Physik für Biologen und Zahnmediziner

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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum 3: Funktionen und Ableitungen Dr. Daniel Bick 22. Oktober 2014 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

2 Hinweise zur Klausur Es darf keine eigene Formelsammlung verwendet werden. Die Klausur enthält eine Seite mit relevanten Formeln. Multiple Choice: Nur die Antwort zählt, der Lösungsweg spielt keine Rolle für die Bewertung. Taschenrechner dürfen uneingeschränkt benutzt werden. Allerdings ist es nicht erlaubt, Informationen zu möglichen Klausuraufgaben zu speichern. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

3 Inhalt 1 Wiederholung 2 Exponentialfunktionen 3 Logarithmen 4 Differentiation 5 Messfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

4 Übersicht 1 Wiederholung 2 Exponentialfunktionen 3 Logarithmen 4 Differentiation 5 Messfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

5 Sinus- und Cosinus-Funktion π 5π 6 7π 6 2π 3 sin(ϕ) π 2 4π 3 3π 2 y ϕ π 3 cos(ϕ) 5π 3 π 6 11π 6 0 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse cos(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

6 Graphen von Sinus und Cosinus 1 ϕ = π 2 = 90 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) 0 π 2 π 3π 2 2π ( cos(ϕ) = sin ϕ + π ) ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

7 Allgemeine Sinus-Funktion und Periode f(x) = A sin (c ϕ + ϕ 0 ) Normaler Sinus hat die Periode P = 2π Allgemeine Sinus-Funktion mit Periode P : ( ) 2π f(x) = A sin P ϕ + ϕ 0 Also c = 2π P bzw.: P = 2π c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

8 Größenordnungen Potenz Name Zeichen Potenz Name Zeichen Yotta Y 10 1 Dezi d Zetta Z 10 2 Zenti c Exa E 10 3 Milli m Peta P 10 6 Mikro µ Tera T 10 9 Nano n 10 9 Giga G Piko p 10 6 Mega M Femto f 10 3 Kilo k Atto a 10 2 Hekto h Zepto z 10 1 Deka da Yocto y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

9 Übersicht Exponentialfunktionen f(x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis Negative b exponentiell fallend Verschiebung entlang der x-achse :x 0 Verschiebung entlang der y-achse :c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

10 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f(x) = y = a B b(x x 0) + c Negative b: exponentiell fallend (z.b. e x = 1/e x ) 4 2 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

12 Beispiel: Radioaktiver Zerfall von Cäsium N(t) = N 0 e t τ 1 Zerfall von 137 Cs N/N Cs hat Halbwertszeit T 1/2 = 30,17 a Üblicher: Lebensdauer τ = T 1/2 ln(2) t [Jahre] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

13 Beispiel: Strahlenbelastung Radioaktiver Zerfall Strahlenbelastung Quelle: I radiation, Fukushima Prefecture 2, March-April 2011.png Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

14 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasant ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle y 0.6 f(x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

15 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasant ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle y 0.6 f(x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

16 Beispiel: Laden eines Kondensators Q(t) = Q S (1 e t τ ) Q S Q [C] t [ns] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

18 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? 10 x = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

19 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? 10 x = f(x) = 10 x x 0, , ,01-2 0, Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

20 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? f(x) = 10 x x 0, , ,01-2 0, x = x = 4 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

21 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? x f(x) = log 10 x 0, , ,01-2 0, y 10 x = x = 4 x = log 10 (10000) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

22 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? x f(x) = log 10 x 0, , ,01-2 0, y 10 x = x = 4 x = log 10 (10000) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

23 Logarithmus 10 x = x = log 10 (10000) = 4 x = 4: Anzahl der Nullen log 10 steht für Logarithmus zur Basis 10 Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit gleicher Basis Wächst extrem langsam Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

24 Logarithmus allgemein Gegeben b = a x mit a > 0 Lösung: Logarithmus von b zur Basis a x = log a b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

25 Logarithmus allgemein Gegeben b = a x mit a > 0 Lösung: Logarithmus von b zur Basis a x = log a b Besondere Basen: 10: log 10 b = lg b e: log e b = ln b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

