Musterlösung zur Klausur Signale und Systeme

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1 Musterlösung zur Klausur Signale und Systeme Arbeitsgruppe Digitale Signalverarbeitung Ruhr-Universität Bochum Frühjahr 009

2 Diskrete und kontin. Signale 5 Pkt.. Summierer und Differenzierer (a) Falls beide Systeme linear sind, muss gelten: aus v (k) y (k), v (k) y (k) folgt v (k) + v (k) y (k) + y (k) i. Summierer: y (k) = k n= v (n) und y (k) = k n= v (n) Und für die Summe gilt: v 3 (k) = v (k) + v (k): y 3 (k) = k n= v (n) + k n= v (n) = y (k) + y (k) k n= v 3 (n) = ii. Differenzierer: y (k) = v (k) v (k ) und y (k) = v (k) v (k ) Und für die Summe gilt: v 3 (k) = v (k)+v (k): y 3 (k) = v 3 (k) v 3 (k ) = v (k) + v (k) v (k ) v (k ) = y (k) + y (k) (b) Falls beide Systeme zeitinvariant sind, muss gelten: aus v (k) y(k) folgt v (k k 0 ) y(k k 0 ) i. Summierer: Eingangssignal: v (k) = v (k k 0 ), y (k) = = k n= v (n) = k n= v(n k 0 ) Indexwechsel :κ = n k 0 k k 0 κ= v(κ) = y (k k 0 ) ii. Differenzierer: Eingangssignal: v (k) = v (k k 0 ), y (k) = v (k) v (k ) = v (k k 0 ) v (k k 0 ) = y (k k 0 ) (c) Beide Systeme sind LTI, aufgrund der in (a) und (b) gezeigten Eigenschaften. Impulsantworten: Eingangssignal: v (k) = δ (k), { k 0 i. Summierer: h(k) = k n= δ(n) = ɛ (k) = 0 k < 0 zt H (z) = zt ii. Differenzierer: h (k) = δ (k) δ (k ) H (z) = z, z > 0 z (d) Stabilität z, z > z

3 i. Summierer: Ist grenzstabil, da H (z) = z Einheitskreis besitzt. ii. Differenzierer: Ist stabil, da FIR Filter. z einen einfachen Pol auf dem (e) Kausaliät: Beide Systeme sind kausal, weil Impulsantworten rechtsseitig. (f) Kaskade i. Zeitbereich: Gesamtimpulsantwort ist Faltung der Einzelimpulsantworten: h ges (k) = ɛ (k) (δ (k) δ (k )) = ɛ (k) ɛ (k ) = δ (k) ii. z-bereich: Produkt aus Systemfunktionen H ges (z) = =, h ges (k) = δ (k) z z z z (g) Das Ausgangssignal ist das Eingangssignal, da die Impulsantwort der Einheitsimpuls ist. (h) System ist kausal und stabil, weil Impulsantwort rechtsseitig und absolut summierbar. (i) Rekursionsformel: y(k) = x(k) y(k ). Sind Sie folgenden Signale periodisch? Bestimmen Sie ggf. deren Grundperiode. (a) Ja, dieses Signal ist periodisch, denn mit t 0 = κπ gilt: Die Grundperiode ist t 0 = π. v(t + t o ) = ln (sin (t + κπ) + cos (π)) = v (t) (b) Nein, dieses Signal ist nicht periodisch, denn es gilt: nur wenn k 0 = κπ. Widerspruch!!! v(k + k o ) = cos (k + k 0 ) = cos (k) = v (k), 3. Das Ausgangssignal y (t) kommt durch die folgenden Operationen zu stande: () Stauchung um Faktor : v(t) () Verschiebung des gestauchten v(t T ) Eingangssignals um T nach rechts: dv(t T ) (3) Anschließende Differenzierung dt Die Steigung an den Flanken beträgt gerade. Antwort c) ist richtig, denn z(t) wird durch Differenzierung und Mutliplikation mit (-) aus y(t) gewonnen: 3

