Dr. Daniel Bick Oktober Aufteilung der Vorlesung

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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum: Zusammenfassung aller Folien Dr. Daniel Bick Oktober 13 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 1 / 153 Oganisatorisches Aufteilung der Vorlesung Propädeutikum ( Okt.) Daniel Bick daniel.bick@desy.de Teil 1 (3. Okt Nov.) Caren Hagner caren.hagner@desy.de Teil (4. Dez Jan.) Georg Steinbrück georg.steinbrueck@desy.de Folien zum Propädeutikum: daniel/vorlesung/ Klausuren zum Praktikum (multiple choice): 1 Mathematische Einführung ( Fragen) Physik (3 Fragen) wichtiger! Skript fürs Propädeutikum, Altklausuren, Übungen mit Lösungen: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 / 153

2 Literaturhinweise Haas: Physik für Pharmazeuten und Mediziner, Wiss. Verlagsges., 7. Auflage (1), 49,8 e Harten: Physik für Mediziner, Springer-Lehrbuch, 13. Auflage (11), 9,95 e Online lesbar im Universitätsnetz oder mit Stabi Ausweis Hellenthal: Physik für Mediziner und Biologen, Wiss. Verlagsges., 8. Auflage (6), 9,8 e Trautwein, Kreibig, Hüttermann: Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten, de Gruyter-V., 7. Auflage (8), 9,95 e Tritthart: Medizinische Physik und Biophysik, Schattauer-V.,. Auflage (11), 39,95 e Skript von Dr. Salehi: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 3 / 153 Propädeutikum Lehrstoff I Mathematische Hilfsmittel der Physik Funktionsbegriff Proportionalität und linearer Zusammenhang Funktionsgleichung einer Geraden, Graph Parabel Winkelfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 4 / 153

3 Propädeutikum Lehrstoff II Physikalische Grundlagen Physikalische Begriffe und Größen Basisgrößen, Basiseinheiten, SI-System Abgeleitete Größen und Einheiten Vorsilben Messungen, Darstellung von Messergebnissen Messfehler Fehlerrechnung Vektoren Differentialquotient Inhalt Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 5 / Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 6 / 153

4 Übersicht 1 Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Einleitung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 7 / 153 Keine menschliche Forschung kann man wahre Wissenschaft heißen, wenn sie ihren Weg nicht durch die mathematische Darlegung und Beweisführung hin nimmt. Sagst du, die Wissenschaften, die vom Anfang bis zum Ende im Geist bleiben, hätten Wahrheit, so wird dies nicht zugestanden, sondern verneint aus vielen Gründen, und vornehmlich deshalb, weil bei solchem reingeistigen Abhandeln die Erfahrung (oder das Experiment) nicht vorkommt; ohne dies aber gibt sich kein Ding mit Sicherheit zu erkennen. Leonardo Da Vinci, Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben Galileo Galilei, Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 8 / 153

5 Titschenersche Täuschung Welcher der beiden orangenen Kreise ist größer? Beide sind gleich groß! Die Größe eines Objekts wird abhängig von seiner Umgebung wahrgenommen. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 9 / 153 Heringsche Täuschung Die beiden Linien sind parallel Durch das Strahlenbündel erscheinen sie gekrümmt Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 1 / 153

6 Escher Geometrien Paradoxe räumliche Eindrücke Auge/Gehirn ist 3D gewohnt versucht D so zu interpretieren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Rotierende Kreise? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 1 / 153

7 Experimentelles Prinzip Fazit: Messgeräte unabdingbar, um Beobachtungen unabhängig von Sinneseindrücken zu machen (neutrale Beobachter) quantifizierbar reproduzierbar unbestechlich Um die Ergebnisse vergleichbar und bewertbar (Fehlerrechnung) zu machen, braucht man die Mathematik Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Physikalische Arbeitsmethodik Induktive Methode: Beobachtung eines Vorgangs Experiment zur qualitativen und quantitativen Untersuchung des Vorgangs Modell zur Beschreibung des Vorgangs (und evtl. darüber hinaus) Gesetz (Verallgemeinerung auf ähnliche Fälle) Vorhersage neuer Phänomene Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

8 Übersicht 1 Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Grundbegriffe des Messens Gesetze der Physik liefern Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen wie Länge, Zeit, Kraft,... Meist werden physikalische Größen mit Buchstaben abgekürzt, z.b. Zeit t, Länge L, Kraft F,... Eine physikalische Größe G ist ein Produkt aus Zahlenwert {G} und Einheit [G]: G = {G} [G] z.b. Zeit: t = 3,5 s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

9 Historische Einheiten Länge Häufig über menschl. Körper definiert Klafter, Elle, Fuß, Hand, Finger engl. Rute = 5 1 Gewicht Pfund, Unze Gerten 5,3 m Nürnberger Apotheker-Pfund: 357,845 g 1 lb 1 lb = 1 Unzen = 96 Drachmen = 88 Skrupel = 576 Oboloi = 576 Gran (1 : 1 : 8 : 3 : : 1) Nachteile Sehr starke regionale oder individuelle Unterschiede Umständliche Umrechnung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Einheiten heute Metrisches System Vielfache von 1,1,1,... z.b.: 1 cm = 1 m 1 g = 1 kg Ausnahme: Zeit 1 Sekunde 1 Minute 6 Sekunden 1 Stunde 6 Minuten 36 Sekunden 1 Tag 4 Stunden 144 Minuten 864 Sekunden Regionale Ausnahmen: z.b. USA 1 mile 8 furlong 8 chain 176 yard 58 foot 6336 inches 1 yard 3 foot 36 inches 1 foot 1 inches Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

