Physik für Biologen und Zahnmediziner
|
|
|
- Meta Stieber
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum : Noch mehr Funktionen Dr. Daniel Bick 1. Oktober 16 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 1 / 56
2 Inhalt 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 / 56
3 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 3 / 56
4 Wiederholung: Lineare Funktionen y f(x) = y = a x + b Steigung a = y x, y-achseabschnitt b y P y y 1 y 1 y = b P 1 x x 1 x 1 x x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 4 / 56
5 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 5 / 56
6 Wiederholung: Potenzieren Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst z.b.: x x = x. Potenz von x. Potenz: x = 1 1. Potenz: x = x 1. Potenz: x x = x 3. Potenz: x x x = x 3 n. Potenz: x } x {{... x} = x n n n nennt man Exponent oder Hochzahl Negative Potenz: x n = 1 x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 6 / 56
7 Rechnen mit Potenzen Produkt x n x m = (x} x {{... x} ) (x} x {{... x} ) = x n+m n m Quotient Potenz x n x m = 1 xn x m = xn x m = x n m (x n ) m = (x} x {{... x} )... (x} x {{... x} ) = x n m } n {{ n } m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 7 / 56
8 Beispiele: Rechnen mit Potenzen ( 1) 6 = (1/1) 4 =,1 5 = = a 5 a /a 4 = (a/b ) 3 (b /a) 3 = a a 3 a 4 = (a 1 b 5 ) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 8 / 56
9 Beispiele: Rechnen mit Potenzen ( 1) 6 = (( 1) ) 3 = 1 3 = 1 (1/1) 4 = (1 1 ) 4 = 1 4 = 1/1 4 =,1,1 5 = (1/1) 5 =, = = = = 3 (1 + ) = 8 ( 1) = 8 a 5 a /a 4 = a (5+ 4) = a 3 (a/b ) 3 (b /a) 3 = a 3 b 6 b 6 a 3 = a b = 1 a a 3 a 4 = a 3+4 = a 1 = 1/a (a 1 b 5 ) = a 1 b 5 = a b 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 8 / 56
10 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion. Grades: f(x) = y = x. Grades: f(x) = a x 1. Grades: f(x) = a x 1. Grades: f(x) = a x 3. Grades: f(x) = a x 3 n. Grades: f(x) = a x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 9 / 56
11 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion. Grades: f(x) = y = x. Grades: f(x) = a x 1. Grades: f(x) = a x 1 + b. Grades: f(x) = a x + b x + c 3. Grades: f(x) = a x 3 + b x + c x + d n. Grades: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 9 / 56
12 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion. Grades: f(x) = y = x. Grades: f(x) = a x 1. Grades: f(x) = a x 1 + b. Grades: f(x) = a x + b x + c Quadratische Gleichung 3. Grades: f(x) = a x 3 + b x + c x + d n. Grades: f(x) = a n x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 9 / 56
13 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = f(x) = y = x x f(x) = x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 1 / 56
14 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = f(x) = y = x 18 x f(x) = x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 1 / 56 x
15 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = f(x) = y = x 18 x f(x) = x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 1 / 56 x
16 Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung f(x) = a x y x x x = ( x) ( x) = x nur positive Werte f( x) = f(x) symmetrisch zur y-achse f() = Scheitelpunkt im Ursprung a = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
17 Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung f(x) = a x y x x x = ( x) ( x) = x nur positive Werte f( x) = f(x) symmetrisch zur y-achse f() = Scheitelpunkt im Ursprung a = 1 a =,5 a = a =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
18 Verschieben in y-richtung Scheitelpunkt bei y s = c f(x) = x + c y x c = c = 1 c = c = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 1 / 56
19 Verschieben in x-richtung f(x) = (x + d) 1. Binomische Formel: (x + d) = x + d x + d Scheitelpunkt bei x s = d y x d = d = d = 4 d = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
20 Parabeln allgemein Quadratische Gleichung f(x) = a x + b x + c Wie finde ich den Scheitelpunkt S? f(x) = y = a (x x s ) + y s y = a x a x s x + a x s + y s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
21 Parabeln allgemein Quadratische Gleichung f(x) = a x + b x + c Wie finde ich den Scheitelpunkt S? f(x) = y = a (x x s ) + y s y = a x a x s x + a x s + y s Koeffizientenvergleich: b = a x s x s = b a c = a x s + y s y s = c a x s = c b 4a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
22 Scheitelpunktsform f(x) = y = a (x x s ) + y s Meistens ist aber gegeben: f(x) = a x + b x + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
23 Quadratische Ergänzung f(x) = a x + b x + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
24 Quadratische Ergänzung f(x) = a x + b x + c Ausklammern des Leitkoeffizienten f(x) = a (x + ba ) x + c Quadratische Ergänzung f(x) = a x + b ( b a x+ a Binomische Formel rückwärts f(x) = a ) ( b a ) } {{ } = ( x + b ) b a 4a + c + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
25 Beispiel Quadratische Ergänzung f(x) = x 4x + 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
26 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 x f(x) = y = x n = 1 x n f(x) = x x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
27 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x 1-4 -,5-3 -,33 - -, undefiniert 1 1,5 3,33 4, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56 x
28 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x 1-4 -,5-3 -,33 - -, undefiniert 1 1,5 3,33 4, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56 x
29 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x 1-4 -,5-3 -,33 - -, undefiniert Polstelle bei x = 1 1,5 3,33 4, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56 x
