Physik für Biologen und Zahnmediziner
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- Christoph Beutel
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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum : Noch mehr Funktionen Dr. Daniel Bick 17. Oktober 14 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 1 / 71
2 Inhalt 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 / 71
3 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 3 / 71
4 Wiederholung: Lineare Funktionen y f(x) = y = a x + b Steigung a = y x, y-achseabschnitt b y P y y 1 y 1 y = b P 1 x x 1 x 1 x x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 4 / 71
5 Wiederholung: Potenzieren Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst z.b.: x x = x. Potenz von x. Potenz: x = 1 1. Potenz: x = x 1. Potenz: x x = x 3. Potenz: x x x = x 3 n. Potenz: x } x {{... x} = x n n n nennt man Exponent oder Hochzahl Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 5 / 71
6 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 6 / 71
7 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion. Grades: f(x) = y = x. Grades: f(x) = a x 1. Grades: f(x) = a x 1. Grades: f(x) = a x 3. Grades: f(x) = a x 3 n. Grades: f(x) = a x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 7 / 71
8 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion. Grades: f(x) = y = x. Grades: f(x) = a x 1. Grades: f(x) = a x 1 + b. Grades: f(x) = a x + b x + c 3. Grades: f(x) = a x 3 + b x + c x + d n. Grades: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 7 / 71
9 Potenzfunktionen Funktionen, in denen nur Potenzen vorkommen Beispiel: Potenzfunktion. Grades: f(x) = y = x. Grades: f(x) = a x 1. Grades: f(x) = a x 1 + b. Grades: f(x) = a x + b x + c Quadratische Gleichung 3. Grades: f(x) = a x 3 + b x + c x + d n. Grades: f(x) = a n x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 7 / 71
10 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = f(x) = y = x x f(x) = x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 8 / 71
11 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = f(x) = y = x 18 x f(x) = x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 8 / 71 x
12 Normalparabel Spezialfall der allgemeinen quadratischen Gleichung mit a = 1 und b = c = f(x) = y = x 18 x f(x) = x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 8 / 71 x
13 Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung f(x) = a x y x x x = ( x) ( x) = x nur positive Werte f( x) = f(x) symmetrisch zur y-achse f() = Scheitelpunkt im Ursprung a = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 9 / 71
14 Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung f(x) = a x y x x x = ( x) ( x) = x nur positive Werte f( x) = f(x) symmetrisch zur y-achse f() = Scheitelpunkt im Ursprung a = 1 a =,5 a = a =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 9 / 71
15 Verschieben in y-richtung Scheitelpunkt bei y s = c f(x) = x + c y x c = c = 1 c = c = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 1 / 71
16 Verschieben in x-richtung f(x) = (x + d) 1. Binomische Formel: (x + d) = x + d x + d Scheitelpunkt bei x s = d y x d = d = d = 4 d = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
17 Parabeln allgemein Quadratische Gleichung f(x) = a x + b x + c Wie finde ich den Scheitelpunkt S? f(x) = y = a (x x s ) + y s y = a x a x s x + a x s + y s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 1 / 71
18 Parabeln allgemein Quadratische Gleichung f(x) = a x + b x + c Wie finde ich den Scheitelpunkt S? f(x) = y = a (x x s ) + y s y = a x a x s x + a x s + y s Koeffizientenvergleich: b = a x s x s = b a c = a x s + y s y s = c a x s = c b 4a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 1 / 71
19 Scheitelpunktsform f(x) = y = a (x x s ) + y s Meistens ist aber gegeben: f(x) = a x + b x + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
20 Quadratische Ergänzung f(x) = a x + b x + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
21 Quadratische Ergänzung f(x) = a x + b x + c Ausklammern des Leitkoeffizienten f(x) = a (x + ba ) x + c Quadratische Ergänzung f(x) = a x + b ( b a x+ a Binomische Formel rückwärts f(x) = a ) ( b a ) } {{ } = ( x + b ) b a 4a + c + c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
22 Beispiel Quadratische Ergänzung f(x) = x 4x + 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
