Lineare zeitinvariante Systeme

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1 Lineare zeitinvariante Systeme Signalflussgraphen Filter-Strukturen Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale Diskrete Fouriertransformation (DFT) 1

2 Signalflussgraphen Nach z-transformation ist Verzögerung eine Multiplikation mit vereinfachte Darstellung möglich c c 2

3 FIR-Filter der Länge L = M + 1 Filterstrukturen X(z) b 0 b 1 b 2 b 3 b M Y (z) Alternative Realisierung X(z) b M b 3 b 2 b 1 b 0 Y (z) 3

4 Filterstrukturen IIR-Filter mit Zählergrad M und Nennergrad N Differenzengleichung y(n) = M b i x(n i) + i=0 j=1 z-übertragungsfunktion H(z) = z N M M b i z M i i=0 z N + N c j y(n j) N c j z N j j=1 4

5 Filterstrukturen IIR-Filter mit Zählergrad M und Nennergrad N Direktform I X(z) b 0 b 1 b 2 b 3 b M Y (z) c N c 4 c 3 c 2 c 1 5

6 Filterstrukturen IIR-Filter mit Zählergrad M und Nennergrad N Vertauschung der beiden Teilfilter X(z) c N c 4 c 3 c 2 c 1 W (z) b M b 3 b 2 b 1 b 0 Y (z) 6

7 Filterstrukturen IIR-Filter mit Zählergrad M = Nennergrad N Direktform II X(z) W (z) c 1 c 2 c 3 c 4 c N b 0 b 1 b 2 b 3 b 4 b N Y (z) 7

8 Filterstrukturen Alternative Struktur für IIR-Filter mit Zählergrad M = Nennergrad N X(z) b N b 3 b 2 b 1 b 0 Y (z) c N c 3 c 2 c 1 8

9 Filterstrukturen Alternative Struktur für IIR-Filter mit Zählergrad M = Nennergrad N X(z) b N c N b 4 b 3 c 4 b 2 c 3 b 1 c 2 b 0 c 1 Y (z) 9

10 Weitere Strukturen für IIR-Filter Filterstrukturen Aus Pol-Nullstellendarstellung: Kettenform M (z z 0,i ) H(z) = z N M b 0 a 0 i=1 N (z z,j ) j=1 je ein Paar von konjugiert komplexen Polen und Nullstellen System 2. Ordnung reeller Pol und Nullstelle System 1. Ordnung 10

11 Teilsysteme für die Kettenform Filterstrukturen X(z) X(z) c 1 c 2 b 0 b 1 b 2 Y (z) c 1 b 0 b 1 Y (z) Zuordnung und Reihenfolge wählbar wichtig für Realisierungen mit begrenzter Rechengenauigkeit 11

12 Filterstrukturen Aus Partialbruchzerlegung: Parallelform konjugiert komplexes Polpaar System 2. Ordnung reeller Pol System 1. Ordnung konstanter Term Multiplizierer Alle Ausgänge werden addiert 12

13 Fouriertransformation zeitdiskreter Folgen Zeitkontinuierliches Signal x C (t) abgetastet bei t n = nt : zeitdiskretes Signal x D (n) = x C (nt ) Impulsfolge x R (t) = x D (n)δ(t nt ) = x C (t) δ(t nt ) FT: X R (jω) = X(e jω ) = = 1 T n= n= x R (t)e jωt dt = k= n= ) X C (j(ω kω s ) x(n)e jωn mit ω = ΩT n= x D (n)e jnωt mit Ω s = 2π T entpricht für ω π FT eines bandbegrenzten Signals mit T = 1 13

14 Fouriertransformation zeitdiskreter Folgen Rücktransformation bei Bandbegrenzung auf Ω π T x r (t) = 1 X R (jω)e jωt dω 2π = 1 π T X C (jω)e jωt dω δ(t nt ) 2π π T n= Vergleich mit inverser z-transformation x(n) = 1 X(z)z n 1 dz 2πj C Integration entlang des Einheitskreises: z = e jω dz dω = jejω, dz = je jω dω x(n) = 1 π X(e jωn )e jωn dω entspricht inverser FT 2π π 14

15 Fouriertransformation zeitdiskreter Folgen Definition der Fouriertransformation für zeitdiskrete Folgen X(e jω ) = x(n)e jωn x(n) = 1 2π n= π π X(e jωn )e jωn dω entspricht z-transformation für z = e jω ist aber auch anwendbar, wenn Einheitskreis z = 1 nicht im Konvergenzbereich liegt 15

16 Fouriertransformation zeitdiskreter Folgen Beispiel: x(n) = 1 = u(n) + u( n) δ(n) Z{u(n)} konvergiert für z > 1 Z{u( n)} konvergiert für z < 1 z-transformierte existiert nicht aber X(e jω ) = k= 2πδ(ω + k2π) 16

17 Fouriertransformation zeitdiskreter Folgen Weitere Beispiele: x(n) = e jω 0n X(e jω ) = 2πδ(ω ω 0 + k2π) k= ( x(n) = cos ω 0 n = 1 2 e jω 0 n + e ) jω 0n X(e jω ) = πδ(ω ω 0 + k2π) + πδ(ω + ω 0 + k2π) k= x(n) = sin ω 0 n = j ( 2 e jω 0 n e ) jω 0n X(e jω ) = jπδ(ω ω 0 + k2π) + jπδ(ω + ω 0 + k2π) k= 17

18 Fouriertransformation zeitdiskreter Folgen - Eigenschaften Folge Fouriertransformierte ax(n) + by(n) ax(e jω ) + by e jω ) x(n n d ) e jωn dx(e jω ) e jω 0n x(n) X(e j(ω ω 0) ) x( n) X(e jω ) nx(n) j dx(ejω ) dω x(n) y(n) X(e jω )Y (e jω ) x(n)y(n) 1 2π π π X(e jϕ )Y (e j(ω ϕ) )dϕ 18

19 Fouriertransformation zeitdiskreter Folgen - Eigenschaften Parseval sches Theorem: x(n) 2 = 1 π X(e jω ) 2 dω 2π n= n= x(n)y (n) = 1 2π π π π X(e jω )Y (e jω )dω 19

20 Fouriertransformation spezieller zeitdiskreter Folgen Folge Fouriertransformierte δ(n) 1 δ(n n 0 ) e jωn 0 1 2πδ(ω + 2πk) u(n) a n u(n) ( a < 1) sin ω 0 n πn k= 1 1 e jω + (0 ω 0 < π) X(e jω ) = k= πδ(ω + 2πk) 1 1 ae { jω 1, ω < ω0 0, ω 0 < ω π 20

21 Fouriertransformation spezieller zeitdiskreter Folgen { 1, 0 n N x(n) = 0, sonst e jω 0n cos(ω 0 n + ϕ) k= k= sin(ω(n + 1)/2) sin(ω/2) 2πδ(ω ω 0 + 2πk) [ πe jϕ δ(ω ω 0 + 2πk) +πe jϕ δ(ω + ω 0 + 2πk) ] 21