Physik für Biologen und Zahnmediziner
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- Guido Weiss
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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum : Noch mehr Funktionen Dr. Daniel Bick 18. Oktober 013 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
2 Inhalt 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen 6 Messfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober 013 / 74
3 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen 6 Messfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
4 Wiederholung Lineare Funktionen y f (x) = y = a x + b Steigung a = y x, y-achseabschnitt b y P y y 1 y 1 y = b P 1 x x 1 x 1 x x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
5 Wiederholung Parabel y y f (x) = a x x f (x) = x + c x a = 1 a = 0,5 a = a = 0,5 c = 0 c = 10 c = 0 c = 10 y f (x) = (x + d) = x + d x + d x d = 0 d = d = 4 d = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
6 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen 6 Messfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
7 Parabeln allgemein Quadratische Gleichung f (x) = a x + b x + c Wie finde ich den Scheitelpunkt S? f (x) = y = a (x x s ) + y s y = a x a x s x + a x s + y s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
8 Parabeln allgemein Quadratische Gleichung f (x) = a x + b x + c Wie finde ich den Scheitelpunkt S? f (x) = y = a (x x s ) + y s y = a x a x s x + a x s + y s Koeffizientenvergleich: b = a x s x s = b a c = a xs + y s y s = c a xs = c b 4a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
9 Scheitelpunktsform f (x) = y = a (x x s ) + y s Meistens ist aber gegeben: f (x) = a x + b x + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
10 Quadratische Ergänzung f (x) = a x + b x + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
11 Quadratische Ergänzung f (x) = a x + b x + c Ausklammern des Leitkoeffizienten f (x) = a (x + ba ) x + c Quadratische Ergänzung f (x) = a x + b ( b ( ) b a a) x+ a + c }{{} =0 Binomische Formel rückwärts f (x) = a ( x + b ) b a 4a + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
12 Beispiel Quadratische Ergänzung f (x) = x 4x + 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
13 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f (x) = x 1 x f (x) = y = x n = 1 x n f (x) = x x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
14 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f (x) = x 1 f (x) = y = x n = 1 x n x f (x) = x ,5-3 -0, , undefiniert 1 1 0,5 3 0,33 4 0, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74 x
15 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f (x) = x 1 f (x) = y = x n = 1 x n x f (x) = x ,5-3 -0, , undefiniert 1 1 0,5 3 0,33 4 0, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74 x
16 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f (x) = x 1 f (x) = y = x n = 1 x n x f (x) = x ,5-3 -0, , undefiniert Polstelle bei x = ,5 3 0,33 4 0, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74 x
17 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f (x) = x 1 f (x) = y = x n = 1 x n x f (x) = x ,5-3 -0, ,5 Asymptoten undefiniert Polstelle bei x = ,5 3 0,33 4 0, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74 x
18 Beispiel Hyperbel Gesetz von Boyle-Mariotte Gilt für abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur T mit Volumen V und Druck P P V 1 oder P = c/v mit Konstante c P [bar] V [m 3 ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
19 Beispiel Hyperbel Gesetz von Boyle-Mariotte Gilt für abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur T mit Volumen V und Druck P P V 1 oder P = c/v mit Konstante c P [bar] V [m 3 ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
20 Umkehrfunktionen Gegeben: y = f (x) Gesucht: Funktion, die zu jedem y-wert den zugehörigen x-wert liefert Definition: Diese Funktion heißt Umkrehfunktion f 1 : x = f 1 (y) x f (x) = y = x y x = f 1 (y) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
21 Graphische Folgen y x x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
22 Normalparabel und Umkehrung Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
23 Normalparabel und Umkehrung Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Funktion muss jedem x-wert eindeutig einen Funktionswert y zuordnen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
24 Normalparabel und Umkehrung Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Funktion muss jedem x-wert eindeutig einen Funktionswert y zuordnen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
25 Wurzeln Wurzel m x = x 1 m Umkehrfunktion zu einfachen Potenzen: f (x) = x m Rechenregeln wie bei Potenzen: ( x 1 m ) n = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
26 Wurzeln Wurzel m x = x 1 m Umkehrfunktion zu einfachen Potenzen: f (x) = x m Rechenregeln wie bei Potenzen: ( ) x 1 n n m = x m = m x n = ( m x ) n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
27 Beispiele: Rechnen mit Wurzeln ( ) 4 5 = ( ) 3 = a 3 a = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
28 Beispiele: Rechnen mit Wurzeln ( ) 4 ( ) 5 = = 5 = 5 = 5 ( ) 3 = 3 = 9 = 18 a 3 a = a 3 a 1 = a 4 = a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