23 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 x f(x) = y = x n = 1 x n f(x) = x x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
24 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x 1-4 -,5-3 -,33 - -, undefiniert 1 1,5 3,33 4, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71 x
25 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x 1-4 -,5-3 -,33 - -, undefiniert 1 1,5 3,33 4, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71 x
26 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x 1-4 -,5-3 -,33 - -, undefiniert Polstelle bei x = 1 1,5 3,33 4, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71 x
27 Funktionen mit negativen Potenzen Negativen Potenz Kehrwert Beispiel Hyperbel f(x) = x 1 f(x) = y = x n = 1 x n x f(x) = x 1-4 -,5-3 -,33 - -,5 Asymptoten -1-1 undefiniert Polstelle bei x = 1 1,5 3,33 4, y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71 x
28 Beispiel Hyperbel Gesetz von Boyle-Mariotte Gilt für abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur T mit Volumen V und Druck P P V 1 oder P = c/v mit Konstante c P [bar] V [m 3 ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
29 Beispiel Hyperbel Gesetz von Boyle-Mariotte Gilt für abgeschlossene Gasmenge bei konstanter Temperatur T mit Volumen V und Druck P P V 1 oder P = c/v mit Konstante c P [bar] V [m 3 ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
30 Umkehrfunktionen Gegeben: y = f(x) Gesucht: Funktion, die zu jedem y-wert den zugehörigen x-wert liefert Definition: Diese Funktion heißt Umkrehfunktion f 1 : x = f 1 (y) x f(x) = y = x y x = f 1 (y) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
31 Graphische Folgen y x x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
32 Normalparabel und Umkehrung 5 15 Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 / 71
33 Normalparabel und Umkehrung 5 15 Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Funktion muss jedem x-wert eindeutig einen Funktionswert y zuordnen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 / 71
34 Normalparabel und Umkehrung 5 15 Graphische Folge: Spiegelung an der Diagonalen x y Funktion muss jedem x-wert eindeutig einen Funktionswert y zuordnen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 / 71
35 Wurzeln Wurzel m x = x 1 m Umkehrfunktion zu einfachen Potenzen: f(x) = x m Rechenregeln wie bei Potenzen: ( x 1 m ) n = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 1 / 71
36 Wurzeln Wurzel m x = x 1 m Umkehrfunktion zu einfachen Potenzen: f(x) = x m Rechenregeln wie bei Potenzen: ( ) x 1 n n m = x m = m x n = ( m x ) n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 1 / 71
37 Beispiele: Rechnen mit Wurzeln ( ) 4 5 = ( ) 3 = a 3 a = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 / 71
38 Beispiele: Rechnen mit Wurzeln ( ) 4 ( ) 5 = = 5 = 5 = 5 ( ) 3 = 3 = 9 = 18 a 3 a = a 3 a 1 = a 4 = a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 / 71
39 Nullstellen einer Quadratischen Gleichung Nullstelle: f(x) = y = f(x) = y = a x + b x + c = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 3 / 71
40 Nullstellen einer Quadratischen Gleichung Nullstelle: f(x) = y = Normierte Form: Teilen durch a f(x) = y = a x + b x + c = Mit b a = p und c a = q: x + b a x + c a = Lösung mit p-q-formel: x + p x + q = x 1, = p ± (p ) q Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 3 / 71
41 Beispiel: Kanone auf Hügel Gegeben Höhe des Hügels h = m Startgeschwindigkeit in vertikaler Richtung v = m s h(t) = h + v t g t mit g = 9,81 m/s Wie lange fliegt die Kugel? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 4 / 71
42 Beispiel: Kanone auf Hügel Gegeben Höhe des Hügels h = m Startgeschwindigkeit in vertikaler Richtung v = m s Wie lange fliegt die Kugel? 3, h(t) = h + v t g t mit g = 9,81 m/s h + v t g t = h [m], 1, t [s] t v g t h g = t 1/ = v (v ) g ± + h g g t 1/ = (,4 s ± 1,4 s) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 4 / 71
43 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 5 / 71
44 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 5 / 71
45 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: y c a = x n m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 5 / 71
46 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: y c a ( y c a = x n m ) m = x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 5 / 71