30 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x 1-4 -,5-3 -,33 - -,5 Asymptoten -1-1 undefiniert Polstelle bei x = 1 1,5 3,33 4, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56 x
31 Beispiel Hyperbel Gesetz von Boyle-Mariotte: Gilt für abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur T mit Volumen V und Druck P P V 1 oder P = c/v mit Konstante c P [bar] V [m 3 ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
32 Beispiel Hyperbel Gesetz von Boyle-Mariotte: Gilt für abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur T mit Volumen V und Druck P P V 1 oder P = c/v mit Konstante c P [bar] V [m 3 ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
33 Nullstellen einer Quadratischen Gleichung Nullstelle: f(x) = y = f(x) = y = a x + b x + c = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 / 56
34 Nullstellen einer Quadratischen Gleichung Nullstelle: f(x) = y = Normierte Form: Teilen durch a f(x) = y = a x + b x + c = Mit b a = p und c a = q: x + b a x + c a = Lösung mit p-q-formel: x + p x + q = x 1, = p ± (p ) q Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 / 56
35 Beispiel: Kanone auf Hügel Gegeben Höhe des Hügels h = m Startgeschwindigkeit in vertikaler Richtung v = m s h(t) = h + v t g t mit g = 9,81 m/s Wie lange fliegt die Kugel? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 1 / 56
36 Beispiel: Kanone auf Hügel Gegeben Höhe des Hügels h = m Startgeschwindigkeit in vertikaler Richtung v = m s Wie lange fliegt die Kugel? 3, h(t) = h + v t g t mit g = 9,81 m/s h + v t g t = h [m], 1, t [s] t v g t h g = t 1/ = v (v ) g ± + h g g t 1/ = (,4 s ± 1,4 s) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 1 / 56
37 Umkehrfunktionen Gegeben: y = f(x) Gesucht: Funktion, die zu jedem y-wert den zugehörigen x-wert liefert Definition: Diese Funktion heißt Umkehrfunktion f 1 : x = f 1 (y) x f(x) = y = x y x = f 1 (y) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 / 56
38 Graphische Folgen y x x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 3 / 56
39 Normalparabel und Umkehrung 5 15 Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 4 / 56
40 Normalparabel und Umkehrung 5 15 Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Funktion muss jedem x-wert eindeutig einen Funktionswert y zuordnen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 4 / 56
41 Normalparabel und Umkehrung 5 15 Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Funktion muss jedem x-wert eindeutig einen Funktionswert y zuordnen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 4 / 56
42 Wurzeln Wurzel m x = x 1 m Umkehrfunktion zu einfachen Potenzen: f(x) = x m Rechenregeln wie bei Potenzen: ( x 1 m ) n = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 5 / 56
43 Wurzeln Wurzel m x = x 1 m Umkehrfunktion zu einfachen Potenzen: f(x) = x m Rechenregeln wie bei Potenzen: ( ) x 1 n n m = x m = m x n = ( m x ) n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 5 / 56
44 Beispiele: Rechnen mit Wurzeln ( ) 4 5 = ( ) 3 = a 3 a = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 6 / 56
45 Beispiele: Rechnen mit Wurzeln ( ) 4 ( ) 5 = = 5 = 5 = 5 ( ) 3 = 3 = 9 = 18 a 3 a = a 3 a 1 = a 4 = a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 6 / 56
46 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 7 / 56
47 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 7 / 56
48 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: y c a = x n m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 7 / 56
49 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: y c a ( y c a = x n m ) m = x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 7 / 56
50 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: 4 Ziehen der nten Wurzel: y c a ( y c a = x n m ) m = x n n ( y c a ) m ( = y c ) m n a = x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 7 / 56
51 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: 4 Ziehen der nten Wurzel: y c a ( y c a = x n m ) m = x n n ( y c a ) m ( = y c ) m n a = x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 7 / 56
52 Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung s(t) =,5 a t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 8 / 56
53 Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Multiplikation mit : s(t) =,5 a t s = a t Division mit a: Ziehen der Quadratwurzel: s a = t t(s) = s a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 8 / 56
54 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 9 / 56
55 Einheitskreis y 9 ϕ 6 R = 1 3 x Kreis mit Radius R = 1 Winkel gegen den Uhrzeigersinn definiert (Rechtsdrehung) Eine Umdrehung: 36 Kreisumfang: U = πr Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 3 / 56
56 Einheitskreis π 5π 6 7π 6 π 3 π y ϕ π 3 R = 1 π 6 11π 6 x Kreis mit Radius R = 1 Winkel gegen den Uhrzeigersinn definiert (Rechtsdrehung) Eine Umdrehung: 36 Kreisumfang: U = πr 36 = π rad = π rad=radiant=bogenmaß Einheit rad wird weggelassen 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 3 / 56
57 Umrechnung Grad Bogenmaß α: Winkel in Grad ϕ: Winkel im Bogenmaß Es gilt: 36 = π Für den gleichen Winkel α = ϕ folgt also: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
58 Umrechnung Grad Bogenmaß Es gilt: α: Winkel in Grad ϕ: Winkel im Bogenmaß 36 = π Für den gleichen Winkel α = ϕ folgt also: α = ϕ α 36 = ϕ π α = ϕ π 36 = ϕ 18 π α 36 π = α π 18 = ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
59 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 11π 6 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 3 / 56
60 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 sin() = sin(π/) = sin(π) = sin(3π/) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 3 / 56