29 Nullstellen einer Quadratischen Gleichung Nullstelle: f (x) = y = 0 f (x) = y = a x + b x + c = 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
30 Nullstellen einer Quadratischen Gleichung Nullstelle: f (x) = y = 0 Normierte Form: Teilen durch a f (x) = y = a x + b x + c = 0 Mit b a = p und c a = q: x + b a x + c a = 0 Lösung mit p-q-formel: x + p x + q = 0 x 1, = p ± (p ) q Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
31 Beispiel: Kanone auf Hügel Gegeben Höhe des Hügels h 0 = 00 m Startgeschwindigkeit in vertikaler Richtung v 0 = 00 m s h(t) = h 0 + v 0 t g t mit g = 9,81 m/s Wie lange fliegt die Kugel? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
32 Beispiel: Kanone auf Hügel Gegeben Höhe des Hügels h 0 = 00 m Startgeschwindigkeit in vertikaler Richtung v 0 = 00 m s Wie lange fliegt die Kugel? 3,000 h(t) = h 0 + v 0 t g t mit g = 9,81 m/s h 0 + v 0 t g t = 0 h [m],000 1, t [s] t v0 g t h0 g = 0 t 1/ = v (v0 ) 0 g ± + h0 g g t 1/ = (0,4 s ± 1,4 s) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
33 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f (x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
34 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f (x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
35 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f (x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: y c a = x n m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
36 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f (x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: y c a ( y c a = x n m ) m = x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
37 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f (x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: 4 Ziehen der nten Wurzel: y c a ( y c a n ( y c a = x n m ) m = x n ) m ( = y c ) m n a = x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
38 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f (x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: 4 Ziehen der nten Wurzel: y c a ( y c a n ( y c a = x n m ) m = x n ) m ( = y c ) m n a = x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
39 Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung s(t) = 0,5 a t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
40 Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Multiplikation mit : s(t) = 0,5 a t s = a t Division mit a: Ziehen der Quadratwurzel: s a = t t(s) = s a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
41 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen 6 Messfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober 013 / 74
42 Einheitskreis y 90 ϕ 60 R = x Kreis mit Radius R = 1 Winkel gegen den Uhrzeigersinn definiert (Rechtsdrehung) Eine Umdrehung: 360 Kreisumfang: U = πr Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
43 Einheitskreis π 5π 6 7π 6 π 3 π y ϕ π 3 R = 1 π 6 11π 6 0 x Kreis mit Radius R = 1 Winkel gegen den Uhrzeigersinn definiert (Rechtsdrehung) Eine Umdrehung: 360 Kreisumfang: U = πr 360 = π rad = π rad=radiant=bogenmaß Einheit rad wird weggelassen 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
44 Umrechnung Grad Bogenmaß α: Winkel in Grad ϕ: Winkel im Bogenmaß Es gilt: 360 = π Für den gleichen Winkel α = ϕ folgt also: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
45 Umrechnung Grad Bogenmaß Es gilt: α: Winkel in Grad ϕ: Winkel im Bogenmaß 360 = π Für den gleichen Winkel α = ϕ folgt also: α = ϕ α 360 = ϕ π α = ϕ π 360 = ϕ 180 π α 360 π = α π 180 = ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
46 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 0 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 11π 6 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
47 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 0 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 sin(0) = sin(π/) = sin(π) = sin(3π/) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
48 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 0 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 sin(0) = 0 sin(π/) = 1 sin(π) = 0 sin(3π/) = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
49 Graphen von Sinus sin(ϕ) 0 π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
50 Graphen von Sinus sin(ϕ) 0 π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
51 Sinus-Funktion mit Parametern - Amplitude Allgemeine Sinus-Funktion f (ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ 0 ) sin(ϕ) ϕ A = 1 A = A = 0,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
52 Sinus-Funktion mit Parametern - Amplitude Allgemeine Sinus-Funktion Amplitude: Höhe der Kurve Entspricht Radius bzw. Hypotenuse f (ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ 0 ) sin(ϕ) ϕ A = 1 A = A = 0,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
53 Sinus-Funktion mit Parametern - Phase Allgemeine Sinus-Funktion f (ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ 0 ) sin(ϕ) ϕ ϕ 0 = 0 ϕ 0 = 90 ϕ 0 = 30 ϕ 0 = 180 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
54 Sinus-Funktion mit Parametern - Phase Allgemeine Sinus-Funktion f (ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ 0 ) Phase: Verschiebung entlang x-achse sin(ϕ) ϕ ϕ 0 = 0 ϕ 0 = 90 ϕ 0 = 30 ϕ 0 = 180 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
