Lösungen zu den Übungsaufgaben Übergang 10/ /2009 0hne Gewähr!

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1 Lösungen zu den Übungsaufgaben Übergang 0/ 008/009 0hne Gewähr!. Lineare Funktionen und lineare Gleichungen; Terme 4 a. g : y = x h : y = 4 x - 4 b. A = 4 = FE U = ( ) = 6LE c. Bestimmung von Z(,5 6) Mittelparallele m : y = 4 x Ansatz für die Höhe h des Dreiecks ( y-wert des Punktes Z ) 4 = h ; h = 6 x-wert des Punktes Z 4 6 = x ; x =,5 Auch andere Ansätze möglich. Aufgabe Bluse b I b = h + 0,50 Lösung: h = 49,95 Hose h II b + h = 60,5 b = 0,40. Systeme linearer Gleichungen b. a. x = -,5 ; y =,5 b. I) y = - 0,4x +0,5 II) y = 0,8x +,5 c. x = 0,5 ; y = -0,5 d. x = ; y = 5 ; k 0 k

2 Aufgabe a. Wasser x, Bier y, Wein z Ansatz : I) x + y + z = 78 mit y = x ergibt sich x + x + z = 78 x + z = 78 II),0 x + x,40 + z 0,0 = 456,90 5x + 0,0z = 456,90 Wasser x = 5 ; Bier y = 06 ; Wein z = 9 b. zwei Achsen: x, vier Achsen: y Ansatz : I) x + 4y = 58 II) x + y = x = ; y = 8. Reelle Zahlen a. Berechne möglichst einfach. Schreibe alle Umformungen auf.. 0,5 = 6 = 4. = 0,5 5 64y 5 64 = 8. : = x 5 8 xy b. Ziehe teilweise die Wurzel. Schreibe alle Umformungen auf.. =.,69x y =,x xy c. Mache den Nenner rational. Schreibe alle Umformungen auf. 0. = 60. 5a a 5a = a Aufgabe a. x + = 9 x ; x = 6 b. (x ) = x + + x + 4 ; x = 5 4. Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen a. Parabel : N (- 0), N ( 0) Parabel : N (-6 0), N 4 (7 0) b. Scheitelpunkt E (0,5-6,5) E (0,5 8,45) c. nächste Seite d. S (- 6), S (4 6)

3 Aufgabe Quadratische Gleichungen können wir mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, mit der pq-formel oder mit der abc-formel lösen. abc-formel pq-formel a x + b x + c = 0 x + px + q = 0 x / = b ± b a 4ac x / = p ± p q Gegeben ist nun die quadratische Gleichung x + 8x + 90 = 0. a. Löse die Gleichung mit der abc-formel. a = b = 8 c = 90 b. Löse die Gleichung mit der pq-formel. Bringe die Gleichung zuerst auf die Normalform. Normalform : x + 4 x + 45 = 0 p = 4 q = 45 Lösung: x = -5 ; x = -9 Aufgabe a. x = -4 ; x = -5 b. y = - ; y = 6

4 Aufgabe 4 Ansatz: (a + ) = a + 7, Lösung: a = 8 [ a = -9 hat keine praktische Bedeutung ] 5. Potenzen,5a b a. 6,6 b.,4 7 c. - d. m e. 0 f. L = 4k 4k 4k 6 4k : = = 50 4k 4k g. L = ( u + v) (u + v) + (u v) (u + v)(u v) = (u + v) (u + v) + (u v) (u + v ) = ( u + v + u v) (u + v) = u (u + v) 8 y b (x ) Aufgabe : a. b. = (x 4) abc = (x + ) 7( x ) ( x ) Text zu a: Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.,8 7,,8 Aufgabe : = ( 4 0,5 ) + 0,7 0,,64(070578) 6. Potenzfunktionen / Exponentialfunktionen b. Eigenschaften der Funktionen nach Lehrbuch. 4