61 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 sin() = sin(π/) = 1 sin(π) = sin(3π/) = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 3 / 56
62 Graphen von Sinus 1.5 sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
63 Graphen von Sinus 1.5 sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
64 Sinus-Funktion mit Parametern - Amplitude Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) sin(ϕ) ϕ A = 1 A = A =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
65 Sinus-Funktion mit Parametern - Amplitude Allgemeine Sinus-Funktion Amplitude: Höhe der Kurve Entspricht Radius bzw. Hypotenuse f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) sin(ϕ) ϕ A = 1 A = A =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
66 Sinus-Funktion mit Parametern - Phase Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) sin(ϕ) ϕ ϕ = ϕ = 9 ϕ = 3 ϕ = 18 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
67 Sinus-Funktion mit Parametern - Phase Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) Phase: Verschiebung entlang x-achse sin(ϕ) ϕ ϕ = ϕ = 9 ϕ = 3 ϕ = 18 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
68 Sinus-Funktion mit Parametern - Periode Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) sin(ϕ) ϕ c = 1 c = 3 c =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
69 Sinus-Funktion mit Parametern - Periode Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) Periode P : Abstand zwischen zwei gleichen Kurvenpunkten, z.b. Maxima sin(ϕ) ϕ c = 1 c = 3 c =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
70 Periode Normaler Sinus hat die Periode P = π Allgemeine Sinus-Funktion mit Periode P : ( ) π f(x) = A sin P ϕ + ϕ Also c = π P bzw.: P = π c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
71 Cosinus-Funktion 5π 6 π 3 π y π 3 π 6 cos(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 11π 6 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
72 Cosinus-Funktion 5π 6 π 3 π y π 3 π 6 cos(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 cos() = cos(π/) = cos(π) = cos(3π/) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
73 Cosinus-Funktion 5π 6 π 3 π y π 3 π 6 cos(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 cos() = 1 cos(π/) = cos(π) = 1 cos(3π/) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
74 Graphen von Sinus und Cosinus 1 sin(ϕ) sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
75 Graphen von Sinus und Cosinus 1 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
76 Graphen von Sinus und Cosinus 1 ϕ = π = 9 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
77 Graphen von Sinus und Cosinus 1 ϕ = π = 9 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) π π 3π π ( cos(ϕ) = sin ϕ + π ) ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
78 Anwendung Sinus-Funktion Überlagerung von harmonischen Schwingungen t t t t t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 4 / 56
79 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
80 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f(x) = y = B x B nennt man Basis Beispiel: B = 1 x f(x) = 1 x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 4 / 56
81 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f(x) = y = B x B nennt man Basis Beispiel: B = 1 x f(x) = 1 x -4,1-3,1 -,1-1, y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 4 / 56
82 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f(x) = y = B x B nennt man Basis Extrem schnelles Wachstum! Exponentielles Wachstum Beispiel: B = 1 x f(x) = 1 x -4,1-3,1 -,1-1, y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 4 / 56
83 Größenordnungen Potenz Name Zeichen Potenz Name Zeichen 1 4 Yotta Y 1 1 Dezi d 1 1 Zetta Z 1 Zenti c 1 18 Exa E 1 3 Milli m 1 15 Peta P 1 6 Mikro µ 1 1 Tera T 1 9 Nano n 1 9 Giga G 1 1 Piko p 1 6 Mega M 1 15 Femto f 1 3 Kilo k 1 18 Atto a 1 Hekto h 1 1 Zepto z 1 1 Deka da 1 4 Yocto y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
84 Beispiele Größenordnungen Längen Weltall 1 6 m Galaxis 1 m Sonnensystem 1 14 m Erde 1 7 m Mensch 1 m DNA 1 7 m Atom 1 1 m Atomkern 1 14 m Proton 1 15 m Astronomie, Astrophysik Biologie, Biophysik, Medizin Atom- und Kernphysik Chemie Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
85 Beispiele Größenordnungen Zeiten Lebensdauer des Higgs-Bosons 1 s Schwingungsperiode von sichtbarem Licht 1 15 s Laufzeit des Lichts durch das Auge (3 cm) 1 1 s Taktzeit eines Pentiumprozessors 1 9 s Blitz beim Fotoapparat 1 5 s Nervenleitung (1 m) 1 s Kürzeste Reaktionszeit 1 1 s Konzentrationszeit s Studiendauer 1,6 1 8 s Lebensdauer eines Menschen s Unsere Milchstraße s Alter des Universums (15 Mrd Jahre) s Mittlere Lebensdauer eines Protons > s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
86 Beispiele Größenordnungen Gewicht Elektron 1 3 kg Proton 1 7 kg Aminosäure 1 5 kg Hämoglobin 1 kg Virus 1 kg Salzkorn 1 8 kg Menschliches Haar 1 6 kg DIN A6 Blatt 1 3 kg Mensch 1 kg Großer LKW 1 4 kg Pyramide 1 1 kg Sonne 1 4 kg Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
87 Exponentialfunktion mit verschiedener Basis x e x x x-achse ist Asymptote Schneidet immer bei y = 1 y 4 Eulersche Zahl e, x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
88 Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c y e x e,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e e x = exp(x) 4 4 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
89 Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x ) y e x e,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e e x = exp(x) 4 4 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