10 Système International d Unités Internationales Einheitensystem SI-Einheiten Basisgröße SI-Einheit Abkürzung Zeit Sekunde s Länge Meter m Masse Kilogramm kg Elektrische Stromstärke Ampere A Temperatur Kelvin K Stoffmenge Mol mol Lichtstärke Candela cd Alle anderen Einheiten können von diesen sieben Basiseinheiten ohne zusätzliche Faktoren abgeleitet werden Die Basisgrößen können beliebig aber möglichst zweckmäßig festgelegt werden Klafter, Elle, etc. ungeeignet, da nicht leicht reproduzierbar Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Definition der SI-Einheiten I Meter m Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1/ Sekunde zurücklegt. Kilogramm kg Das Kilogramm ist gleich der Masse des internationalen Kilogrammprototyps. Sekunde s Das fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Cäsium-Isotops 133 Cs entsprechenden Strahlung. Ampere A Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, unendlich lange, geradlinige und im Vakuum im Abstand von 1 m voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern pro Meter Leiterlänge die Kraft 1 7 N hervorrufen würde. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 / 153

11 Definition der SI-Einheiten II Kelvin K 1 / 73,16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts von Wasser genau definierter isotopischer Zusammensetzung. Mol mol Die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso viel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 1 Gramm des Kohlenstoff-Isotops 1 C in ungebundenem Zustand enthalten sind. Candela cd Die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz Hz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1 / 683 Watt pro Steradiant beträgt. Beispiel kg Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 1 / 153 Willkürliche Definition des Kilogramms: kg wird noch durch Referenzkörper definiert Urkilogramm: Platin-Iridium-Zylinder in Paris Kopien in anderen Ländern Mögliche Neudefinition: Perfekte Kugel aus Silizium-8-Einkristall mit 9,38 cm Radius Weniger als 3 nm Abweichung Erde mit kleinster Erhebung von 1,8 m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 / 153

12 Abgeleitete Größen Einheiten bzw. Größen, die sich auf SI-Einheiten bzw. Basisgrößen zurückführen lassen Zusammenhang folgt aus Naturgesetzen Wichtig: Einheiten sind Teil der Gleichungen Einheitentest als hilfreiche Kontrolle Beispiel Geschwindigkeit = Weg(intervall) Zeit(intervall) [v] = [ s] [ t] = m s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 3 / 153 Beispiele für abgeleitete Größen Größe Berechnung Einheit Fläche A = Länge Breite m Winkel Raumwinkel ϕ = Bogen Ω = Radius Fläche des Kugelausschnitts Quadrat des Kugelradius m m = rad m m = sr 1 1 Frequenz f = ν = Perieodendauer s = Hz Geschwindigkeit v = Wegintervall m Zeitintervall s Beschleunigung a = Geschwindigkeitsänderung m Zeitintervall s Kraft F = Masse Beschleunigung kg m = N s Arbeit, Energie W = E = Kraft Weg kg m = J s Leistung P = Arbeit Zeitintervall kg m s 3 = W Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 4 / 153

13 Beispiele: Umrechnen von Größen Würfel mit Kantenlänge l = 1 cm Volumen: V = l 3 V = 1 cm 1 cm 1 cm = 1 cm 3 =,1 m,1 m,1 m =,1 m 3 Geschwindigkeit v eines Fahrrades v = 5 m s 1/1 km = 5 1/36 h 36 km = 5 1 h = 5 3,6 km h = 18 km h Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 5 / 153 Auswertung eines Experiments Einfachster Fall: Messgrößen Z.B.: Zeit t und zurückgelegte Strecke s Häufig: experimenteller Parameter (t) und Observable (s) Beispiel: Bewegung mit v = 1, m/s Darstellung: Wertetabelle Zeit [s] Weg [m] 1 1,,4 3 3,6 4 4, y = Weg [m] Graph x = Zeit [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 6 / 153

14 Analytische Beschreibung Graphen lassen sich durch Kurven beschreiben Einfachster Fall: Gerade Kurven werden durch Funktionen f beschrieben: y = f(x) Gerade: 8 f(x) = a x Hier: y = Weg [m] 6 4 z.b. s(5 s) = 6 m s(t) = v t x = Zeit [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 7 / 153 Analytische Beschreibung Graphen lassen sich durch Kurven beschreiben Einfachster Fall: Gerade Kurven werden durch Funktionen f beschrieben: y = f(x) Gerade: f(x) = a x Hier: s(t) = v t y = Weg [m] x = Zeit [s] Ausgleichsgerade Bei einem Experiment nie einfach die Punkte des Graphens aller Messwerte verbinden, sondern interpolieren und so die Ausgleichsgerade finden! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 7 / 153

15 Übersicht 1 Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 8 / 153 Der Funktionsbegriff Definition: Eine Funktion ist eine Relation zwischen zwei Mengen D und W, in der jedem Element aus D ein Bestimmtes Element aus W zugeordnet ist. D=Definitionsmenge W =Wertemenge Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 9 / 153

