Frühjahr sin35.8 = tanα tanβ sinα cosβ. cosα sinβ. sinαcosβ cosβcosa. cosαcosβ sinβcosa. cosαcosβ. sinαcosβ+sinβcosa

Transkript

1 Frühjahr 7. a) Von einem Dreieck ABC kenne wir die Höheh b =4.7 und die Winkelβ =.4 undγ =5.8. Berechnen Sie die Längen der Seiten. α = 8 β γ=4.8 h b = asinγ a = h b = csinα h b sinγ = 4.7 h b sinα = 4.7 sin5.8 =5. c = sin4.8 =.64 b = acosγ+ccosα=5.cos cos4.8 =6. b) Zeigen Sie, dass sin(α+β) sin(α β) = tanα+tanβ tanα tanβ ist. tanα+tanβ tanα tanβ sinα cosα + sinβ cosβ sinα cosα sinβ cosβ sinαcosβ cosαcosβ + sinβcosa cosβcosa sinαcosβ cosαcosβ sinβcosa cosβcosa sinαcosβ+sinβcosa cosαcosβ sinαcosβ sinβcosa cosαcosβ sinαcosβ+sinβcosa sinαcosβ sinβcosa sin(α+β) sin(α β)

2 . Der Physiker Frank Benford beobachtete 98, dass bei im Alltag auftretenden Zahlen die erste Ziffer mit grösster Wahrscheinlichkeit die ist. Spätere Untersuchungen führten zum Gesetz von Benford : Dies besagt, dass die Ziffern k =,,..., 9 mit den Wahrscheinlichkeitenp(k)=lg ( + k) als erste Ziffer auftreten. Es gilt also beispielsweise p() = lg (lg ist der Logarithmus zur Basis ). a) Zeigen Sie, dass exakt gilt: p () + p () p (9) = ( lg + ) lg()+lg ( +lg ( p()+p()+...p(9) = + ) ( +...lg + ) = 9 ) ( ) ( ) 4 +lg +...lg = 9 ( lg ) = 9 lg() = b) Aus einem statistischen Jahrbuch werden zufällig 6 Zahlen ausgewählt. )Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine der 6 Zahlen mit der Ziffer beginnt? WS(Ziffer ist keine ) = WS(Ziffer ist ) WS(Ziffer ist keine ) = lg() WS(6 mal keine ) = ( lg()) 6 =,66% )Mit welcher Wahrscheinlichkeit beginnen mindestens 5 Zahlen mit der Ziffer? WS(mindestes 5 Zahlen mit ) = WS(genau 5)+WS(genau 6) ( ) 6 WS(mindestes 5 Zahlen mit ) = (lg) 5 ( lg)+(lg) 6 5 ( ) 6 WS(mindestes 5 Zahlen mit ) = (lg) 5 ( lg)+(lg) 6 =,% 5 )Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 6 Zahlen mit der Ziffer beginnen? WS(alle 6 mit ) = (WS()) 6 ( ( )) 6 WS(alle 6 mit ) = lg WS(alle 6 mit ) =, 98%

3 . Gegeben sei die Funktion mit der Vorschriftf(x)=x(x k) (k>,k R) a) Erstellen Sie eine Skizze des Graphen für k =. Wie gross ist der Winkel zwischen Graph und x-achse? f(x)=x(x ) y x -.5 f(x) = x(x ) Nullstellen bei x = (einfach) und x= (doppelt) Da doppelte Nullstellen Berührpunkte sind, bleibt x= f (x) = x 8x+4 f () = 4=tanα a = 75,96 b) Bestimmen Sie nun k>derart, dass dieser Winkel 45 beträgt. Der Graph von f ( mit diesem nun berechneten k ) schliesst mit seiner Tangente im Schnittpunkt mit der x-achse eine FlächeA ein; ausserdem schliesst dieser Graph mit der x-achse eine zweite FlächeA ein. Bestimmen Sie die Flächeninhalte vona und vona. f(x) = x(x k) f (x) = k 4kx+x f () = k =tan45 = k = ± Laut Aufgabe ist k>, also k=. f(x)=x(x ) =x x +x