26 Logarithmus mit unterschiedlicher Basis y a = 10 a = e a = x y-achse ist Asymptote Schneidet x-achse bei x = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

27 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation Am Beispiel mit der Basis 10 Es sei A = 10 n und B = 10 m, dann gilt lg(a) = n und lg(b) = m und A = 10 lg(a) und B = 10 lg(b) Multiplikation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

28 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation Am Beispiel mit der Basis 10 Es sei A = 10 n und B = 10 m, dann gilt lg(a) = n und lg(b) = m und A = 10 lg(a) und B = 10 lg(b) Multiplikation A B = 10 n 10 m = 10 n+m = 10 lg(a)+lg(b) lg(a B) = lg(10 lg(a)+lg(b) ) = lg(a) + lg(b) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

29 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation log b (A B) = log b (A) + log b (B) Division Potenz Wurzel log b (A/B) = log b (A) log b (B) log b (A m ) = m log b (A) log b ( m A) = log b (A)/m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

30 Beispiel log 2 (10 x) log 2 (40) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

31 Beispiel log 2 (10 x) log 2 (40) = log 2 ( 10 x 40 ) = log 2 ( x 4 ) = log 2 ( x 2 2 ) = log 2 (x 2 2 ) = log 2 (x) + log 2 (2 2 ) = log 2 (x) 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

32 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 10 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

33 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 10 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? A = e ln(a) 10 lg(a) = A = e ln(a) ln(10 lg(a) ) = ln(a) lg(a) ln(10) = ln(a) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

34 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 10 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? A = e ln(a) 10 lg(a) = A = e ln(a) ln(10 lg(a) ) = ln(a) lg(a) ln(10) = ln(a) Allgemein log b (x) = log b (g) log g (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

35 Wiederholung: Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x 0) e x e 0,69x e 2,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

36 Wiederholung: Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x 0) 10 8 e x e 0,69x e 2,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e y x Um von einer beliebigen Basis B auf die Basis e zu kommen: B x = e ln(b) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

37 Logarithmisch geteilte Achsen Z.B. für die y-achse Trage jeden Messwert y an der Stelle lg(y) auf. 1 lg(1) = 0 10 lg(10) = lg(100) = 2 2 lg(2) 0,3 5 lg(5) 0,7 2 1 lg(x) nur für positive x Darstellung nur für positive y-werte möglich 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

38 Beschriftung logarithmisch geteilter Achsen Verschiedene Beschriftungen möglich ,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

39 Einfach-logarithmisches Papier logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

40 Einfach-logarithmisches Papier x 2 2 logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

41 Einfach-logarithmisches Papier e x 2 x logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

42 Logarithmische Graphen y x Beispiel 10 x : logarithmische Darstellung ergibt Gerade lg(y) y = 10 c x lg(y) = c x x Steigung = c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

43 Logarithmische Graphen y x Beispiel 10 x : logarithmische Darstellung ergibt Gerade Steigung = c lg(b) lg(y) y = 10 c x lg(y) = c x y = B c x lg(y) = c x lg(b) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

44 Logarithmische x-achse 10 y x Logarithmische Zusammenhänge y = log b (x n ) = log b (10) lg(x n ) = log b (10) n lg(x) Steigung: n log b (10) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

45 Logarithmische x-achse y = ln(x 2 ) y = lg(x) Logarithmische Zusammenhänge y x y = log b (x n ) = log b (10) lg(x n ) = log b (10) n lg(x) Steigung: n log b (10) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

46 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

47 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

48 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) Analog zu linearer Funktion mit Steigung n y-achsenabschnitt lg(a) wenn man lg(y) gegen lg(x) aufträgt Vorsicht bei der Interpretation: es sind nur positive Werte dargestellt: lg(x) = 0 bei x = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

49 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) y = x 2 y = 5 x Analog zu linearer Funktion mit Steigung n y-achsenabschnitt lg(a) wenn man lg(y) gegen lg(x) aufträgt Vorsicht bei der Interpretation: es sind nur positive Werte dargestellt: lg(x) = 0 bei x = y = 3 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

50 Beispiel Allometrie Messen und Vergleichen von Beziehungen zwischen der Körpergröße von Lebewesen und deren Verhältnis zu verschiedensten biologischen Größen Klassische Allometrieformel Quelle: y = a x b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