16 Lineare Funktion Allgemeine Geradengleichung f(x) = y = a x + b b: y-achsenabschnitt (f() = b) Sonderfall: b = Proportionalität y x a: Proportionalitätsfaktor Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 3 / 153 Steigung einer Geraden Definition der Steigung: y x Beweis: Für eine Gerade: a = y y 1 x x 1 y y 1 = a x + b (a x 1 + b) x x 1 x x 1 = a x + b a x 1 b x x 1 = a (x x 1 ) = a x x 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

17 Steigung eine Geraden Steigung a = y x y a = y y 1 x x 1 Zwei Punkte reichen zur Bestimmung y P y y 1 y 1 P 1 x x 1 x 1 x x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 3 / 153 Beispiel: Geschwindigkeit Geschwindigkeit = s [m] Zurückgelegter Weg Benötigte Zeit v = s t Einheiten:[v] = [s] [t] = m s s s s 1 s 1 t t 1 t 1 t t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

18 Geraden unterschiedlicher Steigung y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Negative Steigung y x 1 x x y 1 P 1 y y 1 y x x 1 P Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

19 Parallele Geraden y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 y-achsenabschnitt y Schnittpunkt mit der y-achse P y = f() = x + b = b P y b x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

20 Beispiele für lineare Zusammenhänge Ohmsches Gestez: U = R I Stromkosten: Grundgebühr + Verbrauch Gleichförmig verzögerte Bewegung U [V] Preis [e] v [m/s] I [A] Verbrauch [kwh] t [s] Übersicht Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

21 Potenzieren Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst z.b.: x x = x. Potenz von x. Potenz: x = 1 1. Potenz: x = x 1. Potenz: x x = x 3. Potenz: x x x = x 3 n. Potenz: x x... x }{{} n = x n n nennt man Exponent oder Hochzahl Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 4 / 153 Negative Potenzen Überlegung x n x = x n+1 x n x 1 x = xn+1 1 x x n = x n+1 1 x 1 x = x 1 x = x n n = x n x n = xn x n = 1 x = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

22 Rechnen mit Potenzen Produkt x n x m = (x} x {{... x} ) (x} x {{... x} ) = x n+m n m Quotient x n x m = xn 1 x m = xn x m = x n m Potenz (x n ) m = (x} x {{... x} )... (x} x {{... x} ) } n {{ n } m = x n m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 4 / 153 Beispiele: Rechnen mit Potenzen 1 6 = ( 1 ) 3 = 1 3 = 1 (1/1) 4 = (1 1 ) 4 = 1 4 = 1/1 4 =,1,1 5 = (1/1) 5 =, = = = = 3 (1 + ) = 8 ( 1) = 8 a 5 a /a 4 = a (5+ 4) = a 3 (a/b ) 3 (b /a) 3 = a 3 b 6 b 6 a 3 = a b = 1 a a 3 a 4 = a 3+4 = a 1 = 1/a (a 1 b 5 ) = a 1 b 5 = a b 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

23 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion. Grades: f(x) = y = x. Grades: f(x) = a x 1. Grades: f(x) = a x 1 + b. Grades: f(x) = a x + b x + c Quadratische Gleichung 3. Grades: f(x) = a x 3 + b x + c x + d n. Grades: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = f(x) = y = x 18 x f(x) = x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 x

24 Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung f(x) = a x y x x x = ( x) ( x) = x nur positive Werte f( x) = f(x) symmetrisch zur y-achse f() = Scheitelpunkt im Ursprung a = 1 a =,5 a = a =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Verschieben in y-richtung Scheitelpunkt bei y s = c f(x) = x + c y x c = c = 1 c = c = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

25 Verschieben in x-richtung f(x) = (x + d) 1. Binomische Formel: (x + d) = x + d x + d Scheitelpunkt bei x s = d y x d = d = d = 4 d = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Parabeln allgemein Quadratische Gleichung f(x) = a x + b x + c Wie finde ich den Scheitelpunkt S? f(x) = y = a (x x s ) + y s y = a x a x s x + a x s + y s Koeffizientenvergleich: b = a x s x s = b a c = a x s + y s y s = c a x s = c b 4a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

26 Scheitelpunktsform f(x) = y = a (x x s ) + y s Meistens ist aber gegeben: f(x) = a x + b x + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 5 / 153 Quadratische Ergänzung f(x) = a x + b x + c Ausklammern des Leitkoeffizienten f(x) = a (x + ba ) x + c Quadratische Ergänzung f(x) = a x + b ( ) b ( ) b a x+ a a + c }{{} = Binomische Formel rückwärts f(x) = a ( x + b ) b a 4a + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

27 Beispiel Quadratische Ergänzung f(x) = x 4x + 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 5 / 153 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x 1-4 -,5-3 -,33 - -,5 Asymptoten -1-1 undefiniert Polstelle bei x = 1 1,5 3,33 4, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 x

28 Beispiel Hyperbel Gesetz von Boyle-Mariotte Gilt für abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur T mit Volumen V und Druck P P V 1 oder P = c/v mit Konstante c P [bar] V [m 3 ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Umkehrfunktionen Gegeben: y = f(x) Gesucht: Funktion, die zu jedem y-wert den zugehörigen x-wert liefert Definition: Diese Funktion heißt Umkrehfunktion f 1 : x = f 1 (y) x f(x) = y = x y x = f 1 (y) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