55 Sinus-Funktion mit Parametern - Periode Allgemeine Sinus-Funktion f (ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ 0 ) sin(ϕ) ϕ c = 1 c = 3 c = 0,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
56 Sinus-Funktion mit Parametern - Periode Allgemeine Sinus-Funktion f (ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ 0 ) Periode P: Abstand zwischen zwei gleichen Kurvenpunkten, z.b. Maxima sin(ϕ) ϕ c = 1 c = 3 c = 0,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
57 Periode Normaler Sinus hat die Periode P = π Allgemeine Sinus-Funktion mit Periode P: ( ) π f (x) = A sin P ϕ + ϕ 0 Also c = π P bzw.: P = c π Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
58 Cosinus-Funktion 5π 6 π 3 π y π 3 π 6 sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) 0 x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 11π 6 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
59 Cosinus-Funktion 5π 6 π 3 π y π 3 π 6 sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) 0 x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 cos(0) = cos(π/) = cos(π) = cos(3π/) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
60 Cosinus-Funktion 5π 6 π 3 π y π 3 π 6 sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) 0 x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 cos(0) = 1 cos(π/) = 0 cos(π) = 1 cos(3π/) = 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
61 Graphen von Sinus und Cosinus 1 sin(ϕ) sin(ϕ) 0 π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
62 Graphen von Sinus und Cosinus 1 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) 0 π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
63 Graphen von Sinus und Cosinus 1 ϕ = π = 90 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) 0 π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
64 Graphen von Sinus und Cosinus 1 ϕ = π = 90 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) 0 π π 3π π ( cos(ϕ) = sin ϕ + π ) ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
65 Anwendung Sinus-Funktion Überlagerung von harmonischen Schwingungen t t t t t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
66 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen 6 Messfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
67 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f (x) = y = B x B nennt man Basis Beispiel: B = 10 x f (x) = 10 x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
68 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f (x) = y = B x B nennt man Basis Beispiel: B = 10 x f (x) = 10 x -4 0, ,001-0,01-1 0, y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
69 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f (x) = y = B x B nennt man Basis Extrem schnelles Wachstum! Exponentielles Wachstum Beispiel: B = 10 x f (x) = 10 x -4 0, ,001-0,01-1 0, y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
70 Größenordnungen Potenz Name Zeichen Potenz Name Zeichen 10 4 Yotta Y 10 1 Dezi d 10 1 Zetta Z 10 Zenti c Exa E 10 3 Milli m Peta P 10 6 Mikro µ 10 1 Tera T 10 9 Nano n 10 9 Giga G 10 1 Piko p 10 6 Mega M Femto f 10 3 Kilo k Atto a 10 Hekto h 10 1 Zepto z 10 1 Deka da 10 4 Yocto y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
71 Beispiele Größenordnungen Längen Weltall 10 6 m Galaxis 10 0 m Sonnensystem m Erde 10 7 m Mensch 10 0 m DNA 10 7 m Atom m Atomkern m Proton m Astronomie, Astrophysik Biologie, Biophysik, Medizin Atom- und Kernphysik Chemie Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
72 Beispiele Größenordnungen Zeiten Lebensdauer des Higgs-Bosons 10 s Schwingungsperiode von sichtbarem Licht s Laufzeit des Lichts durch das Auge (3 cm) s Taktzeit eines Pentiumprozessors 10 9 s Blitz beim Fotoapparat 10 5 s Nervenleitung (1 m) 10 s Kürzeste Reaktionszeit 10 1 s Konzentrationszeit s Studiendauer 1, s Lebensdauer eines Menschen s Unsere Milchstraße s Alter des Universums (15 Mrd Jahre) s Mittlere Lebensdauer eines Protons > s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
73 Beispiele Größenordnungen Gewicht Elektron kg Proton 10 7 kg Aminosäure 10 5 kg Hämoglobin 10 kg Virus 10 0 kg Salzkorn 10 8 kg Menschliches Haar 10 6 kg DIN A6 Blatt 10 3 kg Mensch 10 kg Großer LKW 10 4 kg Pyramide kg Sonne 10 4 kg Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
74 Exponentialfunktion mit verschiedener Basis e x-achse ist Asymptote Schneidet immer bei y = 1 y 4 Eulersche Zahl e, x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
75 Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f (x) = y = a B b(x x 0) + c y e x e 0,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e e x = exp(x) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
76 Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f (x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x 0) y e x e 0,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e e x = exp(x) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
77 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f (x) = y = a B b(x x 0) + c 4 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