4 Abbildung : 4

5 Aufgabe : Diskrete Systeme 6 Pkt. Gegeben war der kanonische Signalflussgraph eines diskreten Systems.. SISO steht für Single Input Single Output und MIMO für Multiple Input Multiple Output. Das vorgegebene System besitzt nur einen Eingang und einen Ausgang und stellt daher ein SISO-System dar. Das kanonisch realisierte System besitzt zwei Verzögerer. Die Systemordnung beträgt somit n =.. Die Ermittlung der Übertragungsfunktion des Gesamtsystems wird über die Ermittlung der Übertragungsfunktionen der Teilsysteme vorgenommen: Übertragungsfunktion des. Teilsystems: Y (z) = V (z) + 0, 5Y (z)z Übertragungsfunktion des. Teilsystems: H (z) = Y (z) V (z) = 0, 5z = z z 0.5 Y (z) = [ V (z) + 0, 5Y (z)z ] H (z) = Y (z) V (z) = 0, 5z = z z 0.5 Durch die parallele Anordnung der beiden Teilsysteme ergibt sich die Gesamtübertragungsfunktion H(z) aus der Summe beider Teilübertragungsfunktionen: = H(z) = H (z) + H (z) = z z 0, 5 + z z 0, 5 = z 0, 5z + z 0, 5z (z 0, 5) (z 0, 5) 3z z z, 5z + 0, 5 = 3 z, 5z + 0, 5z 5

6 3. Die Nullstellen von H(z) sind die Nullstellen des Zählers: 3z z = z(3z ) = 0 z 0 = 3 ; z 0 = 0 Die Polstellen von H(z) sind die Nullstellen des Nenners: z 3 z + 4 = z 3 4 z + 8 = 0 z, = 3 8 ± (3 8 ) 8 = 3 8 ± 64 = 3 8 ± 8 z = 0, 5 ; z = 0, 5 Da die Pole sich direkt aus der Parallelstruktur der beiden Teilsysteme H (z) und H (z) ablesen lassen, bestätigen die hier ermittelten Polstellen die Korrektheit der Rechnung. Das Pol-/Nullstellen-Diagramm mit den ermittelten Polen und Nullstellen sieht demnach so aus: Imaginary Part Real Part 6

7 4. Aus dem Pol-/Nullstellen-Diagramm lassen sich die Eigenschaften des Systems ablesen: (a) Das System ist strikt stabil, da alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen. (b) Es handelt sich um ein IIR-System, also ein System mit unendlicher Impulsantwort ( Infinite Impulse Response ). Bei einem FIR-System, also einem System mit endlicher Impulsantwort ( Finite Impulse Response ), liegen alle Pole im Ursprung. 5. Der Betrag der Übertragungsfunktion H(z) für z = entspricht dem Betrag der Übertragungsfunktion für die Frequenz Null. f = 0 Ω = π0 = 0 e j0 = 3z z H(z) = z 3z + 4 H() = = Der Betrag der Übertragungsfunktion H(z) für z = entspricht dem Betrag der Übertragungsfunktion für die halbe Abtastfrequenz. f = Ω = π = π e jπ = H( ) = = Wegen H() > H( ) und der Tatsache, dass die Polstellen bei der Frequenz Null näher am Einheitskreis liegen, repräsentiert das System offensichtlich einen Tiefpassfilter. Spektralanteile bei der höchst möglichen Frequenz f = / werden erheblich weniger verstärkt als bei der Frequenz Null. 6. Aus der Übertragungsfunktion kann die Differenzengleichung gewonnen werden: H(z) = Y (z) V (z) = 3 z 3 z + 4 z Y (z) ( 3 z + 4 ) z = V (z) ( 3 z ) 7