29 Graphische Folgen y x x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Normalparabel und Umkehrung 5 15 Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Funktion muss jedem x-wert eindeutig einen Funktionswert y zuordnen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

30 Wurzeln Wurzel m x = x 1 m Umkehrfunktion zu einfachen Potenzen: f(x) = x m Rechenregeln wie bei Potenzen: ( ) x 1 n n m = x m = m x n = ( m x ) n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Beispiele: Rechnen mit Wurzeln ( ) 4 ( ) 5 = = 5 = 5 = 5 ( ) 3 = 3 = 9 = 18 a 3 a = a 3 a 1 = a 4 = a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

31 Nullstellen einer Quadratischen Gleichung Nullstelle: f(x) = y = Normierte Form: Teilen durch a f(x) = y = a x + b x + c = Mit b a = p und c a = q: x + b a x + c a = Lösung mit p-q-formel: x + p x + q = x 1, = p ± (p ) q Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 6 / 153 Beispiel: Kanone auf Hügel Gegeben Höhe des Hügels h = m Startgeschwindigkeit in vertikaler Richtung v = m s Wie lange fliegt die Kugel? 3, h(t) = h + v t g t mit g = 9,81 m/s h + v t g t = h [m], 1, t [s] t v g t h g = t 1/ = v (v ) g ± + h g g t 1/ = (,4 s ± 1,4 s) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

32 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: 4 Ziehen der nten Wurzel: y c a ( y c a = x n m ) m = x n n ( y c a ) m ( = y c ) m n a = x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 6 / 153 Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Multiplikation mit : s(t) =,5 a t s = a t Division mit a: Ziehen der Quadratwurzel: s a = t t(s) = s a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

33 Übersicht 1 Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Einheitskreis Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 π 3 π y π 3 Kreis mit Radius R = 1 5π 6 π 6 Winkel gegen den Uhrzeigersinn definiert (Rechtsdrehung) π ϕ R = 1 x Eine Umdrehung: 36 Kreisumfang: U = πr 36 = π rad = π 7π 6 11π 6 rad=radiant=bogenmaß Einheit rad wird weggelassen 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

34 Umrechnung Grad Bogenmaß Es gilt: α: Winkel in Grad ϕ: Winkel im Bogenmaß 36 = π Für den gleichen Winkel α = ϕ folgt also: α = ϕ α 36 = ϕ π α = ϕ π 36 = ϕ 18 π α 36 π = α π 18 = ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 sin() = sin(π/) = 1 sin(π) = sin(3π/) = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

35 Graphen von Sinus 1.5 sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Sinus-Funktion mit Parametern - Amplitude Allgemeine Sinus-Funktion Amplitude: Höhe der Kurve Entspricht Radius bzw. Hypotenuse f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) sin(ϕ) 1 1 A = 1 A = A =, ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

36 Sinus-Funktion mit Parametern - Phase Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) Phase: Verschiebung entlang x-achse sin(ϕ) ϕ = ϕ = 9 ϕ = 3 ϕ = ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 7 / 153 Sinus-Funktion mit Parametern - Periode Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) Periode P : Abstand zwischen zwei gleichen Kurvenpunkten, z.b. Maxima sin(ϕ) ϕ c = 1 c = 3 c =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

37 Periode Normaler Sinus hat die Periode P = π Allgemeine Sinus-Funktion mit Periode P : f(x) = A sin ( ) π P ϕ + ϕ Also c = π P bzw.: P = π c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 7 / 153 Cosinus-Funktion π 3 π y π 3 cos(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse 5π 6 π 6 In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 11π 6 cos() = 1 cos(π/) = 4π 3 3π 5π 3 cos(π) = 1 cos(3π/) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

38 Graphen von Sinus und Cosinus 1 ϕ = π = 9 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) π π 3π π cos(ϕ) = sin ( ϕ + π ) ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Anwendung Sinus-Funktion Überlagerung von harmonischen Schwingungen t t t t t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

39 Übersicht 1 Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f(x) = y = B x B nennt man Basis Extrem schnelles Wachstum! Exponentielles Wachstum Beispiel: B = 1 x f(x) = 1 x -4,1-3,1 -,1-1, y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

40 Größenordnungen Potenz Name Zeichen Potenz Name Zeichen 1 4 Yotta Y 1 1 Dezi d 1 1 Zetta Z 1 Zenti c 1 18 Exa E 1 3 Milli m 1 15 Peta P 1 6 Mikro µ 1 1 Tera T 1 9 Nano n 1 9 Giga G 1 1 Piko p 1 6 Mega M 1 15 Femto f 1 3 Kilo k 1 18 Atto a 1 Hekto h 1 1 Zepto z 1 1 Deka da 1 4 Yocto y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Beispiele Größenordnungen Längen Weltall 1 6 m Galaxis 1 m Sonnensystem 1 14 m Erde 1 7 m Mensch 1 m DNA 1 7 m Atom 1 1 m Atomkern 1 14 m Proton 1 15 m Astronomie, Astrophysik Biologie, Biophysik, Medizin Atom- und Kernphysik Chemie Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