47 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: 4 Ziehen der nten Wurzel: y c a ( y c a = x n m ) m = x n n ( y c a ) m ( = y c ) m n a = x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 5 / 71
48 Termumformungen Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, muss die Funktionsgleichung y = f(x) auf die Form x = f 1 (y) umgeformt werden Auf der einen Seite der Gleichung steht nur noch x Auf der anderen Seite darf x nicht mehr vorkommen y = a x n m + c Gleichzeitige Rechenoperationen (Umkehroperationen) auf beiden Seiten: 1 Subtraktion von c: y c = a x n m Division durch a: 3 Potenzieren mit m: 4 Ziehen der nten Wurzel: y c a ( y c a = x n m ) m = x n n ( y c a ) m ( = y c ) m n a = x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 5 / 71
49 Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung s(t) =,5 a t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 6 / 71
50 Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Multiplikation mit : s(t) =,5 a t s = a t Division mit a: Ziehen der Quadratwurzel: s a = t t(s) = s a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 6 / 71
51 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 7 / 71
52 Einheitskreis y 9 ϕ 6 R = 1 3 x Kreis mit Radius R = 1 Winkel gegen den Uhrzeigersinn definiert (Rechtsdrehung) Eine Umdrehung: 36 Kreisumfang: U = πr Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 8 / 71
53 Einheitskreis π 5π 6 7π 6 π 3 π y ϕ π 3 R = 1 π 6 11π 6 x Kreis mit Radius R = 1 Winkel gegen den Uhrzeigersinn definiert (Rechtsdrehung) Eine Umdrehung: 36 Kreisumfang: U = πr 36 = π rad = π rad=radiant=bogenmaß Einheit rad wird weggelassen 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 8 / 71
54 Umrechnung Grad Bogenmaß α: Winkel in Grad ϕ: Winkel im Bogenmaß Es gilt: 36 = π Für den gleichen Winkel α = ϕ folgt also: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 9 / 71
55 Umrechnung Grad Bogenmaß Es gilt: α: Winkel in Grad ϕ: Winkel im Bogenmaß 36 = π Für den gleichen Winkel α = ϕ folgt also: α = ϕ α 36 = ϕ π α = ϕ π 36 = ϕ 18 π α 36 π = α π 18 = ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 9 / 71
56 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 11π 6 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 3 / 71
57 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 sin() = sin(π/) = sin(π) = sin(3π/) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 3 / 71
58 Sinus-Funktion π 5π 6 π 3 sin(ϕ) π y ϕ π 3 R = 1 π 6 x sin(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die y-achse Gegenkathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: sin(ϕ) = Gegenkathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 sin() = sin(π/) = 1 sin(π) = sin(3π/) = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 3 / 71
59 Graphen von Sinus 1.5 sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
60 Graphen von Sinus 1.5 sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
61 Sinus-Funktion mit Parametern - Amplitude Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) sin(ϕ) ϕ A = 1 A = A =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 3 / 71
62 Sinus-Funktion mit Parametern - Amplitude Allgemeine Sinus-Funktion Amplitude: Höhe der Kurve Entspricht Radius bzw. Hypotenuse f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) sin(ϕ) ϕ A = 1 A = A =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 3 / 71
63 Sinus-Funktion mit Parametern - Phase Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) sin(ϕ) ϕ ϕ = ϕ = 9 ϕ = 3 ϕ = 18 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
64 Sinus-Funktion mit Parametern - Phase Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) Phase: Verschiebung entlang x-achse sin(ϕ) ϕ ϕ = ϕ = 9 ϕ = 3 ϕ = 18 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
65 Sinus-Funktion mit Parametern - Periode Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) sin(ϕ) ϕ c = 1 c = 3 c =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
66 Sinus-Funktion mit Parametern - Periode Allgemeine Sinus-Funktion f(ϕ) = A sin(c ϕ + ϕ ) Periode P : Abstand zwischen zwei gleichen Kurvenpunkten, z.b. Maxima sin(ϕ) ϕ c = 1 c = 3 c =,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
67 Periode Normaler Sinus hat die Periode P = π Allgemeine Sinus-Funktion mit Periode P : ( ) π f(x) = A sin P ϕ + ϕ Also c = π P bzw.: P = π c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