90 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c 4 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
91 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c Negative b: exponentiell fallend (e x = 1/e x ) 4 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
92 Übersicht Exponentialfunktionen f(x) = y = a B b(x x ) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis Negative b exponentiell fallend Verschiebung entlang der x-achse :x Verschiebung entlang der y-achse :c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 5 / 56
93 Beispiele: Exponentielles Wachstum Vermehrung von Bakterien Findet durch Zellteilung statt Im Mittel feste Periode Beispiel: Generationszeit von T G = 1 Minuten Teilungen Bakterien Zeit B(t) = B t/t G Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
94 Wachstum von Bakterien Ideale Wachstumskurve einer statischen Bakterienkultur Quelle Wachstum Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober 16 5 / 56
95 Beispiel: Radioaktiver Zerfall von Cäsium N(t) = N e t τ 1 Zerfall von 137 Cs N/N Cs hat Halbwertszeit T 1/ = 3,17 a Üblicher: Lebensdauer τ t [Jahre] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
96 Beispiel: Strahlenbelastung Radioaktiver Zerfall Strahlenbelastung Quelle: I radiation, Fukushima Prefecture, March-April 11.png Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
97 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasand ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle Beispiel: Laden einen Kondensators, y.6 f(x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
98 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasand ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle Beispiel: Laden einen Kondensators, y.6 f(x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
99 Beispiel: Laden eines Kondensators Q(t) = Q S (1 e t τ ) Q S Q [C] t [ns] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 1. Oktober / 56
Lösungen Kapitel A: Wahrscheinlichkeiten
Lösungen Kapitel A: Wahrscheinlichkeiten Arbeitsblatt 01: Kombinatorische Zählverfahren (1) Junge, Junge, Mädchen, Mädchen (2) Junge, Mädchen, Junge, Mädchen (3) Junge, Mädchen, Mädchen, Junge (4) Mädchen,
Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2
Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4
Basistext Funktionen. Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu.
Basistext Funktionen Definition Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus einer Definitionsmenge D f genau ein Wert y zu. Man schreibt: f: x -> y mit y = f(x) Die Wertemenge einer Funktion f besteht aus
Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α
Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.
Grundwissen 10. Klasse Mathematik. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Spitzbogens mit Lösung: ( )
1.1 Der Kreis Der Kreis Umfang Flächeninhalt Der Kreissektor (Kreisausschnitt) mit Mittelpunktswinkel Bogenlänge Flächeninhalt Grundwissen 10. Klasse Mathematik Wie ändert sich der Flächeninhalt eines
Schwingungen und Wellen
Schwingungen Wellen Jochen Trommer jtrommer@uni-leipzig.de Universität Leipzig Institut für Linguistik Phonologie/Morphologie SS 2007 Schwingungen beim Federpendel Schwingungen beim Federpendel Wichtige
Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen. Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Idee der Koordinatentransformation
Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen Idee der Koordinatentransformation Rahmenlehrplan Berlin P4 9/10: Situationen mit n und Potenzfunktionen
Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
56 Kapitel 6 Reelle Funktionen. B) Quadratische Funktionen: Eine Funktion der Gestalt. f(x) := ax 2 + bx + c (mit a 0)
55 6 Reelle Funktionen 6.1 Beispiele von Funktionen A) Lineare Funktionen: Seien a, b R, a 0. Dann heißt die Funktion f : R R, die durch definiert wird, eine lineare Funktion. 1 f(x) := ax + b Lineare
α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel
Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,
Curriculum Mathematik
Klasse 5 Natürliche Zahlen Rechnen mit natürlichen Zahlen: Kopfrechnen, Überschlag, Runden, schriftliches Rechnen, Rechengesetze, Vorrangregeln, Terme berechnen Zahlenstrahl und Maßstäbe Darstellung von
1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:
1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen
Propädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Sommersemester 2016 Carsten Krupp BBA Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004 Piehler, Sippel, Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg,
Die in diesem Skriptum behandelten Themen entsprechen etwa dem Niveau der Sekundarstufe I. Kontakt zum Autor:
Rüdiger Kuhnke Mathematischer Vorkurs zur Physik Die in diesem Skriptum behandelten Themen entsprechen etwa dem Niveau der Sekundarstufe I. Version 0. vom.0.008 Noch nicht vollständig korrigiert Kontakt
2. Die Satzgruppe des Pythagoras
Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 17 1.4 Rechnen mit reellen Zahlen a) Multiplizieren und Dividieren von reellen Zahlen + Es gilt: a b = a b mit ab R, 0 Beispiele: 18 = 36 = 6 14 14 7 = = a a
Einstieg. Bogenmaß. Allgemeine Formeln
2 Einstieg Differenzialrechnung * Integralrechnung * Geometrie Stochastik * Zusatzthemen * Prüfungsaufgaben Wiederholung einiger Formeln Aufgaben aus dem Pflichtteil Schaubilder und Funktionsterme Streckung
Brückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
Propädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2016/2017 Prof. Dr. Dieter Leitmann Abteilung WI WiSe 2016/17 Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004 Piehler, Sippel,
x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.
SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten
Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
Kreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des
Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel
Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 0 KREIS und KUGEL Bogenlänge rπα = 80 Das Verhältnis r πα = 80 heißt Bogenmaß, ist nur vom Mittelpunktswinkel α ahängig
Fit für die MSS? Wiederholungsaufgaben aus Klasse 8-10
Fit für die MSS? Wiederholungsaufgaben aus Klasse 8-0 Aufgaben Richtig Themengebiet : Terme /. Vereinfache: (9x ) + 3x xy + x ( 3xy) (x + 3) (x ) + (x + 3)² abc 5x 0 3yx x +. Kürze: a) b) c) d) 5a² b 5
+ 2. Bruchgleichungen
Bruchgleichungen Gleichungen mit einer Lösungsvariablen im Nenner eines Bruchs heißen Bruchgleichungen. Definitionsmenge: Nenner 0 Lösungsweg: 1. Multiplikation mit dem Hauptnenner 2. Äquivalenzumformungen
Einführung in die Physik für Studierende der Medizin, Zahnmedizin und Pharmazie
Einführung in die Physik für Studierende der Medizin, Zahnmedizin und Pharmazie Doris Vollmer Max-Planck Institut für Polymerforschung, Mainz Wintersemester 2012/13 http://www.mpip-mainz.mpg.de/~vollmerd/teaching_page.html
Formelsammlung Mathematik 9
I Lineare Funktionen... 9.) Funktionen... 9.) Proportionale Funktionen... 9.) Lineare Funktionen... 9.4) Bestimmung von linearen Funktionen:... II) Systeme linearer Gleichungen... 9.5) Lineare Gleichungen
Die Kugel Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10. Definitionen und Regeln. Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π. Kugelvolumen: - 1 -
10.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Die Kugel Beispiele Kugeloberfläche: O Kugel = 4 r² π r Kugelvolumen: V Kugel = 4 3 r³ π - 1 - 10. Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 10 Kreissektor
Potenzen - Wurzeln - Logarithmen
Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Anna Geyer 4. Oktober 2006 1 Potenzrechnung Potenz Produkt mehrerer gleicher Faktoren 1.1 Definition (Potenz): (i) a n : a... a, n N, a R a... Basis n... Exponent od. Hochzahl
fwg Kreissektoren und Bogenmaß Mittelpunktswinkel : Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): M 10.
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des
Einführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen
Thema: Quadratische Funktionen quadratische Gleichungen Normalform einer linearen Funktion Normalform einer quadratischen Funktion Handelt es sich um quadratische Funktionen??? Ja, denn a = 3, b = 0, c
Diese Funktion ist mein Typ!