41 Beispiele Größenordnungen Zeiten Lebensdauer des Higgs-Bosons 1 s Schwingungsperiode von sichtbarem Licht 1 15 s Laufzeit des Lichts durch das Auge (3 cm) 1 1 s Taktzeit eines Pentiumprozessors 1 9 s Blitz beim Fotoapparat 1 5 s Nervenleitung (1 m) 1 s Kürzeste Reaktionszeit 1 1 s Konzentrationszeit s Studiendauer 1,6 1 8 s Lebensdauer eines Menschen s Unsere Milchstraße s Alter des Universums (15 Mrd Jahre) s Mittlere Lebensdauer eines Protons > s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 8 / 153 Beispiele Größenordnungen Gewicht Elektron Proton Aminosäure Hämoglobin Virus Salzkorn Menschliches Haar DIN A6 Blatt Mensch Großer LKW Pyramide Sonne 1 3 kg 1 7 kg 1 5 kg 1 kg 1 kg 1 8 kg 1 6 kg 1 3 kg 1 kg 1 4 kg 1 1 kg 1 4 kg Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

42 Exponentialfunktion mit verschiedener Basis e x-achse ist Asymptote Schneidet immer bei y = 1 y 4 Eulersche Zahl e, x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 8 / 153 Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x x o) = (B b ) (x x ) y e x e,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e e x = exp(x) 4 4 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

43 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c Negative b: exponentiell fallend (e x = 1/e x ) 4 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Übersicht Exponentialfunktionen f(x) = y = a B b(x x ) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis Negative b exponentiell fallend Verschiebung entlang der x-achse :x Verschiebung entlang der y-achse :c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

44 Beispiele: Exponentielles Wachstum Vermehrung von Bakterien Findet durch Zellteilung statt Im Mittel feste Periode Beispiel: Generationszeit von T G = 1 Minuten Teilungen Bakterien Zeit B(t) = B t/t G Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Wachstum von Bakterien Ideale Wachstumskurve einer statischen Bakterienkultur Quelle Wachstum Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

45 Beispiel: Radioaktiver Zerfall von Cäsium N(t) = N e t τ 1 Zerfall von 137 Cs N/N Cs hat Halbwertszeit T 1/ = 3,17 a Üblicher: Lebensdauer τ = T 1/ ln() t [Jahre] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Beispiel: Strahlenbelastung Radioaktiver Zerfall Strahlenbelastung Quelle: I radiation, Fukushima Prefecture, March-April 11.png Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

46 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasant ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle 1.8 y.6 f(x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 9 / 153 Beispiel: Laden eines Kondensators Q(t) = Q S (1 e t τ ) Q S Q [C] t [ns] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

47 Übersicht 1 Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 9 / 153 Logarithmus zur Basis 1 Wie oft muss man 1 mit sich selbst multiplizieren, um z.b. 1 zu erhalten? f(x) = 1 x x,1-4,1-3,1 - x f(x) = log 1 x, y 1 x = 1 4 x = 4 x = log 1 (1) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

48 Logarithmus 1 x = 1 x = log 1 (1) = 4 x = 4: Anzahl der Nullen log 1 steht für Logarithmus zur Basis 1 Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit gleicher Basis Wächst extrem langsam Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Logarithmus allgemein Gegeben b = a x mit a > Lösung: Logarithmus von b zur Basis a x = log a b Besondere Basen: 1: log 1 b = lg b e: log e b = ln b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

49 Logarithmus mit unterschiedlicher Basis y 4 a = 1 a = e a = x y-achse ist Asymptote Schneidet x-achse bei x = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation Am Beispiel mit der Basis 1 Es sei A = 1 n und B = 1 m, dann gilt lg(a) = n und lg(b) = m und A = 1 lg(a) und B = 1 lg(b) Multiplikation A B = 1 n 1 m = 1 n+m = 1 lg(a)+lg(b) lg(a B) = lg(1 lg(a)+lg(b) ) = lg(a) + lg(b) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

50 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation log b (A B) = log b (A) + log b (B) Division log b (A/B) = log b (A) log b (B) Potenz log b (A m ) = m log b (A) Wurzel log b ( m A) = log b (A)/m Beispiel Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 log (1 x) log (4) = log ( 1 x 4 ) = log ( x 4 ) = log ( x ) = log (x ) = log (x) + log ( ) = log (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

51 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 1 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? A = e ln(a) 1 lg(a) = A = e ln(a) ln(1 lg(a) ) = ln(a) lg(a) ln(1) = ln(a) Allgemein log b (x) = log b (g) log g (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 1 / 153 Wiederholung: Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x x o) = (B b ) (x x ) 1 8 e x e,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e y 6 4 Um von einer beliebigen Basis B auf die Basis e zu kommen: B x = e ln(b) x 4 4 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

52 Logarithmisch geteilte Achsen Z.B. für die y-achse Trage jeden Messwert y an der Stelle lg(y) auf. 1 lg(1) = 1 lg(1) = 1 1 lg(1) = lg(),3 5 lg(5),7 1 lg(x) nur für positive x Darstellung nur für positive y-werte möglich Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 1 / 153 Beschriftung logarithmisch geteilter Achsen Verschiedene Beschriftungen möglich ,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

53 Einfach-logarithmisches Papier e x x 3 3 logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Logarithmische Graphen y x Beispiel 1 x : logarithmische Darstellung ergibt Gerade Steigung = c lg(b) lg(y) y = 1 c x lg(y) = c x y = B c x lg(y) = c x lg(b) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

