Mensch-Maschine-Schnittstelle

Transkript

1 Formeln und Notizen Mensch-Maschine-Schnittstelle Florian Franzmann 7. April 009, 3:53 Uhr Abbildungsverzeichnis. Trigonometrische Funktionen Tabellenverzeichnis. Teile von Einheiten Vielfache von Einheiten Trigonometrische Funktionen Funktionswerte besonderer Winkel Potenzen der imaginären Einheit Bekannte Reihen Inhaltsverzeichnis. Mensch-Maschine-Schnittstelle 5 A. Mathematische Grundlagen 5 A.. Frequenz A... Definition A... Kreisfrequenz A..3. Normierte Kreisfrequenz A..4. Die z-ebene A.. Lösungsformel für quadratische Gleichungen A.3. Geradengleichung siflfran@hawo.stw.uni-erlangen.de

2 A.3.. Gerade durch einen Punkt P (x 0, y 0 ) mit Steigung m A.3.. Gerade durch die Punkte P (x 0, y 0 ) und A(x, y ) A.3.3. Parameterform A.3.4. Allgemeine Form der Geradengleichung A.4. Additionstheoreme A.5. Rechenregeln des Logarithmus A.6. Differentiation A.6.. Regeln A.6... Quotientenregel A.6... Kettenregel A Produktregel A Logarithmische Differentiation A Differentiation eines parameterabhängigen Integrals... 8 A l Hospital sche Regel A.6.. Operatoren A.6... Laplace-Operator A.6... Divergenz-Operator div A Gradient-Operator A Rotations-Operator A Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) A Hesse-Matrix A Zusammengesetzte Operationen A.7. Integrationsregeln A.7.. Partielle Integration A.7.. Substitutionsregel A.7.3. Logarithmische Integration A.7.4. Integration der Umkehrfunktion A.8. Komplexe Zahlen A.8.. Komplexe Wurzel A.9. Binomialkoeffizient A.9.. Reihen A.0.Abschätzung mittels Union-Bound A..Bessel-Funktion erster Art A...Definition A...Eigenschaften

3 Tabelle : Teile von Einheiten Bezeichnung Präfix Faktor Faktor Faktor 3 yotto y zepto z atto a femto f pico p nano n micro µ milli m centi c deci d

4 Tabelle : Vielfache von Einheiten Bezeichnung Präfix Faktor Faktor Faktor 3 Deka da Hekto h Kilo k Mega M Giga G Tera T Peta P Exa E Zeta Z Yotta Y

5 . Mensch-Maschine-Schnittstelle. Mensch-Maschine-Schnittstelle A. Mathematische Grundlagen A.. Frequenz A... Definition f := T () T ist die Periode der Schwingung. A... Kreisfrequenz ω := πf () A..3. Normierte Kreisfrequenz Ω := ω f a (3) f a ist die Abtastfrequenz. A..4. Die z-ebene A.. Lösungsformel für quadratische Gleichungen z := e jω (4) A.3. Geradengleichung ax + bx + c = 0 (5) b ± b 4ac falls b 4ac 0 x, = a b ± j (b (6) 4ac) falls b 4ac < 0 a A.3.. Gerade durch einen Punkt P (x 0, y 0 ) mit Steigung m y = m(x x 0 ) + y 0 (7) A.3.. Gerade durch die Punkte P (x 0, y 0 ) und A(x, y ) y = y 0 + y y 0 x x 0 (x x 0 ) mit x x 0 (8) 5

6 cot tan sin cos Abbildung : Trigonometrische Funktionen A.3.3. Parameterform mit t ], [. x = x 0 + t cos α (9) y = y 0 + t sin α (0) A.3.4. Allgemeine Form der Geradengleichung A.4. Additionstheoreme Ax + By + C = 0 () sin α sin β = (cos(α β) cos(α + β)) () cos α cos β = (cos(α β) + cos(α + β)) (3) sin α cos β = (sin(α β) + sin(α + β)) (4) sin α = ( cos α) (5) cos α = ( + cos α) (6) sin α = sin α cos α = cos α (7) cos α = cos α sin α = sin α (8) 6

