Physik für Biologen und Zahnmediziner

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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum 1: Grundlagen und Funktionen Dr. Daniel Bick 19. Oktober 2016 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

2 Oganisatorisches Aufteilung der Vorlesung Propädeutikum & Physik Teil 1 (19. Okt Dez.) Daniel Bick daniel.bick@desy.de Physik Teil 2 (ab 09. Dez.) Georg Steinbrück georg.steinbrueck@desy.de Folien zum Propädeutikum: Nach jeder Vorlesung über Stine abrufbar. Klausuren zum Praktikum (multiple choice): 1 Mathematische Einführung (20 Fragen) Physik (30 Fragen) wichtiger! Skript fürs Propädeutikum, Altklausuren, Übungen mit Lösungen: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

3 Literaturhinweise Haas: Physik für Pharmazeuten und Mediziner, Wiss. Verlagsges., 7. Auflage (2012), 49,80 e Harten: Physik für Mediziner, Springer-Lehrbuch, 14. Auflage (2014), 29,99 e Online lesbar im Universitätsnetz oder mit Stabi Ausweis Hellenthal: Physik für Mediziner und Biologen, Wiss. Verlagsges., 8. Auflage (2006), 29,80 e Trautwein, Kreibig, Hüttermann: Physik für Mediziner, Biologen, Pharmazeuten, de Gruyter-V., 7. Auflage (2008), 29,95 e Tritthart: Medizinische Physik und Biophysik, Schattauer-V., 2. Auflage (2011), 39,95 e Skript von Dr. Salehi: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

4 Propädeutikum Lehrstoff I Mathematische Hilfsmittel der Physik Funktionsbegriff Proportionalität und linearer Zusammenhang Funktionsgleichung einer Geraden, Graph Parabel Winkelfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

5 Propädeutikum Lehrstoff II Physikalische Grundlagen Physikalische Begriffe und Größen Basisgrößen, Basiseinheiten, SI-System Abgeleitete Größen und Einheiten Vorsilben Messungen, Darstellung von Messergebnissen Messfehler Fehlerrechnung Vektoren Differentialquotient Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

6 Inhalt 1 Einleitung 2 Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

7 Übersicht 1 Einleitung 2 Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

8 Einleitung Keine menschliche Forschung kann man wahre Wissenschaft heißen, wenn sie ihren Weg nicht durch die mathematische Darlegung und Beweisführung hin nimmt. Sagst du, die Wissenschaften, die vom Anfang bis zum Ende im Geist bleiben, hätten Wahrheit, so wird dies nicht zugestanden, sondern verneint aus vielen Gründen, und vornehmlich deshalb, weil bei solchem reingeistigen Abhandeln die Erfahrung (oder das Experiment) nicht vorkommt; ohne dies aber gibt sich kein Ding mit Sicherheit zu erkennen. Leonardo Da Vinci, Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben Galileo Galilei, Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

9 Titschenersche Täuschung Welcher der beiden orangenen Kreise ist größer? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

10 Titschenersche Täuschung Welcher der beiden orangenen Kreise ist größer? Beide sind gleich groß! Die Größe eines Objekts wird abhängig von seiner Umgebung wahrgenommen. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

11 Heringsche Täuschung Die beiden Linien sind parallel Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

12 Heringsche Täuschung Die beiden Linien sind parallel Durch das Strahlenbündel erscheinen sie gekrümmt Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

13 Escher Geometrien Paradoxe räumliche Eindrücke Auge/Gehirn ist 3D gewohnt versucht 2D so zu interpretieren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

14 Rotierende Kreise? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

15 Experimentelles Prinzip Fazit: Messgeräte unabdingbar, um Beobachtungen unabhängig von Sinneseindrücken zu machen (neutrale Beobachter) quantifizierbar reproduzierbar unbestechlich Um die Ergebnisse vergleichbar und bewertbar (Fehlerrechnung) zu machen, braucht man die Mathematik Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

16 Physikalische Arbeitsmethodik Induktive Methode: Beobachtung eines Vorgangs Experiment zur qualitativen und quantitativen Untersuchung des Vorgangs Modell zur Beschreibung des Vorgangs (und evtl. darüber hinaus) Gesetz (Verallgemeinerung auf ähnliche Fälle) Vorhersage neuer Phänomene Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