52 Diffentation Beispiel: Auto mit konstanter Geschwindigkeit v Verhältnis aus zurückgelegtem Weg s und dafür benötigter Zeit t immer gleich v = s t Um die Geschwindigkeit zu messen, reicht es Zeit und Ort an einem Startpunkt P 0 und an einem Stopppunkt P 1 zu bestimmen. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

53 Weg-Zeit-Diagramm konstante Bewegung s [m] s s 1 s 0 P 0 P 1 P 0 : Startpunkt der Messung t 0 Startzeit, s 0 Startort P 1 : Stopppunkt der Messung t 1 Stoppzeit, s 1 Stopport Geschwindigkeit konstant v ist Steigung der Geraden t 0 t t 1 t [s] Geschwindigkeit v = s t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

54 Weg-Zeit-Diagramm Beschleunigte Bewegung s [m] s s 1 s 0 P 0 P 1 Geschwindigkeit nicht konstant, v abhängig von t Steigungsdreieck gibt eine gemittelte Geschwindigkeit v Für eine genauere Messung muss t 1 näher an t 0 rücken t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

55 Weg-Zeit-Diagramm Beschleunigte Bewegung s [m] s s 1 s 0 P 0 P 1 Geschwindigkeit nicht konstant, v abhängig von t Steigungsdreieck gibt eine gemittelte Geschwindigkeit v Für eine genauere Messung muss t 1 näher an t 0 rücken t 0 t t 1 t [s] t muss so klein gewählt werden, dass die Geschwindigkeitsänderung während t vernachlässigbar klein wird. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

56 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] s 1 P 1 Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 s t 0 s 0 P 0 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

57 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 s s 1 s 0 P 0 P 1 t 0 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

60 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 t 0 s s 1 0 P 0 P 1 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

61 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 t 0 s s 0 P 0 P 1 t 0 t t 1 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

62 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P 0 bzw. bei t = t 0 t 0 s s 0 P 0 Tangente an die Kurve bei P 0 t 0 t t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

63 Differentialquotient Mathematisch kann man t unendlich klein werden lassen s v(t 0 ) = lim t 0 t = ds dt t0 Die Steigung der Kurve im Punkt P ist die Tangente an die Kurve in diesem Punkt. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

64 Ableitung Die Ableitung an einem Punkt P der Funktion f(x) gibt die Steigung der Tangente an f(x) im Punkt P an. Mathematisch definiert durch den Differentialquotienten df(x) dx Im Differentialquotienten sind die Differenzen infinitesimal klein. Man schreibt: = dy dx f (x) = y y = lim x 0 x = dy dx = d dx f(x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

65 Beispiel f(x) = x 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

66 Beispiel f(x) = x 2 f(x) = x 2 f y (x) = lim x 0 x y f(x + x) f(x) = x x = (x + x)2 x 2 x = x2 + 2x x + x 2 x 2 x 2x x + x2 = x = 2x + x y lim x 0 x = lim (2x + x) = 2x x 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

67 Wichtige Funktionen und ihre Ableitungen f(x) y = f (x) c 0 x n n x n 1 sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) e x e x ln(x) 1 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

68 Konstanter Faktor y = f(x) = c u(x) f (x) = c u (x) Faktoren können vor die Ableitung gezogen werden Beispiel: f(x) = 7 ln(x) f (x) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

69 Konstanter Faktor y = f(x) = c u(x) f (x) = c u (x) Faktoren können vor die Ableitung gezogen werden Beispiel: f(x) = 7 ln(x) f (x) = 7 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

70 Summenregel y = f(x) = u(x) + v(x) f (x) = u (x) + v (x) Summanden werden einzeln differenziert Beispiel: f(x) = x 3 + e x f (x) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

71 Summenregel y = f(x) = u(x) + v(x) f (x) = u (x) + v (x) Summanden werden einzeln differenziert Beispiel: f(x) = x 3 + e x f (x) = 3 x 2 + e x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

72 Produktregel y = f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) Beispiel: f(x) = sin(x) cos(x) f (x) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