4 y x - A = A = A = f(x)dx ( x x +x ) dx [ x x + 4 x4 A = Für A muss der Schnittpunkt von f(x) und y=x (der Tangente in x= mit45 ) berechnet werden : f(x) = x ] x(x ) = x :x (eine Lösung) (x ) = x = ± x = und x = A = A = A = A = 4 (x f(x))dx ( x x ) dx [ x 4 x4 ] 4

5 4. Berechnen Sief (x),fj(x),fj (x),f (4) (x)... und suchen Sie dann eine Formel für die n. Ableitungf (n) (x), wennf(x)= ax+b =(ax+b) ;a,b R\{}. Wir betrachten nun die Funktion g (x), deren Funktionsvorschrift f (x) ist. Skizzieren Sie den Graphen von g, wenn a = und b =. f(x) = ax+b f a (x) = (ax+b) a f (x) = (ax+b) a f (x) = 6 (ax+b) 4 a 4 f (x) = 4 (ax+b) 5 Bei Betrachtung der Ableitungen stellt man fest, dass das Vorzeichen alterniert, was man durch den Faktor( ) n erreichen kann (- für ungerade n, + für gerade). Das a im Zähler hat einen Exponenten der dem Grad der Ableitung entspricht, also a n, der Nenner ax+b hat gerade eine Potenz mehr(ax+b) n+. Der Vorfaktor entsteht durch fortwährende Multiplikation der natürlichen Zahlen 4..,.alson!: f (n) (x)=( ) n n! a n (ax+b) n+ 5

6 5. Bestimmen Sie die reellen Zahlen a, b so, dass der Graph der Funktionf(x)=axe bx mitd f =R im Punkt E (/) eine horizontale Tangente besitzt. ( Lassen Sie die Eulersche Zahl e im Resultat stehen! ) Diskutieren Sie anschliessend die Funktion. f(x) = axe bx f (x) = ae bx +abxe bx I.f() = II.f () = I.ae b = a = e b II.ae b +abe b = ae b (+b) = b = in I. : a = e f(x) = exe x = xe x+ f (x) = e x 4 xe x f (x) = 8 xe x e x y x - D=R.Die Funktion hat eine Nullstelle bei x=. Fürx geht sie gegen (Exponentialfunktionen fallen stärker als jede 6

7 Potenzfunktion). Der positive Teil der x-achse ist also waagerechte Asymptote. Da 8 f (x)= e x 4 xe x = ( e x) (x ) = 4 Da Exponentialfunktionen nie Null werden ist x = die einzige Stelle mit waagerechter Tangente f () = 4 <, also ein Maximum( ) f (x) = 8 xe x e x = ( e x) (x 4) = 8 x = 4 ist Kandidat für Wendepunkt. ) (e x > immer positiv ist und x-4 bei x=4 das Vorzeichen wechselt, ist ( 4 ) 6 e ein Wendepunkt. 7

8 6. Der Kreisx +y = ist der Inkreis eines Rhombus. Zwei Seiten dieses Rhombus sind parallel zur x - Achse und die dritte Seite ist eine Tangente int( 8/y T ), wobeiy T <ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Rhombus. Day T < sein soll ist T(-8/-6). D (- ) x +y = 64+y = y = 6 y = ± C (5 ) N (-,5 ) K O x T (-8-6) -6-8 B ( -) - A (-5 -) - Die Fläche des Rhombus (Raute) ergibt sich aus der Grundlinie AB und der Höhe r = d = mit A = AB d = AB. Die Grundlinie AB ist doppelt so lang wie ON (N ist der Schnittpunkt der Tangente in T mit der x-achse). Das Dreieck OTN ist ähnlich OKT. Es gilt also : OK OT = OT ON ON = OT OK = 8 =,5 Also istab= ON=5 und somit A=5. Andere Möglichkeit : Die Tangente steht senkrecht auf OT, hat also die Gleichung : ( ) ( ) 8 6 t : X = +λ 6 8 ( ) x = λ = x = 5 t erreicht z.b. y=- bei : ( ) ( 8 6 +λ 6 8) ebenso y= bei x=- Aus Symmetriegründen ergibt sich zu A(-5/-) B(/-) und somit AB=5. 8