54 Logarithmische x-achse y = ln(x ) y = lg(x) Logarithmische Zusammenhänge y x 1 y = log b (x n ) = log b (1) lg(x n ) = log b (1) n lg(x) Steigung: n log b (1) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) Analog zu linearer Funktion mit Steigung n y-achsenabschnitt lg(a) wenn man lg(y) gegen lg(x) aufträgt Vorsicht bei der Interpretation: es sind nur positive Werte dargestellt: lg(x) = bei x = y = x y = 5 x y = 3 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

55 Beispiel Allometrie Messen und Vergleichen von Beziehungen zwischen der Körpergröße von Lebewesen und deren Verhältnis zu verschiedensten biologischen Größen Klassische Allometrieformel Quelle: y = a x b Übersicht Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

56 Diffentation Beispiel: Auto mit konstanter Geschwindigkeit v Verhältnis aus zurückgelegtem Weg s und dafür benötigter Zeit t immer gleich v = s t Um die Geschwindigkeit zu messen, reicht es Zeit und Ort an einem Startpunkt P und an einem Stopppunkt P 1 zu bestimmen. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Weg-Zeit-Diagramm konstante Bewegung s [m] s s 1 s P P 1 P : Startpunkt der Messung t Startzeit, s Startort P 1 : Stopppunkt der Messung t 1 Stoppzeit, s 1 Stopport Geschwindigkeit konstant v ist Steigung der Geraden t t t 1 t [s] Geschwindigkeit v = s t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

57 Weg-Zeit-Diagramm Beschleunigte Bewegung s [m] Geschwindigkeit nicht konstant, v abhängig von t s s 1 s P P 1 Steigungsdreieck gibt eine gemittelte Geschwindigkeit v Für eine genauere Messung muss t 1 näher an t rücken t t t 1 t [s] t muss so klein gewählt werden, dass die Geschwindigkeitsänderung währen t vernachlässigbar klein wird. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t s [m] Gesucht: Geschwindigkeit an Punkt P bzw. bei t = t t s s 1 P 1 Tangente an die Kurve bei P t 1 t t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

58 Differentialquotient Mathematisch kann man t unendlich klein werden lassen v(t ) = lim t s t = ds dt t Die Steigung der Kurve im Punkt P ist die Tangente an die Kurve in diesem Punkt. Ableitung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Die Ableitung an einem Punkt P der Funktion f(x) gibt die Steigung der Tangente an f(x) im Punkt P an. Mathematisch definiert durch den Differentialquotienten df(x) dx Im Differentialquotienten sind die Differenzen infinitesimal klein. Man schreibt: = dy dx f (x) = y = lim x y x = dy dx = d dx f(x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

59 Beispiel f(x) = x lim x f(x) = x f (x) = lim x y x y x f(x + x) f(x) = x = (x + x) x x = x + x x + x x x x x + x = x = x + x y x = lim (x + x) = x x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Wichtige Funktionen und ihre Ableitungen f(x) y = f (x) c x n n x n 1 sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) e x e x ln(x) 1 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

60 Konstanter Faktor y = f(x) = c u(x) f (x) = c u (x) Faktoren können vor die Ableitung gezogen werden Beispiel: f(x) = 7 ln(x) f (x) = 7 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Summenregel y = f(x) = u(x) + v(x) f (x) = u (x) + v (x) Summanden werden einzeln differenziert Beispiel: f(x) = x 3 + e x f (x) = 3 x + e x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

61 Produktregel y = f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) Beispiel: f(x) = sin(x) cos(x) f (x) = cos(x) cos(x) + sin(x) ( sin(x)) = cos (x) sin (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 1 / 153 Quotientenregel y = f(x) = u(x)/v(x) f (x) = (u (x) v(x) u(x) v (x))/v (x) Beispiel: f(x) = sin(x)/cos(x) f (x) = (cos(x) cos(x) sin(x) ( sin(x)))/ cos (x) = 1 + sin (x)/ cos (x) = 1/ cos x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

62 Kettenregel y = f(x) = f(u(x)) f (x) = df du du dx = f (u) u (x) Innere Ableitung mal äußere Ableitung Beispiel: f(x) = e x u(x) = x und f(u) = e u f (x) = xe x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober 13 1 / 153 Ableitungsregeln 1 Konstanter Faktor y = f(x) = c u(x) f (x) = c u (x) Summenregel y = f(x) = u(x) + v(x) f (x) = u (x) + v (x) 3 Produktregel y = f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) 4 Quotientenregel y = f(x) = u(x)/v(x) f (x) = (u (x) v(x) u(x) v (x))/v(x) 5 Kettenregel y = f(x) = f(u(x)) f (x) = f (u) u (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

63 Beispiele für Ableitungen f(x) = 5 x 3 + x + 3/x f (x) = 15 x + x 3/x f(x) = 5 x 3 f (x) = 3/(5 5 x ) f(x) = x 5 ln(x) f (x) = x 4 (5 ln(x) + 1) f(x) = sin(x 3 x ) f (x) = (3 x x) cos(x 3 x ) f(x) = ln(x)/(x + 1) f (x) = (1 + 1/x ln(x))/(x + 1) Übersicht Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