Diese Funktion ist mein Typ! Überblick über die wichtigsten Funktionstypen der 10.Jgst.: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Trigonometrische
gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind
Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl
lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:
2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35 Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert
Vorkurs Mathematik für Nichtmathematiker
Vorkurs Mathematik für Nichtmathematiker Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik 14. - 25. September 2015 1 / 278 Elementare Rechenmethoden Funktionen Geometrie Gleichungen und Ungleichungen
Zahlen und Gleichungen
Kapitel 2 Zahlen und Gleichungen 21 Reelle Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen
Minimalziele Mathematik
Jahrgang 5 o Kopfrechnen, Kleines Einmaleins o Runden und Überschlagrechnen o Schriftliche Grundrechenarten in den Natürlichen Zahlen (ganzzahliger Divisor, ganzzahliger Faktor) o Umwandeln von Größen
2.8 Trigonometrische Funktionen (Thema aus dem Bereich Analysis/Geometrie)
.8 Trigonometrische Funktionen (Thema aus dem Bereich Analysis/Geometrie) Inhaltsverzeichnis Repetition und Einleitung Verhältnisse beim Kreis mit Radius r 3 3 Die Graphen der Sinus- und der Cosinusfunktion
UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE
UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE 1. Gebot: Nur die DUMMEN kürzen SUMMEN! Und auch sonst läuft bei Summen und Differenzen nichts! 3x + y 3 darfst Du NICHT kürzen! x! y. Gebot: Vorsicht bei WURZELN und
GRUNDKURS MATHEMATIK. Zahlenmengen. Natürliche Zahlen. Ganze Zahlen. Gebrochene Zahlen { } Rationale Zahlen { } Irrationale Zahlen { } Reelle Zahlen
GRUNDKURS MATHEMATIK Zahlenmengen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen : 0, 1, 2, 3, Gebrochene Zahlen { } : 0, -1, 1, - Rationale Zahlen { } : 0,,, - Irrationale Zahlen { } : 0, -, Reelle Zahlen Addition und
1 Analysis Kurvendiskussion
1 Analysis Kurvendiskussion 1.1 Allgemeingültige Betrachtungen Die folgenden aufgezeigten Betrachtungen und Rechenschritte gelten für alle Arten von Funktionen. Funktion (z.b. Polynom n-ten Grades) Schreibweise
Elementäre Bausteine m = 10 micron. Blutzelle Atom 1800 D.N.A Elektron m = 0.1 nanometer Photon 1900
Was ist Physik? Das Studium der uns umgebenden Welt vom Universum bis zum Atomkern, bzw. vom Urknall bis weit in die Zukunft, mit Hilfe von wenigen Grundprinzipien. Diese gesetzmäßigen Grundprinzipien
Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Rainer Hauser September 013 1 Einleitung 1.1 Der Begriff Funktion Eine Funktion ordnet jedem Element m 1 einer Menge M 1 ein Element m einer Menge M zu. Man schreibt dafür f:
Vorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems
Die Menge der reellen Zahlen vereinigt die Menge der rationalen Zahlen mit der Menge der irrationalen
9 Menge der natürlichen Zahlen Axiome von Peano: 1. 1 ist eine natürliche Zahl. 2. Jede Zahl a hat einen bestimmten Nachfolger a + in der Menge der natürlichen Zahlen.. Stets ist a + 1, d.h. es gibt keine
Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.
Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich
1.Kreiszahl π 1.1.Kreis α Länge des Kreisbogens b = 2π 360 α
Grundwissen athematik 0.Klasse Gymnasium SOB.Kreiszahl..Kreis α Länge des Kreisbogens b r 360 α Fläche des Kreissektors A r 360 Das Bogenmaß b eines Winkels α ist die Länge der zugehörigen Bogenlänge b
ax 2 + bx + c = 0, (4.1)
Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die
Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft
Berufsbildende Schule 11 der Region Hannover Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Das folgende Material soll Ihnen helfen sich einen Überblick
Differenzialrechnung
Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =
Inhaltsverzeichnis Mathematik
1. Mengenlehre 1.1 Begriff der Menge 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 1.3 Verknüpfungen von Mengen (Mengenoperationen) 1.4 Übungen 1.5 Übungen (alte BM-Prüfungen) 1.6 Zahlenmengen 1.7 Grundmenge (Bezugsmenge)
KOMPLEXE ZAHLEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
KOMPLEXE ZHLEN UND LINERE GLEICHUNGSSYSTEME Vektoren Definition: Parallelverschiebung, Pfeil(e) mit Länge und Richtung. Darstellung Eigenschaften Komponenten Graphisch Länge, Betrag Zwischenwinkel Vektorarten
Übungsbuch Algebra für Dummies
...für Dummies Übungsbuch Algebra für Dummies von Mary Jane Sterling, Alfons Winkelmann 1. Auflage Wiley-VCH Weinheim 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 527 70800 0 Zu Leseprobe
F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen
F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen Eine Parabolantenne bündelt Radio- und Mikrowellen in einem Brennpunkt. Dort wird die Strahlung detektiert. Die Form einer Parabolantenne entsteht durch die
mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann
mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Geometrie: Winkelfunktionen, Trigonometrie, Additionstheoreme, Vektorrechnung von Rolf Baumann 1. Auflage mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann schnell
Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate
Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +
Physik I im Studiengang Elektrotechnik
Physik I im Studiengang Elektrotechnik - Einführung in die Physik - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 2015/2016 Physik eine Naturwissenschaft Natur leblos lebendig Physik Chemie anorganisch Chemie organisch Biochemie
Berufsmaturitätsprüfung 2013 Mathematik
GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2013 Mathematik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste
Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius
Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-
Schulinterner Lehrplan Mathematik Jahrgangsstufe 10
Themenbereich: Körperberechnungen Buch: Mathe heute 10 Seiten: 96-126 Zeitrahmen: 5 Wochen - Wiederholung der Körper Erfassen Würfel, Quader, Zylinder - Wiederholung des Satzes des Geometrie Konstruieren
Eingangstest im Fach Mathematik Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung
Eingangstest im Fach Mathematik Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung Hinweise: Liebe Schülerinnen und Schüler, der Eingangstest ist überstanden. Wenn Sie alle Aufgaben lösen konnten, so bringen Sie
Aufgabensammlung Klasse 8
Aufgabensammlung Klasse 8 Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen 3 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen..................... 3 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen...................