68 Cosinus-Funktion 5π 6 π 3 π y π 3 π 6 cos(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 11π 6 4π 3 3π 5π 3 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
69 Cosinus-Funktion 5π 6 π 3 π y π 3 π 6 cos(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 cos() = cos(π/) = cos(π) = cos(3π/) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
70 Cosinus-Funktion 5π 6 π 3 π y π 3 π 6 cos(ϕ): Projektion des Einheitsvektors auf die x-achse Ankathete des Dreiecks aus Einheitsvektor und x-achse In beliebigem rechtwinkligen Dreieck gilt: π ϕ cos(ϕ) x cos(ϕ) = Ankathete Hypotenuse 7π 6 4π 3 3π 5π 3 11π 6 cos() = 1 cos(π/) = cos(π) = 1 cos(3π/) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
71 Graphen von Sinus und Cosinus 1 sin(ϕ) sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
72 Graphen von Sinus und Cosinus 1 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
73 Graphen von Sinus und Cosinus 1 ϕ = π = 9 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) π π 3π π ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
74 Graphen von Sinus und Cosinus 1 ϕ = π = 9 sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) π π 3π π ( cos(ϕ) = sin ϕ + π ) ϕ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
75 Anwendung Sinus-Funktion Überlagerung von harmonischen Schwingungen t t t t t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
76 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
77 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f(x) = y = B x B nennt man Basis Beispiel: B = 1 x f(x) = 1 x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 4 / 71
78 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f(x) = y = B x B nennt man Basis Beispiel: B = 1 x f(x) = 1 x -4,1-3,1 -,1-1, y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 4 / 71
79 Exponentialfunktionen Variabler Exponent f(x) = y = B x B nennt man Basis Extrem schnelles Wachstum! Exponentielles Wachstum Beispiel: B = 1 x f(x) = 1 x -4,1-3,1 -,1-1, y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 4 / 71
80 Größenordnungen Potenz Name Zeichen Potenz Name Zeichen 1 4 Yotta Y 1 1 Dezi d 1 1 Zetta Z 1 Zenti c 1 18 Exa E 1 3 Milli m 1 15 Peta P 1 6 Mikro µ 1 1 Tera T 1 9 Nano n 1 9 Giga G 1 1 Piko p 1 6 Mega M 1 15 Femto f 1 3 Kilo k 1 18 Atto a 1 Hekto h 1 1 Zepto z 1 1 Deka da 1 4 Yocto y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
81 Beispiele Größenordnungen Längen Weltall 1 6 m Galaxis 1 m Sonnensystem 1 14 m Erde 1 7 m Mensch 1 m DNA 1 7 m Atom 1 1 m Atomkern 1 14 m Proton 1 15 m Astronomie, Astrophysik Biologie, Biophysik, Medizin Atom- und Kernphysik Chemie Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 4 / 71
82 Beispiele Größenordnungen Zeiten Lebensdauer des Higgs-Bosons 1 s Schwingungsperiode von sichtbarem Licht 1 15 s Laufzeit des Lichts durch das Auge (3 cm) 1 1 s Taktzeit eines Pentiumprozessors 1 9 s Blitz beim Fotoapparat 1 5 s Nervenleitung (1 m) 1 s Kürzeste Reaktionszeit 1 1 s Konzentrationszeit s Studiendauer 1,6 1 8 s Lebensdauer eines Menschen s Unsere Milchstraße s Alter des Universums (15 Mrd Jahre) s Mittlere Lebensdauer eines Protons > s Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
83 Beispiele Größenordnungen Gewicht Elektron 1 3 kg Proton 1 7 kg Aminosäure 1 5 kg Hämoglobin 1 kg Virus 1 kg Salzkorn 1 8 kg Menschliches Haar 1 6 kg DIN A6 Blatt 1 3 kg Mensch 1 kg Großer LKW 1 4 kg Pyramide 1 1 kg Sonne 1 4 kg Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
84 Exponentialfunktion mit verschiedener Basis e x-achse ist Asymptote Schneidet immer bei y = 1 y 4 Eulersche Zahl e, x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
85 Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c y e x e,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e e x = exp(x) 4 4 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
86 Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x ) y e x e,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e e x = exp(x) 4 4 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
87 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c 4 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
88 Abfallende Exponentialfunktion Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c Negative b: exponentiell fallend (e x = 1/e x ) 4 e x e x e x y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