17 Übersicht 1 Einleitung 2 Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

18 Grundbegriffe des Messens Gesetze der Physik liefern Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen wie Länge, Zeit, Kraft,... Meist werden physikalische Größen mit Buchstaben abgekürzt, z.b. Zeit t, Länge L, Kraft F,... Eine physikalische Größe G ist ein Produkt aus Zahlenwert {G} und Einheit [G]: G = {G} [G] z.b. Zeit: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

19 Grundbegriffe des Messens Gesetze der Physik liefern Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen wie Länge, Zeit, Kraft,... Meist werden physikalische Größen mit Buchstaben abgekürzt, z.b. Zeit t, Länge L, Kraft F,... Eine physikalische Größe G ist ein Produkt aus Zahlenwert {G} und Einheit [G]: G = {G} [G] z.b. Zeit: t = 3,5 s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

20 Historische Einheiten Länge Häufig über menschl. Körper definiert Klafter, Elle, Fuß, Hand, Finger engl. Rute = Gerten 5,03 m Gewicht Pfund, Unze Nürnberger Apotheker-Pfund: 357,845 g 1 lb 1 lb = 12 Unzen = 96 Drachmen = 288 Skrupel = 576 Oboloi = 5760 Gran (1 : 12 : 8 : 3 : 2 : 10) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

21 Historische Einheiten Länge Häufig über menschl. Körper definiert Klafter, Elle, Fuß, Hand, Finger engl. Rute = Gerten 5,03 m Gewicht Pfund, Unze Nürnberger Apotheker-Pfund: 357,845 g 1 lb 1 lb = 12 Unzen = 96 Drachmen = 288 Skrupel = 576 Oboloi = 5760 Gran (1 : 12 : 8 : 3 : 2 : 10) Nachteile Sehr starke regionale oder individuelle Unterschiede Umständliche Umrechnung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

22 Einheiten heute Metrisches System Vielfache von 10,100,1000,... z.b.: 100 cm = 1 m 1000 g = 1 kg Ausnahme: Zeit 1 Sekunde 1 Minute 60 Sekunden 1 Stunde 60 Minuten 3600 Sekunden 1 Tag 24 Stunden 1440 Minuten Sekunden Regionale Ausnahmen: z.b. USA 1 mile 8 furlong 80 chain 1760 yard 5280 foot inches 1 yard 3 foot 36 inches 1 foot 12 inches Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

23 Système International d Unités Internationales Einheitensystem SI-Einheiten Basisgröße SI-Einheit Abkürzung Zeit Sekunde s Länge Meter m Masse Kilogramm kg Elektrische Stromstärke Ampere A Temperatur Kelvin K Stoffmenge Mol mol Lichtstärke Candela cd Alle anderen Einheiten können von diesen sieben Basiseinheiten ohne zusätzliche Faktoren abgeleitet werden Die Basisgrößen können beliebig aber möglichst zweckmäßig festgelegt werden Klafter, Elle, etc. ungeeignet, da nicht leicht reproduzierbar Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

24 Definition der SI-Einheiten I Meter m Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1/ Sekunde zurücklegt. Kilogramm kg Das Kilogramm ist gleich der Masse des internationalen Kilogrammprototyps. Sekunde s Das fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Cäsium-Isotops 133 Cs entsprechenden Strahlung. Ampere A Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, unendlich lange, geradlinige und im Vakuum im Abstand von 1 m voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern pro Meter Leiterlänge die Kraft N hervorrufen würde. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

25 Definition der SI-Einheiten II Kelvin K 1 / 273,16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts von Wasser genau definierter isotopischer Zusammensetzung. Mol mol Die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso viel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 12 Gramm des Kohlenstoff-Isotops 12 C in ungebundenem Zustand enthalten sind. Candela cd Die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz Hz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1 / 683 Watt pro Steradiant beträgt. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

26 Beispiel kg Willkürliche Definition des Kilogramms: kg wird noch durch Referenzkörper definiert Urkilogramm: Platin-Iridium-Zylinder in Paris Ca. 80 Kopien in anderen Ländern Mögliche Neudefinition: BIPM: Bureau International des Poids et Mesures Deutschland: Physikalisch Technische Bundesanstalt Problem: Die Masse nimmt ab! Bisher ca. 50 µg (Reinigung?) Perfekte Kugel aus Silizium-28-Einkristall mit 9,38 cm Radius Weniger als 30 nm Abweichung Entspricht Erde mit kleinster Erhebung von 1,82 m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