73 Produktregel y = f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) Beispiel: f(x) = sin(x) cos(x) f (x) = cos(x) cos(x) + sin(x) ( sin(x)) = cos 2 (x) sin 2 (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

74 Quotientenregel y = f(x) = u(x)/v(x) f (x) = (u (x) v(x) u(x) v (x))/v 2 (x) Beispiel: f(x) = sin(x)/cos(x) f (x) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

75 Quotientenregel y = f(x) = u(x)/v(x) f (x) = (u (x) v(x) u(x) v (x))/v 2 (x) Beispiel: f(x) = sin(x)/cos(x) f (x) = (cos(x) cos(x) sin(x) ( sin(x)))/ cos 2 (x) = 1 + sin 2 (x)/ cos 2 (x) = 1/ cos 2 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

76 Kettenregel y = f(x) = f(u(x)) f (x) = df du du dx = f (u) u (x) Innere Ableitung mal äußere Ableitung Beispiel: f(x) = e x2 u(x) = x 2 und f(u) = e u f (x) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

77 Kettenregel y = f(x) = f(u(x)) f (x) = df du du dx = f (u) u (x) Innere Ableitung mal äußere Ableitung Beispiel: f(x) = e x2 u(x) = x 2 und f(u) = e u f (x) = 2xe x2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

78 Ableitungsregeln 1 Konstanter Faktor y = f(x) = c u(x) f (x) = c u (x) 2 Summenregel y = f(x) = u(x) + v(x) f (x) = u (x) + v (x) 3 Produktregel y = f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) 4 Quotientenregel y = f(x) = u(x)/v(x) f (x) = (u (x) v(x) u(x) v (x))/v(x) 2 5 Kettenregel y = f(x) = f(u(x)) f (x) = f (u) u (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

79 Beispiele für Ableitungen f(x) = 5 x 3 + x 2 + 3/x f (x) = f(x) = 5 x 3 f (x) = f(x) = x 5 ln(x) f (x) = f(x) = sin(x 3 x 2 ) f (x) = f(x) = ln(x)/(x + 1) f (x) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

80 Beispiele für Ableitungen f(x) = 5 x 3 + x 2 + 3/x f (x) = 15 x x 3/x 2 f(x) = 5 x 3 f (x) = 3/(5 5 x 2 ) f(x) = x 5 ln(x) f (x) = x 4 (5 ln(x) + 1) f(x) = sin(x 3 x 2 ) f (x) = (3 x 2 2 x) cos(x 3 x 2 ) f(x) = ln(x)/(x + 1) f (x) = (1 + 1/x ln(x))/(x + 1) 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

82 Ursachen für Messunsicherheiten/Fehler Systematische Fehler Falsche Eichung Fehlerhaftes Messgerät Nährungen Längenänderung durch Temperatur... Zufällige Fehler Ablesefehler statistische Schwankungen Spiel bei Mikrometerschraube... Zufällige Fehler lassen sich durch Wiederholung der Messung verringern! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

83 Messergebnisse Messergebnis = Messwert ± Fehler Absoluter Fehler Relativer Fehler L = (5,63 ± 0,05) m L = 5,63 m ± 0,9% Fehler = Zufallsfehler + systematischer Fehler L = (5,63 ± 0,03 (stat.) ± 0,04 (sys.)) m Der wahre Wert ist mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit im Fehlerintervall enthalten. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

84 Mittelwert Um zufällige Fehler zu verringern wird mehrfach gemessen. Wie erhält man nun die beste Schätzung für den wahren Wert? Arithmetisches Mittel Mittelwert Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

85 Mittelwert Um zufällige Fehler zu verringern wird mehrfach gemessen. Wie erhält man nun die beste Schätzung für den wahren Wert? Arithmetisches Mittel Mittelwert µ = x = 1 N N i=1 x i = x 1 + x 2 + x x N N Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

86 Standardabweichung Mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung Standardabweichung Ein Messwert x i liegt mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x s, x + s] Fehler des Mittelwerts Wahrer Wert mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x x, x + x] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

87 Standardabweichung Mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung Standardabweichung s = σ = 1 N (x i x) 2 N 1 Ein Messwert x i liegt mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x s, x + s] i=1 Fehler des Mittelwerts x = s N Wahrer Wert mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x x, x + x] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