89 Übersicht Exponentialfunktionen f(x) = y = a B b(x x ) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis Negative b exponentiell fallend Verschiebung entlang der x-achse :x Verschiebung entlang der y-achse :c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
90 Beispiele: Exponentielles Wachstum Vermehrung von Bakterien Findet durch Zellteilung statt Im Mittel feste Periode Beispiel: Generationszeit von T G = 1 Minuten Teilungen Bakterien Zeit B(t) = B t/t G Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
91 Wachstum von Bakterien Ideale Wachstumskurve einer statischen Bakterienkultur Quelle Wachstum Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 5 / 71
92 Beispiel: Radioaktiver Zerfall von Cäsium N(t) = N e t τ 1 Zerfall von 137 Cs N/N Cs hat Halbwertszeit T 1/ = 3,17 a Üblicher: Lebensdauer τ t [Jahre] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
93 Beispiel: Strahlenbelastung Radioaktiver Zerfall Strahlenbelastung Quelle: I radiation, Fukushima Prefecture, March-April 11.png Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 5 / 71
94 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasand ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle Beispiel: Laden einen Kondensators, y.6 f(x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
95 Sättigungsfunktion Viele Prozesse laufen zunächst sehr rasand ab, stoßen dann aber an eine Grenze/Schwelle Beispiel: Laden einen Kondensators, y.6 f(x) = y = y s (1 e x ) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
96 Beispiel Sättigungsfunktion Sättigung der enzymatischen Reaktion Quelle Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
97 Übersicht 1 Wiederholung Potenzfunktionen 3 Trigonometrische Funktionen 4 Exponentialfunktionen 5 Logarithmen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
98 Logarithmus zur Basis 1 Wie oft muss man 1 mit sich selbst multiplizieren, um z.b. 1 zu erhalten? 1 x = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
99 Logarithmus zur Basis 1 Wie oft muss man 1 mit sich selbst multiplizieren, um z.b. 1 zu erhalten? 1 x = 1 f(x) = 1 x x,1-4,1-3,1 -, Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
100 Logarithmus zur Basis 1 Wie oft muss man 1 mit sich selbst multiplizieren, um z.b. 1 zu erhalten? f(x) = 1 x x,1-4,1-3,1 -, x = 1 x = 4 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
101 Logarithmus zur Basis 1 Wie oft muss man 1 mit sich selbst multiplizieren, um z.b. 1 zu erhalten? x f(x) = log 1 x,1-4,1-3,1 -, y 1 x = 1 4 x = 4 x = log 1 (1) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
102 Logarithmus zur Basis 1 Wie oft muss man 1 mit sich selbst multiplizieren, um z.b. 1 zu erhalten? x f(x) = log 1 x,1-4,1-3,1 -, y 1 x = 1 4 x = 4 x = log 1 (1) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
103 Logarithmus 1 x = 1 x = log 1 (1) = 4 x = 4: Anzahl der Nullen log 1 steht für Logarithmus zur Basis 1 Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit gleicher Basis Wächst extrem langsam Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
104 Logarithmus allgemein Gegeben b = a x mit a > Lösung: Logarithmus von b zur Basis a x = log a b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
105 Logarithmus allgemein Gegeben b = a x mit a > Lösung: Logarithmus von b zur Basis a x = log a b Besondere Basen: 1: log 1 b = lg b e: log e b = ln b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
106 Logarithmus mit unterschiedlicher Basis y 4 a = 1 a = e a = x y-achse ist Asymptote Schneidet x-achse bei x = 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
107 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation Am Beispiel mit der Basis 1 Es sei A = 1 n und B = 1 m, dann gilt lg(a) = n und lg(b) = m und A = 1 lg(a) und B = 1 lg(b) Multiplikation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 6 / 71
108 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation Am Beispiel mit der Basis 1 Es sei A = 1 n und B = 1 m, dann gilt lg(a) = n und lg(b) = m und A = 1 lg(a) und B = 1 lg(b) Multiplikation A B = 1 n 1 m = 1 n+m = 1 lg(a)+lg(b) lg(a B) = lg(1 lg(a)+lg(b) ) = lg(a) + lg(b) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 6 / 71