27 Abgeleitete Größen Einheiten bzw. Größen, die sich auf SI-Einheiten bzw. Basisgrößen zurückführen lassen Zusammenhang folgt aus Naturgesetzen Wichtig: Einheiten sind Teil der Gleichungen Einheitentest als hilfreiche Kontrolle Beispiel Geschwindigkeit = Weg(intervall) Zeit(intervall) [v] = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

28 Abgeleitete Größen Einheiten bzw. Größen, die sich auf SI-Einheiten bzw. Basisgrößen zurückführen lassen Zusammenhang folgt aus Naturgesetzen Wichtig: Einheiten sind Teil der Gleichungen Einheitentest als hilfreiche Kontrolle Beispiel Geschwindigkeit = Weg(intervall) Zeit(intervall) [v] = [ s] [ t] = m s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

29 Beispiele für abgeleitete Größen Größe Berechnung Einheit Fläche A = Länge Breite m 2 Winkel Raumwinkel ϕ = Bogen Ω = Radius Fläche des Kugelausschnitts Quadrat des Kugelradius m m = rad m 2 m 2 1 = sr 1 Frequenz f = ν = Perieodendauer s = Hz Geschwindigkeit v = Wegintervall m Zeitintervall s Beschleunigung a = Geschwindigkeitsänderung m Zeitintervall s 2 Kraft F = Masse Beschleunigung kg m s 2 Arbeit, Energie W = E = Kraft Weg kg m2 s 2 Leistung P = Arbeit Zeitintervall kg m2 s 3 = N = J = W Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

30 Beispiele: Umrechnen von Größen Würfel mit Kantenlänge l = 10 cm Volumen: V = l 3 V = 10 cm 10 cm 10 cm = 1000 cm 3 Geschwindigkeit v eines Fahrrades v = 5 m s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

31 Beispiele: Umrechnen von Größen Würfel mit Kantenlänge l = 10 cm Volumen: V = l 3 V = 10 cm 10 cm 10 cm = 1000 cm 3 = 0,1 m 0,1 m 0,1 m = 0,001 m 3 Geschwindigkeit v eines Fahrrades v = 5 m s 1/1000 km = 5 1/3600 h 3600 km = h = 5 3,6 km h = 18 km h Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

32 Auswertung eines Experiments Einfachster Fall: 2 Messgrößen Z.B.: Zeit t und zurückgelegte Strecke s Häufig: experimenteller Parameter (t) und Observable (s) Beispiel: Bewegung mit v = 1,2 m/s Darstellung: Wertetabelle Zeit [s] Weg [m] y = Weg [m] Graph x = Zeit [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

33 Auswertung eines Experiments Einfachster Fall: 2 Messgrößen Z.B.: Zeit t und zurückgelegte Strecke s Häufig: experimenteller Parameter (t) und Observable (s) Beispiel: Bewegung mit v = 1,2 m/s Darstellung: Wertetabelle Zeit [s] Weg [m] ,2 2 2,4 3 3,6 4 4, y = Weg [m] Graph x = Zeit [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

34 Analytische Beschreibung Graphen lassen sich durch Kurven beschreiben Einfachster Fall: Gerade Kurven werden durch Funktionen f beschrieben: y = f(x) 8 6 y = Weg [m] x = Zeit [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

35 Analytische Beschreibung Graphen lassen sich durch Kurven beschreiben Einfachster Fall: Gerade Kurven werden durch Funktionen f beschrieben: y = f(x) Gerade: f(x) = a x Hier: s(t) = v t y = Weg [m] x = Zeit [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

36 Analytische Beschreibung Graphen lassen sich durch Kurven beschreiben Einfachster Fall: Gerade Kurven werden durch Funktionen f beschrieben: y = f(x) Gerade: 8 f(x) = a x Hier: y = Weg [m] 6 4 z.b. s(5 s) = 6 m s(t) = v t x = Zeit [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