88 Standardabweichung Mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung Standardabweichung s = σ = 1 N (x i x) 2 N 1 Ein Messwert x i liegt mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x s, x + s] i=1 Fehler des Mittelwerts x = s N Wahrer Wert mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x x, x + x] Je häufiger ich messe, desto kleiner wird der Fehler des Mittelwerts! Um Ihn zu halbieren brauche ich 4 mal so viele Messwerte! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

89 Beispiel. Abb. 1.8 Trombelastogramm während einer Behandlung mit Heparin Beobachtungsgruppe von 28 Patienten und : zwei Mitglieder der Beobachtungsgruppe Blaue Kreise: Mittelwert der Werte aller Patienten Die blauen Fehlerbalken geben die Standardabweichung an Aus: Harten Physik für Mediziner. Abb Diagramm mit Streubalken. Trombelastogramm während einer Behandlung mit Heparin als Beispiel für ein Diagramm mit Fehlerbalken (in diesem Zusammenhang spielen das Messverfahren Daniel Bickund die medizinische Physik Bedeutung für Biologender und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

90 Normalverteilung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

93 Gaußsche Glockenkurve Häufigkeitsverteilung für reine Zufallsfehler 0.4 f(x) % σ +σ 2σ +2σ 95,5% 3σ x +3σ 99,7% x f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 Mittelwert µ = x = x 68% im Intervall [µ σ,µ + σ] 95,5% in [µ 2σ,µ + 2σ] 99,7% in [µ 3σ,µ + 3σ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

97 Gaußsche Glockenkurve Häufigkeitsverteilung für reine Zufallsfehler 0.4 f(x) % σ +σ σ +2σ 95,5% 0 3σ x +3σ 99,7% x Analog: 68% in [ x x, x + x] 95,5% in [ x 2 x, x + x] 99,7% in [ x 3 x, x + 3 x] f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 Mittelwert µ = x = x 68% im Intervall [µ σ,µ + σ] 95,5% in [µ 2σ,µ + 2σ] 99,7% in [µ 3σ,µ + 3σ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

98 Gaußverteilung realistischer Messungen N 25 Messung Entries 100 Mean RMS x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

99 Gaußverteilung realistischer Messungen N 25 Messung Entries 100 Mean RMS Constant ± 2.44 Mean ± 0.56 Sigma ± x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

100 Gaußverteilung realistischer Messungen N 220 Messung 200 Entries 1000 Mean RMS x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

101 Gaußverteilung realistischer Messungen N Messung 220 Entries 1000 Mean RMS Constant ± 7.9 Mean ± 0.16 Sigma ± x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

102 Gaußverteilung realistischer Messungen N Messung Entries Mean 50 RMS x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

103 Gaußverteilung realistischer Messungen Messung Entries Mean 50 RMS N Constant 1.978e+04 ± 7.627e+01 Mean ± 0.02 Sigma ± x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

104 Protokollführung und Auswertung Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i x i /[x] (x i x)/[x] (x i x) 2 /[x] 2 1. n. i x i =..... i (x x)2 =... Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

105 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 2 35,5 3 36,8 4 38,1 5 37,8 6 37,2 Summe Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

106 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 2 35,5 3 36,8 4 38,1 5 37,8 6 37,2 Summe 222,7 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

107 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 2 35,5 3 36,8 4 38,1 5 37,8 6 37,2 Summe 222,7 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i = l 1+l 2 +l 3 +l 4 +l 5 +l 6 n = 222,7 6 = 37,1167 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

108 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 0,2 2 35,5-1,6 3 36,8-0,3 4 38,1 1,0 5 37,8 0,7 6 37,2 0,1 Summe 222,7 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i = l 1+l 2 +l 3 +l 4 +l 5 +l 6 n = 222,7 6 = 37,1167 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

109 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 0,2 0, ,5-1,6 2, ,8-0,3 0, ,1 1,0 1, ,8 0,7 0, ,2 0,1 0,01 Summe 222,7 4,19 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i = l 1+l 2 +l 3 +l 4 +l 5 +l 6 n = 222,7 6 = 37,1167 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