64 Ursachen für Messunsicherheiten/Fehler Systematische Fehler Falsche Eichung Fehlerhaftes Messgerät Nährungen Längenänderung durch Temperatur... Zufällige Fehler Ablesefehler statistische Schwankungen Spiel bei Mikrometerschraube... Zufällige Fehler lassen sich durch Wiederholung der Messung verringern! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Messergebnisse Messergebnis = Messwert ± Fehler Absoluter Fehler L = (5,63 ±,5) m Relativer Fehler L = 5,63 m ±,9% Fehler = Zufallsfehler + systematischer Fehler L = (5,63 ±,3 (stat.) ±,4 (sys.)) m Der wahre Wert ist mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit im Fehlerintervall enthalten. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

65 Mittelwert Um zufällige Fehler zu verringern wird mehrfach gemessen. Wie erhält man nun die beste Schätzung für den wahren Wert? Arithmetisches Mittel Mittelwert µ = x = 1 N N i=1 x i = x 1 + x + x x N N Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Standardabweichung Mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung Standardabweichung s = σ = 1 N 1 N (x i x) i=1 Ein Messwert x i liegt mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x s, x + s] Fehler des Mittelwerts x = s N Wahrer Wert mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x x, x + x] Je häufiger ich messe, desto kleiner wird der Fehler des Mittelwerts! Um Ihn zu halbieren brauche ich 4 mal so viele Messwerte! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

66 Beispiel. Abb. 1.8 Trombelastogramm während einer Behandlung mit Heparin Beobachtungsgruppe von 8 Patienten und : zwei Mitglieder der Beobachtungsgruppe Blaue Kreise: Mittelwert der Werte aller Patienten Die blauen Fehlerbalken geben die Standardabweichung an Aus: Harten Physik für Mediziner. Abb Diagramm mit Streubalken. Trombelastogramm während einer Behandlung mit Heparin als Beispiel für ein Diagramm mit Fehlerbalken (in diesem Zusammenhang spielen das Messverfahren Daniel Bickund die medizinische Physik Bedeutung für Biologender und Zahnmediziner Messwerte keine Rolle). Blaue Kreise und Fehlerbalken: Mittelwerte Normalverteilung aus einer Beobachtungsgruppe von 8 Patienten mit Standardabweichung; die Quadrate und Dreiecke gehören zu zwei Mitgliedern der Beobachtungsgruppe: Einzelne Messwerte können durchaus weit außerhalb des Standardabweichung liegen. Die Dreiecke demonstrieren ein häufiges Dilemma medizinischer Messungen: manche Patienten halten sich nicht an die Norm Oktober / 153 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

67 Normalverteilung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Gaußsche Glockenkurve Häufigkeitsverteilung für reine Zufallsfehler.4 f(x).3 68% σ +σ..1 σ +σ 95,5% 3σ x +3σ 99,7% 4 6 x Analog: 68% in [ x x, x + x] 95,5% in [ x x, x + x] 99,7% in [ x 3 x, x + 3 x] f(x) = 1 σ (x µ) π e σ Mittelwert µ = x = x 68% im Intervall [µ σ,µ + σ] 95,5% in [µ σ,µ + σ] 99,7% in [µ 3σ,µ + 3σ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

68 Gaußverteilung realistischer Messungen N 5 Messung Entries 1 Mean 5.15 RMS Constant ±.44 Mean 5.7 ±.56 Sigma ± x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Gaußverteilung realistischer Messungen Messung Entries 1 Mean 5 18 RMS Constant 1.978e+4 ± 7.67e+1 Mean 5.1 ±. Sigma 5.43 ±.11 N x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

69 Protokollführung und Auswertung Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i x i /[x] (x i x)/[x] (x i x) /[x] 1. n. i x i =..... i (x x) =... Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) /cm 1 37,3,,4 35,5-1,6, ,8 -,3,9 4 38,1 1, 1, 5 37,8,7, ,,1,1 Summe,7 4,19 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i = l 1+l +l 3 +l 4 +l 5 +l 6 n =,7 6 = 37,1167 Fehler: l = 1 n (n 1) n i=1 (l i l) = ,19 cm =,3737 cm Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

70 Ergebnis l = (37,1 ±,4) cm Achtung: Es wird nur die erste fehlerbehaftete Stelle (gerundet) angegeben Relativer Fehler l = 37,1 cm ±,4 37,1 1% = 37,1 cm ± 1,1% Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Fehlerfortpflanzung Messgröße setzt sich aus mehreren fehlerbehafteten Größen zusammen Nur die Fehler der einzelnen Größen sind bekannt Wie groß ist der Gesamtfehler? Zwei Fälle Addition der Größen Multiplikation der Größen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

71 Fehlerfortpflanzung Addition Beispiel: Messung einer Länge l = l A + l B : Zwei Einzelmessungen l A und l B mit Fehler l A und l B Gesamtfehler: Summe der absoluten Einzelfehler l = l A + l B Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Fehlerfortpflanzung Multiplikation Vereinfachte Schätzung des Gesamtfehlers Beispiel: Messung der Geschwindigkeit v = s t Bestimmung von v durch Messen des Weges s und der benötigten Zeit t. Kleinster Wert von v: s s v min = t + t Größter Wert von v: s + s v max = t t v liegt etwa in der Mitten von [v min,v max ]. Die größere der Differenzen v v min bzw. v max v ist der Fehler v Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