78 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f (x) = y = a B b(x x 0) + c Negative b: exponentiell fallend (e x = 1/e x ) 4 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
79 Übersicht Exponentialfunktionen f (x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis Negative b exponentiell fallend Verschiebung entlang der x-achse :x 0 Verschiebung entlang der y-achse :c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
80 Beispiele: Exponentielles Wachstum Vermehrung von Bakterien Findet durch Zellteilung statt Im Mittel feste Periode Beispiel: Generationszeit von T G = 10 Minuten Teilungen Bakterien Zeit B(t) = B 0 t/t G Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
81 Wachstum von Bakterien Ideale Wachstumskurve einer statischen Bakterienkultur Quelle Wachstum Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
82 Beispiel: Radioaktiver Zerfall von Cäsium N(t) = N 0 e t τ 1 Zerfall von 137 Cs N/N Cs hat Halbwertszeit T 1/ = 30,17 a Üblicher: Lebensdauer τ t [Jahre] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
83 Beispiel: Strahlenbelastung Radioaktiver Zerfall Strahlenbelastung Quelle: I radiation, Fukushima Prefecture, March-April 011.png Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
84 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasand ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle Beispiel: Laden einen Kondensators, y 0.6 f (x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
85 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasand ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle Beispiel: Laden einen Kondensators, y 0.6 f (x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
86 Beispiel Sättigungsfunktion Sättigung der enzymatischen Reaktion Quelle Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
87 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen 6 Messfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
88 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? 10 x = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
89 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? 10 x = f (x) = 10 x x 0, , ,01-0, Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
90 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? f (x) = 10 x x 0, , ,01-0, x = x = 4 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
91 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? x f (x) = log 10 x 0, , ,01-0, y 10 x = x = 4 x = log 10 (10000) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
92 Logarithmus zur Basis 10 Wie oft muss man 10 mit sich selbst multiplizieren, um z.b zu erhalten? x f (x) = log 10 x 0, , ,01-0, y 10 x = x = 4 x = log 10 (10000) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
93 Logarithmus 10 x = x = log 10 (10000) = 4 x = 4: Anzahl der Nullen log 10 steht für Logarithmus zur Basis 10 Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit gleicher Basis Wächst extrem langsam Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
94 Logarithmus allgemein Gegeben b = a x mit a > 0 Lösung: Logarithmus von b zur Basis a x = log a b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
95 Logarithmus allgemein Gegeben b = a x mit a > 0 Lösung: Logarithmus von b zur Basis a x = log a b Besondere Basen: 10: log 10 b = lg b e: log e b = ln b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
96 Logarithmus mit unterschiedlicher Basis y 4 0 a = 10 a = e a = x y-achse ist Asymptote Schneidet x-achse bei x = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
97 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation Am Beispiel mit der Basis 10 Es sei A = 10 n und B = 10 m, dann gilt lg(a) = n und lg(b) = m und A = 10 lg(a) und B = 10 lg(b) Multiplikation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
98 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation Am Beispiel mit der Basis 10 Es sei A = 10 n und B = 10 m, dann gilt lg(a) = n und lg(b) = m und A = 10 lg(a) und B = 10 lg(b) Multiplikation A B = 10 n 10 m = 10 n+m = 10 lg(a)+lg(b) lg(a B) = lg(10 lg(a)+lg(b) ) = lg(a) + lg(b) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
99 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation log b (A B) = log b (A) + log b (B) Division Potenz Wurzel log b (A/B) = log b (A) log b (B) log b (A m ) = m log n (A) log b ( m A) = log b (A)/m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
100 Beispiele Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
101 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 10 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
102 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 10 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? A = e ln(a) 10 lg(a) = A = e ln(a) ln(10 lg(a) ) = ln(a) lg(a) ln(10) = ln(a) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
103 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 10 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? A = e ln(a) 10 lg(a) = A = e ln(a) ln(10 lg(a) ) = ln(a) lg(a) ln(10) = ln(a) Allgemein log b (x) = log b (g) log g (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
104 Wiederholung: Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f (x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x 0) e x e 0,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