5 Aufgabe Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x x und f mit f (x) = - 0,5. a. Definitionsmengen f : D = IR {} f : D = IR c. Verhalten von f f (x) 0 für x ± f (x) - für x und x < f (x) + für x und x > Verhalten von f f (x) - für x - f (x) 0 für x + f : Vertikale Asymptote bei x = f und f : Die x-achse ist horizontale Asymptote für beide Schaubilder. 7. Wachstumsprozesse a. 5 % q =,5 c. eine Zunahme um drei Fünftel q =,6 b. 0, % q =,00 d. eine Abnahme um zwei Drittel q = Aufgabe a. Annika: A(t) = t ; Lisa: L(t) = 00, t t in Jahren ( lineares Wachstum ) ( exponentielles Wachstum ) b. Gleiche Sparrate : In der. Klasse t 6,69 c. Klasse 0: Annika: 400 ; Lisa: 4,68 Abitur: Annika: 440 ; Lisa: 407,84 d. Annika: t = 000 ; t = 67,5 Lisa: 00, t = 000 ; t = 4,6 5

6 8. Exponential- und Logarithmengleichungen a. x =,8099 b. x = -,5 c. x =,557 d. x =,680 e. lg ( +,8x ) =,7 ; +,8x = 0,7 ;. x = 6,76 f. lg( x x(x ) - x ) - lg ( x - ) = ; lg = x ; lgx = ; x = 00 Aufgabe a. Halbwertszeit : Zeit, in der die Hälfte eines radioaktiven Stoffes zerfallen ist. b. Ansatz : 600 m o mo q = ; q = 600 = 0, c. m(008) = 4,90g ; m(-0000) = 760,9g c. Ansatz : t 600 = = ( ) t = t t Multiplizieren der Exponenten 9. Flächen- und Körperberechnungen Radius r des Kegels: r =,5cm Grundseitenlänge a der Pyramide: a = (r) ; a =,57cm Seitenkante s Pyr der Pyramide: s Pyr = h Pyr + r ; s Pyr = 4,7cm Höhe eines Seitendreiecks h : h = 4,8cm Höhe des Kegels h Kegel : h Kegel = 8cm Volumen der Pyramide V Pyr : V Pyr = 6,99cm Volumen des Kegels V Kegel : V Kegel = 5,cm ; Volumen V des Körpers: V = 70,cm Mantel der Pyramide M Pyr : M Pyr = 4 A Seitendreieck ; M Pyr =,7cm Kegelmantel M Kegel : M Kegel = π r s Kegel mit s Kegel = h Kegel + r ; M Kegel = 66,40cm Oberfläche O: O = M Pyr + M Kegel + A rest ; A rest = 7,6cm ; O = 04,9cm Aufgabe a. Volumen V: V = 87,04 Liter b. Gesamtmasse M: M = 595,46kg + 0kg = 605,46kg c. Verkleinertes Volumen V klein : V klein = π ( r ) h = π r h 8 Abnahme um 87,5% 6

7 0. Trigonometrie C 7,69 cm 0 60 a 5,96 cm hc 90 A c B Seite b mit Kosinussatz: b =,69cm Winkel α mit Sinussatz: α = 7,46 ; γ =,54 Höhe h c : h c = a sin60 ; h c = 5,0cm Flächeninhalt A Dreieck : A Dreieck = 8,9cm Aufgabe a. tanα = 0,67 ; α = 9,48 Streckenlänge s: s = 885,4m s 640m b. tanα = 0,0 ; α = 6,70 Höhendifferenz h: h = 87,5m alpha 90 Aufgabe a. Siehe Lehrbuch!!! b. cos α = - cos ( 80 - α ) Geeignete Skizze mit Einheitskreis anfertigen, z.b. mit α = 60. c. Siehe Lehrbuch!!! d. sin α cos α + sin α ; mit sin α + cos α = ergibt sich cosα cosα + sin e. Siehe Lehrbuch!!! α = cos α+ sin α = 7

8 o sin α f. cos(90 α ) sin α + = cosα tan α sinα sinα + sin α α cos sin α = cosα sin α + cos α = cosα = cosα cosα = α = 60 8