8 Y (z) = 3 V (z) V (z)z Y (z)z 8 Y (z)z y(k) = 3 v(k) v(k ) y(k ) y(k ) 8 7. Aus der so gewonnenen Differenzengleichung lässt sich ein kanonischer Signalflussgraph ableiten: 8. Aus beiden Signalflussgraphen lässt sich jeweils eine Zustandsraumdarstellung {A, b, c, d} ablesen. Da es sich um zwei strukturell verschiedene Signalflussgraphen handelt, unterscheiden sich beide Zustandsraumdarstellungen. 8

9 (a) ZRD des ursprünglichen SFG: ( 0 A = 0 4 ) ; b = ( 4 ) ; c = ( ) ; d = 3 (a) ZRD des aus der dgl gewonnenen SFG: A = ( ) ; b = ( ) ; c = ( 0 ) ; d = 3 9. Beide ZRD beschreiben das gleiche System. Aus beiden ZRD läßt sich daher dieselbe Übertragungsfunktion gewinnen, die wiederum identisch ist mit der in Aufgabe ermittelten Übertragungsfunktion. 9

10 Aufgabe 3: Kontinuierliche Systeme 5 Pkt. Gegeben war die abgebildete RL Zweitorschaltung, bei der die Induktivität L zwischen unterschiedlichen (Quell- und Last-)Widerständen eingebettet ist:. Bestimmung der Übertragungsfunktion (ÜF) H(s) = U a (s)/u 0 (s) des obigen Systems (s-bereich): Diese ergibt sich unmittelbar mit dem Ansatz des Spannungsteilers aus der Reihenschaltung des Quellwiderstands R 0 mit der Parallelschaltung von Induktivität L und Lastwiderstand R zu: H(s) = U a(s) U 0 (s) = sl + R R 0 + sl + R = slr sl(r 0 + R) + R 0 R = R R 0 + R s s R 0R L(R 0 +R). () Die Systemordnung (max. Grad von Zähler- und Nennerpolynom) ist offenbar n =, was man unmittelbar auch aus der ursprünglichen Zweitorschaltung mit Reaktanzelement ablesen kann.. Gesucht sind zwei alternative, aus der ÜF ableitbare Systembeschreibungen: (a) Zur Bestimmung der Differenzialgleichung (DGL) des Systems stellen wir die mittlere Form von () zielführend um und erhalten: U a (s) U 0 (s) = slr sl(r 0 + R) + R 0 R U a (s) [sl(r 0 + R) + R 0 R] = U 0 (s) slr, () woraus sich durch termweise Rücktransformation (inverse LT) in den Zeitbereich unter Nutzung der Linearitätseigenschaft der LT und des Differenziationssatzes der LT die DGL des Systems. Ordnung unmittelbar ergibt: L(R 0 + R) u a(t) + R 0 R u a (t) = LR u 0(t). (3) 0

11 (b) Zur Herleitung eines kanonischen Signalflussgraphen (SFG) des Systems. Ordnung mit einem Integrierer (n = ) stellen wir die letzte Form von () U a (s) U 0 (s) = R R 0 + R s s R 0R L(R 0 +R) mit der Vorgabe H(s) H(s ) um und erhalten zunächst: H(s ) = U a(s) U 0 (s) = R R 0 + R, (4) + R 0R s L(R 0 +R) woraus sich in weiteren Umformungsschritten schließlich die Form: U a (s) = R R 0 + R U R 0 R 0(s) L(R 0 + R) U a(s) s (5) ergibt. Hieraus lassen sich unmittelbar die Elementewerte des nachfolgend dargestellten SFG ablesen: 3. Aufgaben zum Pol/Nullstellen-Diagramm (P/N): (a) Die oben bestimmte ÜF () der Ordnung n = besitzt offensichtlich genau eine Nullstelle bei: s 0 = 0 (6) und genau eine Polstelle bei: s = R 0R L(R 0 + R). (7) (b) Ausgehend hiervon lässt sich das nachfolgend dargestellte P/N-Diagramm einschließlich Amplitudenfaktor unmittelbar angeben, wobei der Amplitudenfaktor der letzten Form von () entnommen wurde:

