Übungen zu Signal- und Systemtheorie

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1 Fachhochschule Dortmund University of Applied Sciences and Arts Übungen zu Signal- und Systemtheorie (Anteil: Prof. Felderhoff) Version 1.3 für das Wintersemester 016/017 Stand: von: Prof. Dr.-Ing. Thomas Felderhoff Fachhochschule Dortmund Tel. 031 / Sonnenstr. 96 Fax: 031 / D Dortmund felderhoff@fh-dortmund.de

2 Aufgabe 1 Fourier-Reihe Gegeben sei die T 0 -periodische Funktion x(t) = x(t±t 0 ). 1 für t < T 0 4 x(t) = 1 für t = T für T 0 4 < t < T 0 periodisch mit T 0 sonst 1.1 Skizzieren Sie x(t) maßstabsgetreu im Intervall T 0 t 3T 0. Achten Sie dabei auf eine korrekte Achsenbeschriftung. 1. Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten X n der Fourier-Reihe x(t) = x(t+t 0 ) = X n e jnω 0t n= mit Ω 0 = π T 0. Aufgabe Signalbeschreibung Gegeben sei der dargestellte Signalverlauf eines Signals x(t). x(t) T 0 t.1 Beschreiben Sie x(t) mithilfe der Rechteckfunktion.. Beschreiben Sie x(t) mithilfe der Sprungfunktion..3 Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(jω): x(t)e jωt dt = X(jω) x(t) 1

3 Aufgabe 3 Fourier-Transformation eines rect-signals Gegeben sei die funktionale Beschreibung des Signals x(t) als ( ) 4t T0 x(t) = 3rect, 8T 0 wobei T 0 > 0 eine positive Zeitkonstante darstellt. 3.1 Skizzieren Sie maßstabsgetreu den zeitlichen Verlauf von x(t). Achten Sie dabei auf eine korrekte Achsenbeschriftung. 3. Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(jω): x(t)e jωt dt = X(jω) x(t) Aufgabe 4 Fourier-Transformation eines cos-signals Gegeben sei die funktionale Beschreibung des Signals x(t) als x(t) = 5cos(3Ω 0 t+α), wobei Ω 0 > 0 eine positive, konstante (Kreis)Frequenz und α IR eine beliebige Phasenverschiebung beschreibt. Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(jω): x(t)e jωt dt = X(jω) x(t) Aufgabe 5 Übertragungsfunktion und Faltung Gegeben sei ein lineares System mit den Eingangssignalen ( ) t T x 1 (t) = δ(t) und x (t) = rect, T den entsprechenden Ausgangssignalen y 1 (t) bzw. y (t) und der Impulsantwort { 0 für t < 0 h(t) = αe αt für t 0, α IR BestimmenSiedieAusgangssignaley 1 (t)undy (t)durchberechnungenimzeitbereich. 5. BestimmenSiedieFourier-TransformiertenY 1 (jω) y 1 (t)undy (jω) y (t). 5.3 Bestimmen Sie die Sprungantwort g(t).

4 Aufgabe 6 Gegeben sei die Funktion mit den beiden Funktionen Laplace-Transformation x(t) = x 1 (t)+x (t) x 1 (t) = x 0 u(t) und x (t) = x 0 e t/t0 u(t), wobei x 0 > 0 und T 0 > 0 jeweils zwei positive Konstanten bezeichnen. 6.1 Skizzieren Sie maßstabsgetreu in einem Koordinatensystem die Zeitverläufe der Signale x 1 (t), x (t) und x(t). 6. Bestimmen Sie jeweils die Laplace-Transformierten zu X 1 (s) = L{x 1 (t)} x 1 (t), X (s) = L{x (t)} x (t) und X(s) = L{x(t)} x(t). Aufgabe 7 Inverse Laplace-Transformation Gegeben sei die zum rechtsseitigen Zeitsignal x(t) = x(t) u(t) gehörende Laplace- Transformierte X(s) derart, dass gilt 7.1 Bestimmen Sie das Zeitsignal s x(t) X(s) = L{x(t)} = 4 s +5s+6. x(t) = L 1 {X(s)}. 7. Skizzieren Sie maßstabsgetreu den zeitlichen Verlauf des Signals x(t). 3