110 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 0,2 0, ,5-1,6 2, ,8-0,3 0, ,1 1,0 1, ,8 0,7 0, ,2 0,1 0,01 Summe 222,7 4,19 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i = l 1+l 2 +l 3 +l 4 +l 5 +l 6 n = 222,7 6 = 37,1167 Fehler: l = 1 n (n 1) n i=1 (l i l) 2 = ,19 cm2 = 0,3737 cm Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

111 Ergebnis l = (37,1 ± 0,4) cm Achtung: Es wird nur die erste fehlerbehaftete Stelle (gerundet) angegeben Relativer Fehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

112 Ergebnis l = (37,1 ± 0,4) cm Achtung: Es wird nur die erste fehlerbehaftete Stelle (gerundet) angegeben Relativer Fehler l = 37,1 cm ± 0,4 37,1 100% = 37,1 cm ± 1,1% Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

113 Fehlerfortpflanzung Messgröße setzt sich aus mehreren fehlerbehafteten Größen zusammen Nur die Fehler der einzelnen Größen sind bekannt Wie groß ist der Gesamtfehler? Zwei Fälle Addition der Größen Multiplikation der Größen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

114 Fehlerfortpflanzung Addition Beispiel: Messung einer Länge l = l A + l B : Zwei Einzelmessungen l A und l B mit Fehler l A und l B Gesamtfehler: Summe der absoluten Einzelfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

115 Fehlerfortpflanzung Addition Beispiel: Messung einer Länge l = l A + l B : Zwei Einzelmessungen l A und l B mit Fehler l A und l B Gesamtfehler: Summe der absoluten Einzelfehler l = l A + l B Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

116 Fehlerfortpflanzung Multiplikation Vereinfachte Schätzung des Gesamtfehlers Beispiel: Messung der Geschwindigkeit v = s t Bestimmung von v durch Messen des Weges s und der benötigten Zeit t. Kleinster Wert von v: Größter Wert von v: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

117 Fehlerfortpflanzung Multiplikation Vereinfachte Schätzung des Gesamtfehlers Beispiel: Messung der Geschwindigkeit v = s t Bestimmung von v durch Messen des Weges s und der benötigten Zeit t. Kleinster Wert von v: s s v min = t + t Größter Wert von v: s + s v max = t t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

118 Fehlerfortpflanzung Multiplikation Vereinfachte Schätzung des Gesamtfehlers Beispiel: Messung der Geschwindigkeit v = s t Bestimmung von v durch Messen des Weges s und der benötigten Zeit t. Kleinster Wert von v: s s v min = t + t Größter Wert von v: s + s v max = t t v liegt etwa in der Mitten von [v min,v max ]. Die größere der Differenzen v v min bzw. v max v ist der Fehler v Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

119 Beispiel: Rechteck Gemessen: Kantenlänge a = (120,0 ± 0,2) cm Kantenlänge b = (90,0 ± 0,1) cm Fläche (Mittelwert): F = ā b = 120 cm 90 cm = cm 2 Fehlergrenzen: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

120 Beispiel: Rechteck Gemessen: Kantenlänge a = (120,0 ± 0,2) cm Kantenlänge b = (90,0 ± 0,1) cm Fläche (Mittelwert): F = ā b = 120 cm 90 cm = cm 2 Fehlergrenzen: F max = (ā + ā)( b + b) = ā b + ā b + b ā + ā b }{{} klein ā b + ā b + b ā F min ā b ā b b ā Es folgt für den Fehler: F F max F F F min ā b + b ā F F ā ā + b b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

121 Fehler von Produkten Allgemeine Regel F F ā ā + b b Der relative Fehler von Produkten (hier F = a b) und Quotienten von Messwerten ist gleich der Summe der relativen Fehler der Faktoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66

122 Zusammenfassung: zwei Regeln Zwei Größen a = ā + ā und b = b + b Addition oder Subtraktion: c = a + b bzw. c = a b Werden a und b addiert oder subtrahiert, so addieren sich die absoluten Fehler zum absoluten Gesamtfehler: c = ā + b Multiplikation oder Division: c = a b bzw. c = a/b Werden a und b multipliziert oder dividiert, so addieren sich die relativen Fehler zum relativen Gesamtfehler: c c = ā ā + b b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 22. Oktober / 66