Technische Informatik - Eine Einführung

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1 Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Technische Informatik - Eine Einführung Darstellung von Zeichen und Zeichenfolgen Aufgabe 1 (0 Punkte) Sie wollen eine Netto-Information bestehend aus einem Block von 7 Worte der Länge 7 unter Verwendung der zwei-dimensionalen Paritätsüberprüfung versenden. Geben Sie bitte die Bruttoinformation, die aus 8 Byte besteht, an. Aufgabe 2 (0 Punkte) Gegeben sei die Bruttoinformation die nach dem Prinzip der zwei-dimensionalen Paritätsüberprüfung aus einer Nettoinformation generiert wurde. Während der Übertragung können Fehler passiert sein. a) Welche Prüfbits sind falsch gesetzt? b) Kann diese Bruttoinformation empfangen worden sein, wenn man annimmt, dass höchstens ein einfacher Fehler passiert ist? c) Kann diese Bruttoinformation empfangen worden sein, wenn man annimmt, dass höchstens zwei einfache Fehler passiert sind? d) Kann diese Bruttoinformation empfangen worden sein, wenn man annimmt, dass höchstens drei einfache Fehler passiert sind? 1

2 Aufgabe 3 (0 Punkte) In dieser Aufgabe betrachten wir CRC (Cyclic Redundancy Check). Das Generatorpoynom C(x) sei gegeben durch C(x) = x 5 + x 2 + x + 1. Geben Sie die CRC-Codierung der Bitfolge unter Verwendung von C(x) an. Erläutern Sie, wie Sie diese Kodierung errechnet haben. Aufgabe 4 (0 Punkte) Geben Sie die Hamming-Kodierung der Bitfolge an, indem Sie diese Bitfolge um geeignete Prüfbits erweitern. Aufgabe 5 (0 Punkte) Die Bitfolge wird bei einer Übertragung einer Hamming-kodierten Bitfolge empfangen. Beantworten Sie folgende Fragen: Ist ein 1-Bit Übertragungsfehler aufgetreten, falls man weiß, dass höchstens ein Fehler passiert sein kann? Wenn ja, an welcher Bitstelle? Kann ein Mehrfach-Übertragungsfehler aufgetreten sein? Wenn ja, an welchen Bitstellen? Aufgabe 6 (0 Punkte) Sei eine Buchstabenmenge A gegeben durch A = {a, b, c, d, e, f}. Zu jedem Buchstaben x A wurde eine Auftrittswahrscheinlichkeit p(x) ermittelt, die in der nachfolgenden Tabelle abgebildet ist. x p(x) a 0,10 b 0,15 c 0,15 d 0,15 e 0,20 f 0,25 a) Berechnen Sie für A und dazugehöriges p einen Huffmann-Code. b) Unter welchen Konstruktionsbedingungen ist der Huffmann-Code für ein beliebiges A (und zugehöriges p) eindeutig bestimmt? An p dürfen Sie keine weiteren Bedingungen stellen, außer, dass die Summe der Einzelauftrittswahrscheinlichkeiten gleich Eins ist. Aufgabe 7 (0 Punkte) Gegeben sei die Abbildung c : {u, v, w, x, y} {0, 1} 4 durch 2

3 a c(a) u 0010 v 0111 w 0100 x 0011 y 1001 a) Zeigen Sie, dass die Abbildung c ein Code ist. b) Bestimmen Sie die Distanz des Codes c und erläutern Sie, warum c kein 1-fehlererkennender Code ist. c) Ändern Sie den Code c zu einem 1-fehlererkennenden Code c ab, indem Sie möglichst wenige Stellen in den Codewörtern von c von 0 auf 1 beziehungsweise von 1 auf 0 setzen. Geben Sie den Code c an. Aufgabe 8 (0 Punkte) Zeigen Sie, dass für eine 2-dimensionale Paritätsüberprüfung immer gilt, dass die Parität der Zeilen-Paritäts-Bits gleich der Parität der Spalten-Paritäts-Bits ist. Aufgabe 9 (0 Punkte) Gegeben sei eine Menge M = {w 1,..., w 8 } von acht Elementen. a) Geben Sie einen Code c fester Länge an, der alle Elemente aus M codiert! Dieser Code soll 3-fehlererkennend aber nicht 4-fehlererkennend sein. Sie dürfen die Länge des Codes selbst festlegen. Zeigen Sie, dass Ihr Code c die geforderte Eigenschaft erfüllt! b) Für welchen Wert k ist Ihr Code k-fehlerkorrigierend, aber nicht (k + 1)-fehlerkorrigierend? Begründen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 10 (0 Punkte) Gegeben sei die Abbildung h : N {0, 1} k. Diese Abbildung h liefert für jede natürliche Zahl x N eine Binärzahl h(x) = h k 1 (x),..., h 0 (x) der Länge k, bei der für jede Bitstelle i {0,..., k 1} { 0, falls x mod 2 h i (x) = i = 0 1, falls x mod 2 i 0 gilt. Ist die Abbildung h für ausreichend große k ein Code? Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 11 (0 Punkte) Sei C(x) = k i=0 c i x i mit c i {0, 1} für i = 0,..., k ein beliebiges Generatorpolynom. a) Zeigen Sie, dass CRC nicht alle Doppelfehler erkennen kann. 3