37 Analytische Beschreibung Graphen lassen sich durch Kurven beschreiben Einfachster Fall: Gerade Kurven werden durch Funktionen f beschrieben: y = f(x) Gerade: f(x) = a x Hier: s(t) = v t y = Weg [m] Ausgleichsgerade x = Zeit [s] Bei einem Experiment nie einfach die Punkte des Graphens aller Messwerte verbinden, sondern interpolieren und so die Ausgleichsgerade finden! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

38 Übersicht 1 Einleitung 2 Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

39 Der Funktionsbegriff Definition: Eine Funktion ist eine Relation zwischen zwei Mengen D und W, in der jedem Element aus D ein Bestimmtes Element aus W zugeordnet ist. D=Definitionsmenge W =Wertemenge Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

40 Lineare Funktion Allgemeine Geradengleichung f(x) = y = a x + b b: y-achsenabschnitt (f(0) = b) Sonderfall: b = 0 Proportionalität y x a: Proportionalitätsfaktor Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

41 Steigung einer Geraden Definition der Steigung: y x Für eine Gerade: a = y 2 y 1 x 2 x 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

42 Steigung einer Geraden Definition der Steigung: y x Beweis: Für eine Gerade: a = y 2 y 1 x 2 x 1 y 2 y 1 = a x 2 + b (a x 1 + b) x 2 x 1 x 2 x 1 = a x 2 + b a x 1 b x 2 x 1 = a (x 2 x 1 ) = a x 2 x 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

43 Steigung eine Geraden Steigung a = y x y a = y 2 y 1 x 2 x 1 Zwei Punkte reichen zur Bestimmung y 2 P 2 y 2 y 1 y 1 P 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

44 Beispiel: Geschwindigkeit Geschwindigkeit = s [m] Zurückgelegter Weg Benötigte Zeit v = s t Einheiten:[v] = [s] [t] = m s s 2 s 2 s 1 s 1 t 2 t 1 t 1 t 2 t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

45 Geraden unterschiedlicher Steigung y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

46 Negative Steigung y x 1 x 2 x y 1 P 1 y 2 y 1 y 2 x 2 x 1 P 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

47 Parallele Geraden y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

48 y-achsenabschnitt y Schnittpunkt mit der y-achse P y = f(0) = a 0 + b = b P y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

49 y-achsenabschnitt y Schnittpunkt mit der y-achse P y = f(0) = a 0 + b = b P y b x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

50 Beispiele für lineare Zusammenhänge Ohmsches Gestez: U = R I Stromkosten: Grundgebühr + Verbrauch Gleichförmig verzögerte Bewegung U [V] Preis [e] v [m/s] I [A] Verbrauch [kwh] t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

51 Beispiele für lineare Zusammenhänge Ohmsches Gestez: U = R I Stromkosten: Grundgebühr + Verbrauch Gleichförmig verzögerte Bewegung U [V] Preis [e] v [m/s] I [A] Verbrauch [kwh] t [s] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

52 Übersicht 1 Einleitung 2 Mathematische Grundlagen 3 Lineare Funktionen 4 Potenzfunktionen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

53 Potenzieren Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst z.b.: x x = x 2 2. Potenz von x 0. Potenz: x 0 = 1 1. Potenz: x = x 1 2. Potenz: x x = x 2 3. Potenz: x x x = x 3 n. Potenz: x } x {{... x} = x n n n nennt man Exponent oder Hochzahl Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

54 Negative Potenzen Überlegung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

55 Negative Potenzen Überlegung x n x = x n+1 x n x 1 x = xn+1 1 x x n = x n+1 1 x 1 x = x 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

56 Negative Potenzen Überlegung x n x = x n+1 x n x 1 x = xn+1 1 x x n = x n+1 1 x 1 x = x 1 x 0 = x n n = x n x n = xn x n = 1 x 0 = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

57 Rechnen mit Potenzen Produkt x n x m = (x} x {{... x} ) (x} x {{... x} ) = x n+m n m Quotient Potenz x n x m = 1 xn x m = xn x m = x n m (x n ) m = (x} x {{... x} )... (x} x {{... x} ) = x n m } n {{ n } m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

58 Beispiele: Rechnen mit Potenzen ( 1) 6 = (1/10) 4 = 0,1 5 = = a 5 a 2 /a 4 = (a/b 2 ) 3 (b 2 /a) 3 = a 2 a 3 a 4 = (a 1 b 5 ) 2 = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