Schuleigener Kompetenzplan für das Fach Mathematik Jahrgang 10 Stand 2008 Lehrbuch: Mathematik heute 10
Schuleigener Kompetenzplan für das Fach Mathematik Jahrgang 0 Stand 008 Lehrbuch: Mathematik heute 0 Inhalte Seiten Kompetenzen gemäß Kerncurriculum Eigene Bemerkungen Quadratische Gleichungen Quadratischen
Direkte Proportionalität. Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn
M 8.1 Direkte Proportionalität Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. der Quotient für alle Wertepaare gleich ist. ( Quotientengleichheit
F u n k t i o n e n Potenzfunktionen
F u n k t i o n e n Potenzfunktionen Die Kathedrale von Brasilia steht in der brasilianischen Hauptstadt Brasilia wurde von Oscar Niemeyer (*907 in Rio de Janeiro). Die Kathedrale von Brasilia besteht
Buch: Mathematik heute [Realschule Niedersachsen], Schroedel
![Buch: Mathematik heute [Realschule Niedersachsen], Schroedel](/thumbs/40/22044004.jpg "Buch: Mathematik heute [Realschule Niedersachsen], Schroedel")
Klasse: 5 Buch: heute [Realschule Niedersachsen], Schroedel 1. Einheit: Zahlen und Größen S. 7 - S. 45 WH.: Grundrechenarten, Kopfrechenfertigkeiten 2. Einheit: Rechnen mit natürlichen Zahlen und Größen
Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg
Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg Schulversuch 41-6624.23/13 vom 20. Juli 2012 Lehrplan für das berufliche Gymnasium der sechsjährigen Aufbauform Allgemeine Fächer Mathematik Klasse
Berufliches Gymnasium Gelnhausen
Berufliches Gymnasium Gelnhausen Fachbereich Mathematik Die inhaltlichen Anforderungen für das Fach Mathematik für Schülerinnen und Schüler, die in die Einführungsphase (E) des Beruflichen Gymnasiums eintreten
Winkelfunktionen. Dr. H. Macholdt. 21. September 2007
Winkelfunktionen Dr. H. Macholdt 21. September 2007 1 1 Altgrad, Bogenmaß und Neugrad Die Einteilung eines Kreises in 360 Grad ist schon sehr alt und geht auf die Sumerer zurück, die offensichtlich von
Zahlen. Bruchrechnung. Natürliche Zahlen
Themenübersicht 1/5 Alle aktuell verfügbaren Themen (Klasse 4 10) Dieses Dokument bildet alle derzeit verfügbaren Themen ab. Die jeweils aktuellste Version des Dokuments können Sie auf der Startseite in
MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik
Fernstudium Guide Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft MatheBasics Teil 3 Grundlagen der Mathematik Version vom 05.02.2015 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der
r Oberflächeninhalt 1 Berechnungen am Kreis O 4r 1.1 Bogenmaß Das Bogenmaß x ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die 1.
Grundwissen Mathematik 0 Berechnungen am Kreis. Bogenmaß Das Bogenmaß ist das zu gehörende Verhältnis Bogenlänge, also die Radius Zahl / r Umrechnungen: r r 0 30 45 60 90 360 0. Kreisteile Sektorfläche:.3
Mathematik für Ahnungslose
Mathematik für Ahnungslose Eine Einstiegshilfe für Studierende Von Dipl.-lng. Yära Detert, Rodenberg S. Hirzel Verlag Stuttgart VII Inhaltsverzeichnis Vorwort Verzeichnis mathematischer Symbole V XII 1
Tutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +
Eingangstest im Fach Mathematik Lösungen der Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung
Eingangstest im Fach Mathematik Lösungen der Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung Hier finden Sie die Lösungen der Übungsaufgaben. Falls Sie weitere Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihren Mathematiklehrer.
)e2 (3 x2 ) a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen Sie das Verhalten von f für x.
Analysis Aufgabe aus Abiturprüfung Bayern GK (abgeändert). Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x )e ( x ). a) Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie, ermitteln Sie die Nullstellen von f und bestimmen
Physik für Nicht- Physiker. Dipl.-Math. T. Cleve NB 5/133 (NB 02/129) Sprechstunde: täglich Uhr Tel.:
Physik für Nicht- Physiker Dipl.-Math. T. Cleve NB 5/133 (NB 02/129) Sprechstunde: täglich 11-12 Uhr Tel.: 25865 torsten.cleve@rub.de Organisatorisches Vorlesung: donnerstags 10.20 11.50 Uhr Hörsaal HNB
10 - Elementare Funktionen
Kapitel 1 Mathematische Grundlagen Seite 1 10 Elementare Funktionen Definition 10.1 (konstante Funktion) Konstante Funktionen sind nichts weiter als Parallelen zur xachse, wenn man ihren Graphen in das
12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben!