4 b) Welche (notwendige) Einschränkung müssen Sie an die zu übermittelnden Nachrichten stellen, damit CRC alle Doppelfehler erkennen kann? Aufgabe 12 (0 Punkte) Betrachten Sie bei CRC das Generatorpolynom C(x) = x 3 + x + 1. a) Zeigen Sie, dass CRC unter Verwendung des Generatorpolynoms C(x) nicht alle Doppelfehler erkennt. b) Geben Sie j in Funktion von i mit j < i an, sodass E(x) = x i + x j ohne Rest durch C(x) teilbar ist. Aufgabe 13 (0 Punkte) Die 2-dimensionale Paritätsüberprüfung ist eine Methode, welche das Erkennen von Fehlern bei der Übertragung binärer Daten erlaubt. Wir betrachten n 1 Codewörter der Länge m 1. Man hängt den Codewörtern der Länge m eine Prüfstelle, d. h. ein so genanntes Paritätsbit, derart an, dass jedes erweiterte Codewort eine gerade Anzahl von Einsen enthält. Nachdem die n Codewörter übertragen worden sind, wird ein Prüfwort, das wir Paritätswort nennen, übertragen, das derart belegt ist, dass die Spalten jeweils eine gerade Zahl von Einsen enthalten die Spalten ergeben sich durch Anordnung der übertragenen Codewörter als Zeilen in einer Matrix. Das Verfahren ist im folgenden Bild an einem Beispiel für m = 3 und n = 4 dargestellt. Paritätsbit 1. übertragenes Codewort: übertragenes Codewort: übertragenes Codewort: übertragenes Codewort: Paritätswort: Zeigen Sie, dass das Verfahren alle Doppelfehler und alle (2 k + 1)-fach Fehler für k Z, 0 k m n+m+n 2 erkennt, welche bei der Übertragung der n Codewörter und Paritätswort auftreten können. Aufgabe 14 (0 Punkte) Ein für mechanische Abtaster oftmals genutzter Code ist der Gray-Code. Ein Gray-Code ist ein Code, bei dem sich das Codewort bei einer minimalen Änderung des Ausgangswertes nur an einer Bitstelle ändert. Ein Beispiel für einen 2-Bit Gray-Code ist Ausgangswert Codewort

5 a) Ist ein Gray-Code in der Regel 1-fehlererkennend? b) Entwerfen Sie einen Gray-Code für die Werte 0 bis 15, wobei der Wert 8 durch ein Codewort repräsentiert werden soll, bei dem alle Stellen 0 sind? Aufgabe 15 (0 Punkte) Gegeben sei folgende Zeichenfolge: Ich sortiere Deine CD-Sammlung, waren die letzten Worte der Mutter. a) Berechnen Sie eine Huffman-Kodierung der Buchstaben vergessen Sie hierbei nicht das Leer- und die Sonderzeichen. Bei der Kodierung gehen Sie bitte von den Auftrittswahrscheinlichkeiten der Buchstaben in der obigen Zeichenfolge aus. Wie lange ist die mittlere Codewortlänge Ihres Codes? b) Geben Sie die Kodierung der obigen Zeichenfolge an. Ist diese Bitfolge wieder eindeutig dekodierbar? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 16 (0 Punkte) Kraft sche Ungleichung, Dekodierbarkeit Ein variabler Code c : A {0, 1} heisst dekodierbar, wenn für alle w {0, 1} es genau eine Folge a i1, a i2,..., a ik A mit gibt. c(a i1 ) c ( a i2 )... c(a ik ) = w a) Beweisen oder widerlegen Sie die Behauptung Ein Binärcode mit variabler Codewortlänge ist genau dann dekodierbar, wenn er präfixfrei ist. b) Sei c : A {0, 1} ein präfixfreier Code des endlichen Alphabets A = {a 1,..., a n }. l i sei die Länge des Codewortes c(a i ) des Symbols a i. Zeigen Sie, dass die Kraft sche Ungleichung für diese Werte l 1, l 2,..., l n gilt. n 2 l i 1 i=1 Aufgabe 17 (0 Punkte) Gegeben sei das Alphabet A = {u, v, w}. a) Geben Sie eine Kodierung c : A {0, 1} 3 mit Distanz 2 an. b) Gibt es eine Kodierung c : A {0, 1} 4 mit Distanz 3? Begründen Sie Ihre Antwort! c) Geben Sie einen 1-fehlerkorrigierenden Code c : A {0, 1} n (mit n N geeignet gewählt) für das Alphabet A an. 5