59 Beispiele: Rechnen mit Potenzen ( 1) 6 = (( 1) 2 ) 3 = 1 3 = 1 (1/10) 4 = (10 1 ) 4 = 10 4 = 1/10 4 = 0,0001 0,1 5 = (1/10) 5 = 0, = = = = 2 3 ( ) = 8 ( 1) = 8 a 5 a 2 /a 4 = a (5+2 4) = a 3 (a/b 2 ) 3 (b 2 /a) 3 = a 3 b 6 b 6 a 3 = a 0 b 0 = 1 a 2 a 3 a 4 = a = a 1 = 1/a (a 1 b 5 ) 2 = a 1 2 b 5 2 = a 2 b 10 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

60 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion 2. Grades: f(x) = y = x 2 0. Grades: f(x) = a x 0 1. Grades: f(x) = a x 1 2. Grades: f(x) = a x 2 3. Grades: f(x) = a x 3 n. Grades: f(x) = a x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

61 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion 2. Grades: f(x) = y = x 2 0. Grades: f(x) = a x 0 1. Grades: f(x) = a x 1 + b 2. Grades: f(x) = a x 2 + b x + c 3. Grades: f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d n. Grades: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

62 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion 2. Grades: f(x) = y = x 2 0. Grades: f(x) = a x 0 1. Grades: f(x) = a x 1 + b 2. Grades: f(x) = a x 2 + b x + c Quadratische Gleichung 3. Grades: f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d n. Grades: f(x) = a n x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

63 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = 0 f(x) = y = x 2 x f(x) = x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

64 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = 0 f(x) = y = x 2 18 x f(x) = x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63 x

65 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = 0 f(x) = y = x 2 18 x f(x) = x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63 x

66 Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung f(x) = a x 2 y x x x = ( x) ( x) = x 2 nur positive Werte f( x) = f(x) symmetrisch zur y-achse f(0) = 0 Scheitelpunkt im Ursprung a = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

67 Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung f(x) = a x 2 y x x x = ( x) ( x) = x 2 nur positive Werte f( x) = f(x) symmetrisch zur y-achse f(0) = 0 Scheitelpunkt im Ursprung a = 1 a = 0,5 a = 2 a = 0,25 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

68 Verschieben in y-richtung Scheitelpunkt bei y s = c f(x) = x 2 + c y x c = 0 c = 10 c = 20 c = 10 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

69 Verschieben in x-richtung f(x) = (x + d) 2 1. Binomische Formel: (x + d) 2 = x 2 + 2d x + d 2 Scheitelpunkt bei x s = d y x d = 0 d = 2 d = 4 d = 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

70 Parabeln allgemein Quadratische Gleichung f(x) = a x 2 + b x + c Wie finde ich den Scheitelpunkt S? f(x) = y = a (x x s ) 2 + y s y = a x 2 2a x s x + a x 2 s + y s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

71 Parabeln allgemein Quadratische Gleichung f(x) = a x 2 + b x + c Wie finde ich den Scheitelpunkt S? f(x) = y = a (x x s ) 2 + y s y = a x 2 2a x s x + a x 2 s + y s Koeffizientenvergleich: b = 2a x s x s = b 2a c = a x 2 s + y s y s = c a x 2 s = c b2 4a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

72 Scheitelpunktsform f(x) = y = a (x x s ) 2 + y s Meistens ist aber gegeben: f(x) = a x 2 + b x + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

73 Quadratische Ergänzung f(x) = a x 2 + b x + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

74 Quadratische Ergänzung f(x) = a x 2 + b x + c Ausklammern des Leitkoeffizienten f(x) = a (x 2 + ba ) x + c Quadratische Ergänzung f(x) = a x2 + b ( b a x+ 2a Binomische Formel rückwärts f(x) = a ) 2 ( b 2a ) 2 } {{ } =0 ( x + b ) 2 b2 2a 4a + c + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

75 Beispiel Quadratische Ergänzung f(x) = x 2 4x + 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

76 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 x f(x) = y = x n = 1 x n f(x) = x x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

77 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x , , , undefiniert ,5 3 0,33 4 0, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63 x

78 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x , , , undefiniert ,5 3 0,33 4 0, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63 x

79 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x , , , undefiniert Polstelle bei x = ,5 3 0,33 4 0, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63 x

80 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x , , ,5 2 Asymptoten undefiniert Polstelle bei x = ,5 3 0,33 4 0, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63 x