105 Wiederholung: Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f (x) = y = a B b(x x 0) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x 0) 10 8 e x e 0,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e y x Um von einer beliebigen Basis B auf die Basis e zu kommen: B x = e ln(b) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
106 Logarithmisch geteilte Achsen Z.B. für die y-achse Trage jeden Messwert y an der Stelle lg(y) auf. 1 lg(1) = 0 10 lg(10) = lg(100) = lg() 0,3 5 lg(5) 0,7 1 lg(x) nur für positive x Darstellung nur für positive y-werte möglich 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
107 Beschriftung logarithmisch geteilter Achsen Verschiedene Beschriftungen möglich ,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
108 Einfach-logarithmisches Papier logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
109 Einfach-logarithmisches Papier x logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
110 Einfach-logarithmisches Papier e x x 3 logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
111 Logarithmische Graphen y x Beispiel 10 x : logarithmische Darstellung ergibt Gerade lg(y) y = 10 c x lg(y) = c x x Steigung = c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
112 Logarithmische Graphen y x Beispiel 10 x : logarithmische Darstellung ergibt Gerade Steigung = c lg(b) lg(y) y = 10 c x lg(y) = c x y = B c x lg(y) = c x lg(b) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
113 Logarithmische x-achse 10 y x Logarithmische Zusammenhänge y = log b (x n ) = log n (10) lg(x n ) = log n (10) n lg(x) Steigung: n log b (10) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
114 Logarithmische x-achse y = ln(x ) y = lg(x) Logarithmische Zusammenhänge y x y = log b (x n ) = log n (10) lg(x n ) = log n (10) n lg(x) Steigung: n log b (10) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
115 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
116 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
117 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) Analog zu linearer Funktion mit Steigung n y-achsenabschnitt lg(a) wenn man lg(y) gegen lg(x) aufträgt Vorsicht bei der Interpretation: es sind nur positive Werte dargestellt: lg(x) = 0 bei x = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
118 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) y = x y = 5 x Analog zu linearer Funktion mit Steigung n y-achsenabschnitt lg(a) wenn man lg(y) gegen lg(x) aufträgt Vorsicht bei der Interpretation: es sind nur positive Werte dargestellt: lg(x) = 0 bei x = y = 3 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
119 Beispiel Allometrie Messen und Vergleichen von Beziehungen zwischen der Körpergröße von Lebewesen und deren Verhältnis zu verschiedensten biologischen Größen Klassische Allometrieformel Quelle: y = a x b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
120 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen 6 Messfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
121 Ursachen für Messunsicherheiten/Fehler Systematische Fehler Falsche Eichung Fehlerhaftes Messgerät Nährungen Längenänderung durch Temperatur... Zufällige Fehler Ablesefehler statistische Schwankungen Spiel bei Mikrometerschraube... Zufällige Fehler lassen sich durch Wiederholung der Messung verringern! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
122 Messergebnisse Messergebnis = Messwert ± Fehler Absoluter Fehler Relativer Fehler L = (5,63 ± 0,05) m L = 5,63 m ± 0,9% Fehler = Zufallsfehler + systematischer Fehler L = (5,63 ± 0,03 (stat.) ± 0,04 (sys.)) m Der wahre Wert ist mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit im Fehlerintervall enthalten. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
123 Mittelwert Um zufällige Fehler zu verringern wird mehrfach gemessen. Wie erhält man nun die beste Schätzung für den wahren Wert? Arithmetisches Mittel Mittelwert µ = x = 1 N N i=1 = x 1 + x + x x n N Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
124 Standardabweichung Mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung Standardabweichung s = σ = 1 N (x i s) N 1 i=1 Fehler des Mittelwerts x = s N Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
125 Standardabweichung Je häufiger ich messe, desto kleiner wird der Fehler des Mittelwerts! Um Ihn zu halbieren brauche ich 4 mal so viele Messwerte! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74 Mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung Standardabweichung s = σ = 1 N (x i s) N 1 i=1 Fehler des Mittelwerts x = s N
126 Beispiel Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
127 Normalverteilung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
128 Normalverteilung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
129 Normalverteilung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
130 Raumwinkel Winkel in D: Öffnung zwischen zwei Geraden Raumwinkel Ω: räumliche Öfnungswinkel eines Kegels A: Durchstoßfläche des Kegels durch die Kugeloberfläche mit Radius r Ω = A r Einheit Steradiant (sr) Gesamter Raumwinkel: 4π Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober / 74
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