5 Aufgabe 8 Digitalfilter Gegeben sei ein zeitdiskretes System. Die Abtastwerte des Eingangssignals werden mit x(kt) und die Abtastwerte des Ausgangssignals werden mit y(kt) bezeichnet, wobei T > 0 die Abtastperiode beschreibt. Dieses zeitdiskrete System werde durch die Differenzengleichung beschrieben. y(kt) = 1 x(kt) x(kt T)+y(kT T) 1 y(kt T) 8.1 Skizzieren Sie einen Signalflussgraphen, der dieses zeitdiskrete System beschreibt. 8. Transformieren Sie die Differenzengleichung mithilfe der Z-Transformation in den Frequenzbereich und bilden Sie Y(z) X(z) = H(z), die Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems, wenn x(kt) X(z) und y(kt) Y(z) gilt. 8.3 Bestimmen Sie die Nullstellen und die Polstellen der Übertragungsfunktion H(z). Aufgabe 9 Verteilungsdichte- und Verteilungsfunktion Gegeben sei der prinzipielle Verlauf der Verteilungsdichtefunktion eines stochastischen Signals X(t), wobei a eine noch zu bestimmende Konstante bezeichnet. f (x) X a a x 9.1 Bestimmen Sie die Konstante a derart, dass f X (x) eine Verteilungsdichtefunktion beschreibt. 9. Geben Sie für f X (x) eine funktionale Beschreibung an. 9.3 Skizzieren Sie maßstabsgetreu den Verlauf der Verteilungsfunktion F X (x) = x f X (ξ)dξ. 9.4 Berechnen Sie den Erwartungswert EX(t) und die Varianz VarX(t) des stochastischen Signals X(t). 4

6 Aufgabe 10 Normalverteilung Gegeben seien zwei normalverteilte stochastische Signale X(t) und Y(t), zwischen denen die Beziehung 6X(t) Y(t) = 1 gelte. Ferner gelte: EX(t) = und VarY(t) = Bestimmen Sie mit einem nachvollziehbaren Rechenweg den Erwartungswert EY(t) des stochastischen Signals Y(t). 10. Bestimmen Sie mit einem nachvollziehbaren Rechenweg die Varianz VarX(t) des stochastischen Signals X(t) Geben Sie die funktionalen Ausdrücke der Verteilungsdichtefunktionen f X (x) und f Y (y) an. Skizzieren Sie maßstabsgetreu beide Verteilungsdichtefunktionen in Abhängigkeit der Variablen x bzw. y in einem Koordinatensystem, und tragen Sie markante Werte ein Skizzieren Sie maßstabsgetreu die Verteilungsfunktionen F X (x) und F Y (y) in Abhängigkeit der Variablen x bzw. y in einem Koordinatensystem, und tragen Sie markante Werte ein. Aufgabe 11 Deterministische und stochastische Signale Gegeben seien ein deterministisches Signal s(t) und ein gleichverteiltes stationäres Signal N(t) mit dem Erwartungswert EN(t) = 1 und der Varianz VarN(t) = 1/3. Ein weiteres stochastisches Signal X(t) werde gebildet durch X(t) = [s(t) N(t)] Bestimmen Sie einen funktionalen Ausdruck für die Verteilungsdichtefunktion f N (n) des stochastischen Signals N(t). 11. Berechnen Sie den Erwartungswert EX(t) und die Varianz VarX(t) des stochastischen Signals X(t). Handelt es sich bei X(t) um ein stationäres stochastisches Signal? Begründen Sie Ihre Antwort Bestimmen Sie das zweite Moment EX (t) des stochastischen Signals X(t). 5