81 Beispiel Hyperbel Gesetz von Boyle-Mariotte: Gilt für abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur T mit Volumen V und Druck P P V 1 oder P = c/v mit Konstante c P [bar] V [m 3 ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

82 Beispiel Hyperbel Gesetz von Boyle-Mariotte: Gilt für abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur T mit Volumen V und Druck P P V 1 oder P = c/v mit Konstante c P [bar] V [m 3 ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

83 Nullstellen einer Quadratischen Gleichung Nullstelle: f(x) = y = 0 f(x) = y = a x 2 + b x + c = 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

84 Nullstellen einer Quadratischen Gleichung Nullstelle: f(x) = y = 0 Normierte Form: Teilen durch a f(x) = y = a x 2 + b x + c = 0 Mit b a = p und c a = q: x 2 + b a x + c a = 0 Lösung mit p-q-formel: x 2 + p x + q = 0 x 1,2 = p 2 ± (p 2) 2 q Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

85 Beispiel: Kanone auf Hügel Gegeben Höhe des Hügels h 0 = 200 m Startgeschwindigkeit in vertikaler Richtung v 0 = 200 m s h(t) = h 0 + v 0 t g t2 2 mit g = 9,81 m/s 2 Wie lange fliegt die Kugel? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

86 Beispiel: Kanone auf Hügel Gegeben Höhe des Hügels h 0 = 200 m Startgeschwindigkeit in vertikaler Richtung v 0 = 200 m s Wie lange fliegt die Kugel? 3,000 h(t) = h 0 + v 0 t g t2 2 mit g = 9,81 m/s 2 h 0 + v 0 t g t2 2 = 0 h [m] 2,000 1, t [s] t 2 2 v0 g t 2 h0 g = 0 t 1/2 = v (v0 ) 2 0 g ± + 2 h0 g g t 1/2 = (20,4 s ± 21,4 s) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

87 Umkehrfunktionen Gegeben: y = f(x) Gesucht: Funktion, die zu jedem y-wert den zugehörigen x-wert liefert Definition: Diese Funktion heißt Umkehrfunktion f 1 : x = f 1 (y) x f(x) = y = x y x = f 1 (y) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

88 Graphische Folgen y x x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

89 Normalparabel und Umkehrung Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

90 Normalparabel und Umkehrung Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Funktion muss jedem x-wert eindeutig einen Funktionswert y zuordnen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

91 Normalparabel und Umkehrung Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Funktion muss jedem x-wert eindeutig einen Funktionswert y zuordnen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

92 Wurzeln Wurzel m x = x 1 m Umkehrfunktion zu einfachen Potenzen: f(x) = x m Rechenregeln wie bei Potenzen: ( x 1 m ) n = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

93 Wurzeln Wurzel m x = x 1 m Umkehrfunktion zu einfachen Potenzen: f(x) = x m Rechenregeln wie bei Potenzen: ( ) x 1 n n m = x m = m x n = ( m x ) n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

94 Beispiele: Rechnen mit Wurzeln ( ) 4 5 = ( 2) 2 3 = a 3 2 a = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

95 Beispiele: Rechnen mit Wurzeln ( ) 4 ( ) 5 = = 5 2 = 5 2 = 25 ( 2) 2 3 = = 9 2 = 18 a 3 2 a = a 3 2 a 1 2 = a 4 2 = a 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

96 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

97 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

98 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m 2 Division durch a: y c a = x n m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

99 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m 2 Division durch a: 3 Potenzieren mit m: y c a ( y c a = x n m ) m = x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

100 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m 2 Division durch a: 3 Potenzieren mit m: 4 Ziehen der nten Wurzel: y c a ( y c a = x n m ) m = x n n ( y c a ) m ( = y c ) m n a = x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

101 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m 2 Division durch a: 3 Potenzieren mit m: 4 Ziehen der nten Wurzel: y c a ( y c a = x n m ) m = x n n ( y c a ) m ( = y c ) m n a = x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

102 Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung s(t) = 0,5 a t 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63

103 Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Multiplikation mit 2: s(t) = 0,5 a t 2 2 s = a t 2 Division mit a: Ziehen der Quadratwurzel: 2 s a = t2 t(s) = 2 s a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 19. Oktober / 63