, 4 Laplace, 4 Rotation, 4 zusammengesetzte Operationen, 4 Abtastratenreduktion, 34 Abtasttheorem, 5 Bandpaß, 5 Basisband, 5 Abtastung, 6 Additionstheoreme, 39 Allpaß, 6 atto, 36 B Bessel-Funktion, 46 Binomialkoeffizient ( n k), 44 C centi, 36 cos-, 39 D deci, 36 Deka, 37 Dezimation, 34 Differentialoperator, siehe Ableitungsoperator Differentiation, 40 Kettenregel, 40 logarithmische, 40 parameterabhängiges Integral, 4 Produktregel, 40 Quotientenregel, 40 Direktform I, 9 II, 30 III, 3 Divergenz, 4 E ECB-Transformation, Exa, 37 F Faltung lineare, 8 zyklische, 8 femto, 36 FFT, 3 Matrix, 3 Filter Entwurf, 33 Funktion rect-, 9 sinc-, 9 trigonometrische, 39, 40 Funktionalmatrix, 4 G Geradengleichung allgemeine Form, 39 durch Punkt und Steigung, 38 durch zwei Punkte, 38 Parameterform, 38 Giga, 37 Gradiend, 4 H Hekto, 37 47

48 I Inphasekomponente, 3 Integration logarithmische, 43 partielle, 4 Substitutionsregel, 43 Umkehrfunktion, 43 Interpolation, 34 Interpolationsfilter Bandpaß, 5 Basisband, 5 J Jakobimatrix, 4 K Kettenregel, 40 Kilo, 37 Komplexe Zahlen, 43 L Laplace-Operator, 4 l Hospitalsche Regel, 4 Logarithmus Rechenregeln, 40 LTI-System Eigenschaft Allpaß, 6 Betrag, 7 BIBO-Stabilität, 4 FIR, 4 Gruppenlaufzeit, 7 Grupppenlaufzeit, 6 Kausalität, 4 Linearität, 3 Linearphasigkeit, 5 Maximalphasigkeit, 5 Minimalphasigkeit, 5 Phase, 7 Reellwertigkeit, 5 Stabilität, 4 Verzerrungsfreiheit, 5 Zeitinvarianz, 3 Index idealisiertes, 8 M Matrix Frobenius, 30 Funktional, 4 Hesse, 4 Jakobi, 4 Mega, 37 micro, 36 milli, 36 Multiratensysteme, 34 N nano, 36 P Peta, 37 pico, 36 Produktregel, 40 Q Quadratische Gleichung, 38 Quadraturkomponente, 3 Quotientenregel, 40 R Reihe geometrische, 45 harmonische, 45 Reihen, 44 Rotation rot, 4 S Signalflußgraph, 3 sin-, 39 Systemfunktion, 7 T Tera, 37 Transformation DFT-, 8 48

49 Index Diskrete Fourier-, 8 DTFT-, 6 ECB, Fourier-, 9 zeitdiskret, 6 8 Hilbert-, inverse z-, 5 Laplace-, 6 Symmetrien, z-, 6 U Übertragungsfunktion, 9 Übertragunsfunktion, 7 Union-Bound, 44 W Wurzel komplexe, 44 Y Yotta, 37 yotto, 36 Z Zahl komplexe, 43 Wurzel, 44 zepto, 36 Zeta, 37 Zustandsraumbeschreibung, 9 Frobenius-Matrix, 30 im Frequenzbereich, 9 im Zeitbereich, 9 Übertragungsfunktion, 9 49