72 Beispiel: Rechteck Gemessen: Kantenlänge a = (1, ±,) cm Kantenlänge b = (9, ±,1) cm Fläche (Mittelwert): F = ā b = 1 cm 9 cm = 18 cm Fehlergrenzen: F max = (ā + ā)( b + b) = ā b + ā b + b ā + ā b }{{} klein ā b + ā b + b ā F min ā b ā b b ā Es folgt für den Fehler: F F max F F F min ā b + b ā F F ā ā + b b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Fehler von Produkten Allgemeine Regel F F ā ā + b b Der relative Fehler von Produkten (hier F = a b) und Quotienten von Messwerten ist gleich der Summe der relativen Fehler der Faktoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

73 Zusammenfassung: zwei Regeln Zwei Größen a = ā + ā und b = b + b Addition oder Subtraktion: c = a + b bzw. c = a b Werden a und b addiert oder subtrahiert, so addieren sich die absoluten Fehler zum absoluten Gesamtfehler: c = ā + b Multiplikation oder Division: c = a b bzw. c = a/b Werden a und b multipliziert oder dividiert, so addieren sich die relativen Fehler zum relativen Gesamtfehler: c c = ā ā + b b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Einschub: Raumwinkel r A Winkel in D: Öffnung zwischen zwei Geraden Raumwinkel Ω: räumliche Öfnungswinkel eines Kegels A: Durchstoßfläche des Kegels durch die Kugeloberfläche mit Radius r Ω = A r Einheit Steradiant (sr) Gesamter Raumwinkel: 4π Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

74 Übersicht 1 Einleitung Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen 5 Trigonometrische Funktionen 6 Exponentialfunktionen 7 Logarithmen 8 Differentiation 9 Messfehler 1 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Skalare und Vektoren Skalare Größen unabhängig von einer Richtung, z.b.: Masse m Zeit t Volumen V Ladung Q Vektoren Größen mit Richtung, z.b.: Geschwindigkeit v Kraft F Impuls p Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

75 Eigenschaften von Vektoren Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre Länge und Richtung identisch sind Ein Vektor ändert sich nicht, wenn er beliebig parallel verschoben wird Die Länge eines Vektors gibt eine physikalische Größe wieder (Zahl + Einheit) Verschiedene Schreibweisen üblich: P 1 P, a, a,... Wir verwenden a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Darstellung von Vektoren Meistens 3-dimensionales kartesisches Koordinatensystem 3 Achsen x, y und z stehen senkrecht aufeinander Einheitsvektoren Vektor der Länge 1 entlang (parallel) der entsprechenden Achse e x, e y, e z Länge der Projektion auf die Achsen a x, a y, a z Vektor zusammengesetzt aus seinen Komponenten a = a x e x + a y e y + a z e z a = (a x,a y,a z ) = a x a y a z Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

76 Graphische Darstellung (Hier: D Vekoren) 1 y 9 b = (,8) 8 c = (9,7) c x 3 a = (3,1) 1 e y e x c y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Rechnen mit Vektoren Addition Komponentenweise c = a + b = (a x + b x, a y + b y, a z + b z ) Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) wird auf jede Komponente angewendet Betrag (Länge) k a = (k a x, k a y, k a z ) a = a = a x + a y + a z Zum Merken: Pythagoras in 3D Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

77 Graphische Darstellung Rechnen y c = a + b = (5,7) b = (,6) a = (3,1) d = 3 a + b = (11,9) 3 a = (9,3) x Gegeben: a = (3,1) b = (,6) Gesucht: c = a + b d = 3 a + b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153 Skalarprodukt Skalare Multiplikation zweier Vektoren a b = a x b x + a y b y + a z b z = c b Projektion von b auf a multipliziert mit a ϕ b a a c = b a a = b a cos(ϕ) Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeineander, wenn gilt: a b = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153

78 Kreuzprodukt (Vektorprodukt) Vektorielle Multiplikation zweier Vektoren a a y b z a z b y b = c = a z b x a x b z a x b y a y b x Das Kreuzprodukt gibt einen Vektor c, der senkrecht zu a und b steht. Die Länge von c ist gleich der Fläche des von a und b aufgespannten 17 Parallelogramms 1 Richtung von c: b b sin ϕ ϕ a c = a b sin ϕ des räumlichen stehenden Kom- duktvektor (Fläen Ausgangsvekiel: a c = A funktionen er Vektorls Summe u den Ach- Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153. Abb Rechte-Hand-Regel: Vektorprodukt A B = C; A (Daumen) weist nach oben, B (Zeigefinger) weist nach hinten, C (abgewinkelter Mittelfinger) steht senkrecht auf A und B Beispiele: Rechnen mit Vektoren a e x = a x Vektorprodukte 4 a 1 a = 3,5 a a b 7 Kap ( ( ) ( )) Flächennormalen. 1 Abb A 3 vektorielle Produkt a b ( a b) a = c a = c a sin ϕ = da c a ( a b) b = c b = c b sin ϕ = da c b /1 = ( ) ( ) 6 6 /1 = = 6 e x Kreuzprodukt Rechte-Hand-Regel. Abb (( ) ( )) /1 = ( a b)/( a b) = a b sin(ϕ)/a = b sin(ϕ)/a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner Oktober / 153