12 (c) Das System ist strikt stabil, da der einzige Pol des Systems in der offenen linken s-halbebene liegt für L, R 0, R > 0. (d) Mit R 0 = 0 und R > 0 liegt die Quellspannung unmittelbar am Lastwiderstand, weshalb aus () für die ÜF folgt: H(s) = U a(s) U 0 (s) = R R s s 0. (8) Durch die spezielle Wahl von R 0 = 0 kompensiert der resultierende Pol bei s = 0 die Nullstelle bei s = 0. Dadurch reduziert sich die Systemordnung zu n = 0, und das System wird rein resistiv (ÜF frequenzunabhängig). Unabhängig von den Werten R, L der Schaltungselemente ist das System immer strikt stabil. (e) Mit R = 0 und R 0 > 0 ist die Last, an der die Ausgangsspannung gemessen werden könnte, kurz geschlossen, weshalb aus () für die ÜF folgt: H(s) = U a(s) U 0 (s) = 0 s R 0 s 0 0. (9) Durch die spezielle Wahl von R = 0 kompensiert der resultierende Pol bei s = 0 die Nullstelle bei s = 0. Dadurch reduziert sich die Systemordnung zu n = 0, und das System wird rein resistiv (ÜF frequenzunabhängig). Unabhängig von den Werten R 0, L der Bauelemente ist das System immer strikt stabil. 4. Aufgaben und Fragen zum Frequenzgang mit den Vereinfachungen R 0 = R und R/L = ; hiermit nimmt die ÜF gemäß () die Form an: H(s) = U a(s) U 0 (s) = s s +. (0)

13 (a) Den Frequenzgang des Systems erhält man aus der Übertragungsfunktion, indem man die ÜF entlang der imaginären Achse der s-ebene auswertet: s := jω. Hinreichende Voraussetzung für die Existenz des Frequenzgangs ist, dass die imaginäre Achse der s-ebene im Konvergenzgebiet (ROC) von H(s) liegt, d.h., dass die ÜF überall auf der imaginären Achse der s-ebene existiert (beschränkt, endlich ist). Nach den obigen Überlegungen zur Stabilität (Teilaufgabe 3(b,c)) ist diese Bedingung für das vorgegebene Zweitor grundsätzlich immer erfüllt. Damit folgt aus (0) für den Frequenzgang des Systems.Ordnung: H(s) s=jω = H(jω) = jω jω +. () (b) Der Frequenzgang des Systems ergibt sich für ω = πf = 0 aus () zu: H(jω) ω=0 = H(j0) = H(j0) = 0, () was auch aus dem P/N-Diagramm ablesbar ist (s 0 = ω 0 = 0). Für ω = πf ± wird der Frequenzgang des Systems ebenfalls reellwertig (der Imaginärteil verschwindet zunehmend mit wachsender Frequenz), was sich aus () direkt ablesen lässt. Damit gilt: H(jω) ω ± = H(±j ) = H(±j ) =. (3) Da das System reellwertig ist, ist sowohl der Realteil als auch der Betrag des Frequenzgangs eine gerade Funktion bzgl. ω = πf. (c) Da das reellwertige System die Ordnung n = und damit nur jeweils eine einfache reelle Pol- und Nullstelle aufweist, kann es weder ein Bandpass noch eine Bandsperre sein. Wegen H(±j ) > H(j0) realisiert das System ein Hochpassfilter. Schaltungstechnische Argumentation: Die Querinduktivität L bewirkt bei f = 0 einen Kurzschluss des Lastwiderstands und blockiert somit bei f = 0 die Übertragung des Systems (Übertragungsnullstelle = Dämpfungspol). Bei f = ± fließt über die Spule kein Strom (dadurch entsteht auch kein zusätzlicher Spannungsabfall), weshalb hier die Übertragung des Systems maximal ist. Das System.Ordnung erweist sich auch mit dieser Betrachtung als Hochpassfilter. (d) Der Betragsfrequenzgang ist der Betrag des Frequenzgangs. Während der Frequenzgang von reellwertigen Systemen stets komplexwertig ist, vgl. (), ist der Betragsfrequenzgang für alle Frequenzen stets reellwertig. Da der Frequenzgang des untersuchten Systems bei den Frequenzen f = {0, ± }selbst reellwertig ist, ist er an diesen Frequenzpunkten entsprechend () und (3) identisch mit dem Betragsfrequenzgang. 3

