Grundlagen der Nachrichtentechnik

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1 Universität Bremen Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. A. Dekorsy Schriftliche Prüfung im Fach Grundlagen der Nachrichtentechnik Name: Vorname: Mat.-Nr.: BSc./Dipl.: Zeit: Ort: Umfang: 07. März 2017, Uhr NW1,H2 6 Aufgaben Hinweise: Aufgabe: gesamt Punkte: (9) (8) (8) (9) (8) (8) (50) erzielt: Als Hilfsmittel ist nur ein nicht programmierbarer Taschenrechner erlaubt! Zum Bestehen der Klausur müssen von den erreichbaren 50 Punkten mindestens 20 Punkte erreicht werden! Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf jedes abgegebene Blatt.

2 Aufgabe 1 (9 Punkte) (Kurzfragen) Beantworten Sie die folgenden Fragen stichpunktartig. Beachten Sie, dass die Unterpunkte unabhängig voneinander zu lösen sind. (a) Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Quantisierungsrauschens für eine lineare Quantisierung mit l Bit. Achten Sie auf korrekte Achsenbeschriftung. (b) Für welche Eigenschaft eines Systems stellt der Klirrfaktor ein geeignetes Maß dar? Welches Verhältnis gibt er wieder? (c) Gegeben sei ein M-stufiges Modulationsalphabet. Wieviele Bit m beschreiben jedes der M Symbole des Alphabets? (d) Ist das System mit dem Frequenzgang H(e jω ) = 2(sin(Ω) + 1)e jω+π linearphasig? Begründen Sie Ihre Antwort. ; π Ω π (e) Beschreiben Sie in Kürze, was man unter Amplitudenmodulation (AM) und Frequenzmodulation (FM) versteht. (f) Am Empfänger eines Übertragungssystems wird nach der Matched-Filterung ein Signal zu Rauschverhältnis von SNR db = 3 db gemessen. Die Rauschleistung beträgt dabei N = 100nW. Bestimmen Sie die empfangene Signalleistung S in Watt.

3 Aufgabe 2 (8 Punkte) (Matched Filter) Gegeben ist ein digitales Übertragungssystem mit dem Sendefilter 1 für T s / < t < T s / g Tx (t) = 0 sonst und dem Empfangsfilter 1 für T s /2 < t < T s /2 g Rx (t) = 0 sonst. (a) Erfüllt das angegebene Filterpaar die Matched-Filter Bedingung? Wie lautet diese Bedingung allgemein für komplexwertige Filter? (b) Skizzieren SiedieaufdenMaximalwert 1normierteGesamtimpulsantwort g Tx g Rx des Systems. Achten Sie auf eine vollständige Achsenbeschriftung. (c) Zeichnen Sie das Augendiagramm des rauschfreien Empfangssignals entsprechend dem gegebenen Diagramm. Der Maximalwert werde hierbei auf 1 normiert. Hinweis: Zeichnen Sie zunächst den zeitlichen Verlauf des Empfangssignals für die Eingangsfolge d(i) = [ ] in ein separates Diagramm. (d) Erfüllt dieses System die beiden Nyquistbedingungen? Begründen Sie Ihre Antwort und markieren Sie die entscheidenden Bereiche im Augendiagramm t/ts

4 Aufgabe 3 (8 Punkte) (Modulation) Gegeben ist eine DQPSK-Modulation mit λ = π/. js (i) s 1 s 2 s 1 s 0 s 0 s (i) s 3 s 2 s 3 Abbildung 1: DQPSK-Signalraum Die folgenden Tabelle beschreiben die möglichen Signalpunkte in den jeweiligen Zeitpunkten. s 0 s 1 s 2 s j -1-1j s 0 s 1 s 2 s (+1+1j) 2 1 ( 1+1j) 2 1 ( 1 1j) 2 (+1 1j) Tabelle 1: Oben: gerade Zeitpunkte, unten: ungerade Zeitpunkte Die gesendeten Bit-Tupel sollen durch Tabelle 2 auf folgende Phasendifferenzen abgebildet werden. Bitfolge Phasendrehung Tabelle 2: Gray-Codierung der DQPSK (a) Am Eingang liegt folgende Bitfolge: Geben Sie die Folge der absoluten Phasenwerte ϕ(i) des gesendeten Signals an. Der Anfangswert der Phase sei ϕ( 1) = 0. (b) Zum Zeitpunkt i = 2 ergibt sich ein Entscheidungsfehler: ˆ ϕ(2) = ϕ(2)+π/2.geben Sie die Bitfolge nach der Differenz-Decodierung an. (c) Beschreiben Sie Vor- und Nachteile der Benutzung der DQPSK im Vergleich zur 8-PSK, die die gleichen Symbole benutzt. π 3π 5π 7π