7 Tabelle 3: Trigonometrische Funktionen Funktionswerte besonderer Winkel 0 π 6 π 4 π 3 π 3 π π Quadrant ϕ I II III IV sin ϕ cos ϕ nicht tan ϕ definiert cot ϕ nicht definiert 3 nicht definiert 0 nicht definiert sin α = ejα e jα j cos α = ejα + e jα (9) (0) e jα = cos α + j sin α () e jα = cos α j sin α () A.5. Rechenregeln des Logarithmus log b (u v) = log b u + log b v ( u ) log b = log v b u log b v (3) A.6. Differentiation A.6.. Regeln log b u z = z log b u log b n u = n log b u (4) A.6... Quotientenregel A.6... Kettenregel ( u v ) = u v uv v (5) (u(v(x))) = u (v(x)) v (x) (6) 7

8 A Produktregel A Logarithmische Differentiation (u(x) v(x)) = u(x) v (x) + u (x) v(x) (7) y = u(x) v(x) mit u(x) > 0 (8) ( y = u(x) v(x) v (x) ln u(x) + v(x) ) u (x) (9) u(x) A Differentiation eines parameterabhängigen Integrals x b(x) a(x) f(t, x) dt = b(x) a(x) A l Hospital sche Regel x f(t, x) dt + f(b(x), x) b (x) f(a(x), x) a (x) (30) u(x) lim x a v(x) = lim u (x) x a v (x) (3) A.6.. Operatoren A.6... Laplace-Operator f := A.6... Divergenz-Operator div n i= f x i (3) = Sp (Hess f ( x)) (33) = f (34) Definition Rechenregeln divf := n i= f i x i = Sp(J v ) = f (35) A Gradient-Operator (φ v) = ( φ) v + φ( v) (36) ( v w) = w ( v) v ( w) (37) Definition gradf := f = (f x,, f xn ) T (38) 8

9 Rechenregeln (A + B) = A + B (39) (A B) = A B + A B (40) Hierbei bedeutet eines der Produkte, oder und A bedeutet, daß nur auf A angewandt wird. Damit folgt: A Rotations-Operator (φψ) = φ( ψ) + ( φ)ψ (4) (φ v) = v ( φ) + φ( v) (4) ( v w) = ( v) T w + ( w) T v (43) (φf) = ( φ) f + φ f (44) Definition Rechenregeln rotv := v 3 x v x 3 v x 3 v 3 x v x v x = V (45) (φ v) = ( φ) v + φ( v) (46) ( v w) = ( w) v + v w ( v) w w v Hierbei ist v w die Richtungsableitung von v in Richtung von w, d. h. w = w. (47) A Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) f = f x = J f = f x. f m x f x n.... f m x n = f (48) 9

10 A Hesse-Matrix Hess φ ( x) = φ x = φ x φ x x φ x 3 x A Zusammengesetzte Operationen A.7. Integrationsregeln φ x x φ x φ x 3 x φ x x 3 φ x x 3 φ x 3 (49) = grad(gradφ) = φ (50) ( v) = 0 (5) ( φ) = 0 (5) ( v) = ( v) v (53) A.7.. Partielle Integration u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx (54) A.7.. Substitutionsregel x = u(t) bzw. t = v(x). u und v seien zueinander Umkehrfunktionen. f(x) dx = f(u(t))u (t) dt bzw. (55) f(x) dx = f(u(t)) v dt (u(t)) (56) A.7.3. Logarithmische Integration f (x) dx = ln f(x) + c (57) f(x) f (x) f(x) dx = f (x) + c (58) A.7.4. Integration der Umkehrfunktion u und v seien zueinander Umkehrfunktionen. Dann ist u(x) dx = xu(x) F (u(x)) + c (59) mit F (x) = v(x) dx + c (60) 0

11 Tabelle 4: Potenzen der imaginären Einheit n 0 3 j (n mod 4) j j A.8. Komplexe Zahlen z = a + jb (6) = ρ(cos ϕ + j sin ϕ) (6) arg z = ϕ + kπ ( π < ϕ +π k Z) (63) a = ρ cos ϕ (64) b = ρ sin ϕ (65) ρ = a + b (66) arccos a ρ für b 0 ρ > 0 ϕ = arccos ρ für b < 0 ρ > 0 (67) unbestimmt für ρ = 0 arctan b a für a > 0 + π für a = 0 b > 0 ϕ = π für a = 0 b < 0 (68) arctan b a arctan b a π für a < 0 b < 0 z = ρ e jϕ (69) e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ (70) e a+jb = e a cos b + je a sin b (7) A.8.. Komplexe Wurzel n ( ( ) ( )) z = n ψ + πk ψ + πk z cos + j sin n n mit k = 0,..., n und ψ = arg(z). (7)