14 5. Die Sprungantwort des Systems erhält man im s-bereich mit Hilfe der Systemgleichung Y (s) = H(s)V (s) mit der vereinfacht angesetzten ÜF gemäß (0) und der Laplace-Transformierten der (kausalen) Sprungfunktion: v(t) = ε(t) V (s) = s. Damit folgt mit anschließender Rücktransformation in den Zeitbereich: H ε (s) = H(s)V (s) = die gesuchte Sprungantwort des Systems. s ( ) h ε(t) = e t/ ε(t) (4) 6. Zwei unterschiedliche Möglichkeiten zur Bestimmung der Impulsantwort (IA): (a) Inverse LT der ÜF : Die Partialbruchzerlegung der ÜF (0) führt zu: H(s) = [ ] s ( ), woraus sich durch termweise Rücktransformation unmittelbar die IA ergibt (vgl. (4)): h(t) = [ δ 0 (t) ] e t/ ε(t). (5) (b) Die IA erhält man ebenso durch die Differenziation der Sprungantwort (4) unter Verwendung der Produktregel und der bekannten Zusammenhänge zwischen den Distributionen Sprungfunktion und Dirac-Impuls: h(t) = d dt [ ] e t/ ε(t) = [ ] e t/ ε(t) + e t/ δ 0 (t). (6) Die Ergebnisse (5) und (6) sind identisch wegen (Ausblendeigenschaft): e t/ δ 0 (t) = δ 0 (t). 4

15 Aufgabe 4: Abtasttheorem 4 Pkt.. Das Betragsspektrum V (jω) muss symmetrisch sein zu f = 0 wie bei jedem reellen Signal: V(j f) V (jω) = V ( jω), f/khz. Abtastung von v(t): (a) Nach dem Abtasttheorem für reelle Tiefpass-Signale ist > f max zu wählen. Hier ist f max etwas kleiner als 0kHz. Demnach gilt = 40kHz. (b) Mit = 40kHz ergibt sich folgendes Betragsspektrum V(e j f f ) V (e jπ f ) : f/khz - ) (c) Das Betragsspektrum V (e jπ f ist spiegelsymmetrisch zu Ω = π f = pπ, p Z (entsprechend p = p 0kHz) und damit auch π-periodisch ( -periodisch). 5

16 3. Wenn das Abtasttheorem verletzt ist, werden bei der Abtastung Spektralanteile überfaltet (Aliasing). Dadurch lässt sich das ursprüngliche kontinuierliche Signal nicht mehr rekonstruieren. 4. Abtastung von v (t) = e jπfmt v(t), f m = 0kHz: (a) Modulation: V (jπf) = V (jπ(f f m )). Durch die Modulation mit der komplexen Exponentialschwingung wird das Signal komplex, danach ist es nicht mehr symmetrisch zu f = 0. (b) Betragsspektrum V (jπf) : V (j f) f/khz (c) Mit = 50kHz ergibt sich folgendes Betragsspektrum V (e j f f ) V ( e jπ f ) : f/khz - ( ) (d) Das Betragsspektrum V e jπ f ist nicht mehr spiegelsymmetrisch zu Ω = π f = pπ, p Z, da v (k) wie v (t) komplex ist. Es ist aber, wie das Spektrum eines jeden diskreten Signals, π-periodisch ( -periodisch). (e) Das Signal v (k) weist keine Überfaltungen (Aliasing) auf. Daher ist v (t) aus v (k) rekonstruierbar. 6