109 Rechnen mit Logarithmen Multiplikation log b (A B) = log b (A) + log b (B) Division Potenz Wurzel log b (A/B) = log b (A) log b (B) log b (A m ) = m log b (A) log b ( m A) = log b (A)/m Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
110 Beispiel log (1 x) log (4) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 6 / 71
111 Beispiel log (1 x) log (4) = log ( 1 x 4 ) = log ( x 4 ) = log ( x ) = log (x ) = log (x) + log ( ) = log (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 6 / 71
112 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 1 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
113 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 1 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? A = e ln(a) 1 lg(a) = A = e ln(a) ln(1 lg(a) ) = ln(a) lg(a) ln(1) = ln(a) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
114 Basistransformation lg(a) sei bekannt. Es gilt A = 1 lg(a) Wie erhält man den Logarithmus zu einer anderen Basis, z.b. ln(a)? A = e ln(a) 1 lg(a) = A = e ln(a) ln(1 lg(a) ) = ln(a) lg(a) ln(1) = ln(a) Allgemein log b (x) = log b (g) log g (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
115 Wiederholung: Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x ) e x e,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e y x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
116 Wiederholung: Exponentialfunktion allgemein Allgemein: f(x) = y = a B b(x x ) + c Faktor b im Exponenten wirkt wie andere Basis, da B b(x xo) = (B b ) (x x ) 1 8 e x e,69x e,3x Eine Basis ist genug Üblicherweise e y x Um von einer beliebigen Basis B auf die Basis e zu kommen: B x = e ln(b) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
117 Logarithmisch geteilte Achsen Z.B. für die y-achse Trage jeden Messwert y an der Stelle lg(y) auf. 1 lg(1) = 1 lg(1) = 1 1 lg(1) = lg(),3 5 lg(5),7 1 lg(x) nur für positive x Darstellung nur für positive y-werte möglich Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
118 Beschriftung logarithmisch geteilter Achsen Verschiedene Beschriftungen möglich ,5 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
119 Einfach-logarithmisches Papier logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
120 Einfach-logarithmisches Papier x logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
121 Einfach-logarithmisches Papier e x x 3 logarithmische Y -Achse Einsatz bei exponentiellen Zusammenhängen Achtung: Nie die Null unterschreiten 1 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
122 Logarithmische Graphen y x Beispiel 1 x : logarithmische Darstellung ergibt Gerade lg(y) y = 1 c x lg(y) = c x x Steigung = c Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
123 Logarithmische Graphen y x Beispiel 1 x : logarithmische Darstellung ergibt Gerade Steigung = c lg(b) lg(y) y = 1 c x lg(y) = c x y = B c x lg(y) = c x lg(b) x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
124 Logarithmische x-achse 1 y x Logarithmische Zusammenhänge y = log b (x n ) = log b (1) lg(x n ) = log b (1) n lg(x) Steigung: n log b (1) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
125 Logarithmische x-achse y = ln(x ) y = lg(x) Logarithmische Zusammenhänge y x y = log b (x n ) = log b (1) lg(x n ) = log b (1) n lg(x) Steigung: n log b (1) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
126 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 7 / 71
127 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 7 / 71
128 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) Analog zu linearer Funktion mit Steigung n y-achsenabschnitt lg(a) wenn man lg(y) gegen lg(x) aufträgt Vorsicht bei der Interpretation: es sind nur positive Werte dargestellt: lg(x) = bei x = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 7 / 71
129 Doppelt logarithmisch geteilte Achsen Potenzfunktion y = a x n lg(y) = lg(a) + n lg(x) y = x y = 5 x Analog zu linearer Funktion mit Steigung n y-achsenabschnitt lg(a) wenn man lg(y) gegen lg(x) aufträgt Vorsicht bei der Interpretation: es sind nur positive Werte dargestellt: lg(x) = bei x = y = 3 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 7 / 71
130 Beispiel Allometrie Messen und Vergleichen von Beziehungen zwischen der Körpergröße von Lebewesen und deren Verhältnis zu verschiedensten biologischen Größen Klassische Allometrieformel Quelle: y = a x b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober / 71
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