12 Tabelle 5: Bekannte Reihen Formel Anmerkung n= k=0 n k q k k=k 0 n ( ) n n= n= divergiert q k q n qk0 qk+ q ln π 6 ( ) falls q < n α konvergiert für α > m n n= m n= m (m + ) n m (m + ) (n + ) 6 A.9. Binomialkoeffizient (n ) = k ( ) n = n k n! k!(n k)! (73) A.9.. Reihen Für konvergente Reihen gilt (αa n + βb n ) = α a n + β b n (74) n= n= n= Harmonische Reihe Geometrische Reihe

13 Literatur A.0. Abschätzung mittels Union-Bound P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B) (75) A.. Bessel-Funktion erster Art A... Definition J ν (η) = π A... Eigenschaften π π e j(η sin x νx) dx (76) ( x ) n n! ( x ) n+ (n + )! falls x (77) n gerade J n (x) = J n ( x) = J n (x) = J n ( x) n ungerade J n (x) = J n ( x) = J n (x) = J n (x) Literatur [] Furlan, Peter: Das Gelbe Rechenbuch. Lineare Algebra, Differentialrechnung für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker. Dortmund : Verlag Martina Furlan, 995. ISBN [] Huber, Johannes: Nachrichtenübertragung. Erlangen : Vorlesungsskript zur gleichnamigen Veranstaltung, 006 [3] Kammeyer, Karl-Dirk: Nachrichtenübertragung. Stuttgart : Teubner, 004. ISBN [4] Konstantin Adolfowitsch Semendjajew, Ilja Nikolajewitsch B.: Taschenbuch der Mathematik. Thun und Frankfurt am Main : Verlag Harri Deutsch, 00. ISBN [5] Paul Mühlbauer, Friedrich B.: Mathematische Formeln und Definitionen. München : Bayerischer Schulbuchverlag, 998. ISBN X [6] Rabenstein, Rudolf: Mensch-Maschine-Schnittstelle. Erlangen : Vorlesungsskript zur gleichnamigen Veranstaltung, 007 3

14 Index Symbole, 8 j,, 8 A Ableitungsoperator Nabla, 8 Divergenz, 8 Gradient, 8 Laplace, 8 Rotation, 9 zusammengesetzte Operationen, 0 Additionstheoreme, 6 atto, 3 B Bessel-Funktion, 3 Binomialkoeffizient ( n k), C centi, 3 cos-, 6 D deci, 3 Deka, 4 Differentialoperator, siehe Ableitungsoperator Differentiation, 7 Kettenregel, 7 logarithmische, 8 parameterabhängiges Integral, 8 Produktregel, 8 Quotientenregel, 7 Divergenz, 8 E Exa, 4 F femto, 3 Funktion trigonometrische, 6, 7 Funktionalmatrix, 9 G Geradengleichung allgemeine Form, 6 durch Punkt und Steigung, 5 durch zwei Punkte, 5 Parameterform, 6 Giga, 4 Gradiend, 8 H Hekto, 4 I Integration logarithmische, 0 partielle, 0 Substitutionsregel, 0 Umkehrfunktion, 0 J Jakobimatrix, 9 K Kettenregel, 7 Kilo, 4 Komplexe Zahlen, L Laplace-Operator, 8 l Hospitalsche Regel, 8 Logarithmus Rechenregeln, 7 4

15 M Matrix Funktional, 9 Hesse, 0 Jakobi, 9 Mega, 4 micro, 3 milli, 3 N nano, 3 P Peta, 4 pico, 3 Produktregel, 8 Q Quadratische Gleichung, 5 Quotientenregel, 7 R Reihe geometrische, harmonische, Reihen, Rotation rot, 9 S sin-, 6 T Tera, 4 U Union-Bound, 3 W Wurzel komplexe, Index Y Yotta, 4 yotto, 3 Z Zahl komplexe, Wurzel, zepto, 3 Zeta, 4 5