5 Aufgabe (9 Punkte) (Abtasttheorem) Gegeben sei das zeitkontinuierliche Signal x(t) mit zugehörigem Spektrum X(jω) nach Abbildung 2. 2π X(jω) 0 2ω 0 ω Abbildung 2: Spektrum X(jω). (a) Geben sie das Zeitsignal x(t) an. (b) Das Zeitsignal x(t) werde nun mit der Abtastfrequenz f A = 1 T A abgetastet. Skizzieren Sie das Spektrum X(e jω ) des abgetasteten, d.h. zeitdiskreten Signals x(k) = x(t) t=kta für (1) f A = f A,1 = 2f 0 (2) f A = f A,2 = f 0. (c) GebenSieeineallgemeineBedingungfürdieAbtastfrequenzf A bezüglichdermaximalen Signalfrequenz f max an,damit eineperfekterekonstruktion gewährleistet werdenkann. Überprüfen Sie, ob diese Bedingung für die Fälle in Aufgabe b) erfüllt ist. (d) Skizzieren Sie die zeitkontinuierlichen Signale x 1 (t) und x 2 (t) die aus den abgetasteten Signalen aus Aufgabenteil b) mit Hilfe eines idealen Tiefpasses rekonstruiert werden. Der Tiefpass besitze dabei jeweils die Grenzfrequenz f TP = f A/2. In welchem Fall lässt sich das ursprüngliche Signal x(t) anhand des abgetasteten Signals x(k) wieder vollständig rekonstruieren? Hinweise: (Für die Bearbeitung der Aufgabe sind nicht zwingend alle Hinweise zu benutzen.) X(jω) = x(t)e jωt dt x(t) = 1 X(jω)e jωt dω 2π si(ω 0 t) π rect( ω ) ω 0 2ω { 0 rect( ω 1 für ω < ω 0 ) = 2ω 0 0 sonst Ω = ωt A = 2πfT A

6 Aufgabe 5 (8 Punkte) (Bitfehlerwahrscheinlichkeit) Gegeben ist das Modell eines digitalen Übertragungssystems. n(t) it d(i) g Tx (t) g Rx (t) y(i) Abbildung 3: Übertragungssystem. Das Rauschen n(t) besitzt nach der Filterung mit dem Empfangsfilter g Rx (t) die dargestellte Verteilungsdichtefunktion p X (x). p X (x) a x Abbildung : Verteilungsdichtefunktion p X (x). (a) Berechnen Sie den Parameter a der Verteilungsdichtefunktion. (b) Es wird eine bipolare Übertragung angenommen, d h. d(i) { 1, +1}. Skizzieren Sie die Verteilungsdichtefunktion p R (x) des Empfangssignals nach dem Empfangsfilter unter der Annahme, dass beide Sendesymbole gleichwahrscheinlich sind. (c) Zeichnen Sie die bedingten Verteilungsdichten der beiden Symbole p 1 (x) und p +1 (x) unter den beiden Sendehypothesen und markieren Sie die Entscheidungsschwelle S und die Bereiche, die einer Fehlentscheidung entsprechen. (d) Berechnen Sie die Gesamtbitfehlerwahrscheinlichkeit P e. Hinweis: Vermeiden Sie die explizite Berechnung von Integralen durch Ausnutzung der einfachen geometrischen Formen

7 Aufgabe 6 (8 Punkte) (Codierung) Gegeben sei folgende Generatormatrix eines binären, linearen (n,k,d min ) 2 Blockcodes G = (a) Geben Sie die Codewortlänge n und die Informationswortlänge k an. Um was für einen Code handelt es sich? (b) Geben Sie die zu G gehörige Prüfmatrix H an. Welcher Bedingung müssen G und H gehorchen, damit H eine gültige Prüfmatrix darstellt? (c) Geben Sie die minimale Hamming-Distanz d min zweier beliebiger Codewörter des Codes, die maximale Anzahl korrigierbarer und die Anzahl der erkennbaren Fehler bei Fehlererkennung an. (d) Geben Sie fünf unterschiedliche Codewörter des durch G generierten Codes an.