12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September 2008 1. Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben! a) Untersuche den Graphen von f(x) auf Standardsymmetrien (Punktsymmetrie
Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Manfred Gurtner
Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Manfred Gurtner Stoff für den Einstufungstest Mathematik in das 2. Jahr AHS 1) Gleichungen/ Gleichungssysteme/ Terme Lineare Gleichungen
entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt
M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß
M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt
Vorbereitungskurs Mathematik
Vorbereitungskurs Mathematik Grundlagen für das Unterrichtsfach Mathematik für die Fachhochschulreifeprüfung Zweijährige Höhere Berufsfachschule Berufsoberschule I Duale Berufsoberschule Inhalt 0. Vorwort...
ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT
ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT Alle aufgeführten Kurse sind 100 % kostenfrei und können unter http://www.unterricht.de abgerufen werden. LINEARE GLEICHUNGEN Lineare Gleichungen - Einführung *Lösen von
Teil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen
Brückenkurs Mathematik Teil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen Staatliche Studienakademie Leipzig Studienrichtung Informatik Dr. Susanne Schneider 12. September 2011 Bestimmungsgleichungen 1 Reelle Zahlen
Realschule Abschlussprüfung
Realschule Abschlussprüfung Annegret Sonntag 4. Januar 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Strategie zur Berechnung von ebenen Figuren (Trigonometrie) 3 1.1 Skizze.................................................
Repetitionsaufgaben: quadratische Funktionen
Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: quadratische Funktionen Zusammengestellt von Bruno Wyrsch und Erich Huber, KS Seetal Inhaltsverzeichnis 1. Einführungsbeispiel.... Allgemeine Form der
Hilfe zur Vorbereitung auf die Zentrale Klassenarbeit Mathematik
Hilfe zur Vorbereitung auf die Zentrale Klassenarbeit Mathematik Jahrgangsstufe 10 (Baden-Württemberg und Auslandsschulen) Wenn du dieses Dokument in schwarz-weiß kopierst zeichne am besten die Graphen
Technische Mathematik
Lehrplan Technische Mathematik Fachschule für Technik Fachrichtungsbezogener Lernbereich Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft Hohenzollernstraße 60, 66117 Saarbrücken Postfach 10 24 52, 66024
Studentenmitteilung 1. Semester - WS 2007
NIVERSITÄT LEIPZIG Institut für Informatik Studentenmitteilung. Semester - WS 2007 bt. Technische Informatik Dr. rer.nat. Hans-Joachim Lieske Tel.: [49]-034-97 3223 Johannisgasse 26 - Zimmer: Jo 04-47
Schulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe
Schulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe Halbjahr 10. 1 Schwerpunkt Inhaltsbezogene Prozessbezogene Arithmetik/Algebra Zahlenmengen (LS10 Kap. I) Angabe von Zahlenmengen mit der Intervall-
4.2. Aufgaben zu quadratischen Funktionen
.. Aufgaben zu quadratischen Funktionen Aufgabe : Stauchung und Streckung der Normalparabel a) Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen in das Koordinatensstem. b) Vervollständige die darunter
Vorbereitungskurs Mathematik Umweltingenieurwesen
Vorbereitungskurs Mathematik Umweltingenieurwesen c Prof. Dr. T. Ott, Dr. P. Kauf ottt@zhaw.ch, kauf@zhaw.ch Voraussetzungen Mathematik Ziel dieses Vorbereitungskurses ist es, die Grundlagen der Mathematik
ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009
ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 7. Februar 2009 1 Grenzwerte und Folgen 1. Unterschied arithmetische Folge zu geometrische Folge 2. Rekursive Darstellung von Zerfalls- und Wachstumsvorgängen (a) lineares
Institut für Informatik. Aufgaben zu Übung Grundlagen der Technischen Informatik 1. 4. Aufgabenkomplex Technologie logischer Schaltungen
UNIVRSITÄT LIPZIG Institut für Informatik Studentenmitteilung. Semester - WS 22 Abt. Technische Informatik Gerätebeauftragter Dr. rer.nat. Hans-Joachim Lieske Tel.: [49]-34-97 3223 Zimmer: HG 2-37 e-mail:
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Trigonometrie Sinus und Kosinus
EvBG Grundwissen Mathematik 10. Jahrgangsstufe Wissen und Können Aufgaben, Beispiele und Erläuterungen Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit Bezeichnungen: P(A): Wahrscheinlichkeit
Unterrichtsinhalte Mathematik Klasse 5
Schulinternes Curriculum Jahrgangsstufen 5-9 Mathematik Phoenix-Gymnasium Dortmund Fachschaft Mathematik Unterrichtsinhalte Mathematik Klasse 5 Ziel des Unterrichts ist es, die Mathematikkenntnisse aus
Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002
Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von
Name: Klasse: Datum: Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A
Name: Klasse: Datum: Teil B Klassenarbeit Wachstumsvorgänge Kl10-Gruppe A 1. Gegeben ist die Exponentialfunktion y=f x = 0,5 x ; x R. (9P) a) Geben Sie die folgenden Eigenschaften dieser Funktion an! Wertebereich,