Lösungen 4.1 Analoge Übertragung mit PCM

Transkript

1 J. Lindner: Informationsübertragung Lösungen Kapitel 4 Lösungen 4. Analoge Übertragung mit PCM 4. a) Blockbild einer Übertragung mit PCM: q(t) A D 8 bit linear f Amin = 8kHz q(i) digitales ˆq(i) Übertragungs- D A Verfahren IP-TP f g = 4kHz q(t) Anmerkung: Da das Sprachsignal q(t) bereits auf f f g Anti Aliasingtiefpaß entfallen. = 4 khz begrenzt ist, kann der 4. b) Übertragungsrate k = 8 bit pro Abtastwert Abtastfrequenz f Amin = f g = 8 khz } rü = f Amin k = 64 kbit/s 4. c) Mindestbandbreite f auf dem Übertragungskanal 4 DPSK : M = 4 m = log M = bit/e.s. Symbolrate : = r ü 3 khz T s m Bandbreite des Raised Cosine : f = + α 48 khz T s 4. d) Bandbreitedehnfaktor β = f = 48 khz f g 4 khz = 4. e) Signal / Rauschleistungsverhältnis am Ausgang des Empfangs BP: S k SNR k = f N 0 SNR K beschreibt die Störungen, die durch den BP-Kanal verursacht werden. Signal /Störleistungsverhältnis am Empfängerausgang (vgl. Lüke, Kap 7.4.3): SNR q = q (t) [ q(t) q(t)] ] = }{{} k + 4P b }{{} Quantisierungsrauschen k... Zahl der bit/abtastwert bei linearer Quantisierung ( ) Kanalrauschen P b = P b (SNR k )... Bitfehlerwahrscheinlichkeit des digitalen Übertragungsverfahrens 4- Stand:

2 Kapitel 4 Lösungen J. Lindner: Informationsübertragung SNR q berücksichtigt also sowohl Fehler, die durch die Quantisierung hervorgerufen werden, als auch Störungen, die durch den Kanal verursacht werden. Damit gilt: SNR q = f(snr k ). Z.B. für unipolare Übertragung: P b = erfc 4 SNR k SNR q = k + erfc 4 SNR k bzw. für bipolare Übertragung: P b = erfc SNR k SNR q = k + erfc SNR k Zusammenhang zwischen dem Signal /Rauschleistungsverhältnis SNR K am Ausgang des Empfangs BP (Empfängereingang) und dem Signal /Störleistungsverhältnis SNR q am Empfängerausgang: AB C '? D!( &E" 5.'? D!( &F" #G DH.' /( ( #" I.3J@%? #6! #"%$'& ( )"+*,)"-& /.0 )"-!#3%34)"%5'.6 #387:9<;8= 5 "->-$ &. "% /$. 5.'6 Für große SNR k Werte ist das Rauschen auf dem Kanal vernachlässigbar und es folgt SNR q k = const Für kleine SNR k Werte kann das Quantisierungsrauschen vernachlässigt werden. Die Störleistung wird durch das Kanalrauschen dominiert. Da dann aber P b << 0.5 nicht mehr gilt, ist auch Gleichung ( ) nicht mehr gültig (vgl. Lüke, Kap ). Asymptotisch gilt dann SNR q = SNR k. Lösungen 4. Analoge Übertragung über Quadraturkomponenten 4. a) Analoge Übertragung mit Quadraturmodulation bzw. demodulation CK Äquivalentes TP Signal (komplexwertig!): s T (t) = s T R (t) +j s }{{} T I (t) }{{} s 0 (t) s (t) Sender (TP BP-Transformation): 4-

3 J. Lindner: Informationsübertragung Lösungen Kapitel 4 { } s(t) = Re s T (t)e jπf 0t = s 0 (t) cos (πf 0 t) s (t) sin (πf 0 t) Empfänger (BP TP-Transformation): [ ] g T (t) = s(t)e jπf 0t h T P (t) = [s(t) cos (πf 0 t) js(t) sin (πf 0 t)] h T P (t) g T R (t) = [s(t) cos (πf 0 t)] h T P (t) = s 0 (t) g T I (t) = [s(t) sin (πf 0 t)] h T P (t) = s (t) Analoge Übertragung mit Quadraturmodulator und -demodulator: Modellbild mit reelwerigen Signalpfaden: s 0 (t) Sender cos(πf 0 t) - s (t) sin(πf 0 t) Übertragung g T R = s 0 (t) h T P Empfänger cos(πf 0 t) g(t) BP g T I (t) = s (t) h T P sin(πf 0 t) f 0BP = f 0 f = f g kann bei idealer (störungsfreier) Übertragung entfallen Analoge Übertragung mit Quadraturmodulator und -demodulator: Modellbild mit komplexwerigen Signalpfaden: 4-3 Stand:

4 Kapitel 4 Lösungen J. Lindner: Informationsübertragung Sender s T (t) = s 0 (t) + js (t) Re s(t) e jnf 0t Übertragung g T (t) = s 0 (t) + js (t) Empfänger h T P (t) g(t) BP e jnf 0t f 0BP = f 0 f = f g kann bei idealer (störungsfreier) Übertragung entfallen 4. b) Einfluß einer Phasen bzw. Frequenzverschiebung zwischen Sende und Empfangsoszillator g T (t) = s(t)e jπf0t e j π }{{} h T P (t) = ( j) s T R (t) +j s }{{} T I (t) }{{} ( j) s 0 (t) s (t) Mit 90 Phasenverschiebung: g T (t) = s (t) js 0 (t) Ohne Phasenverschiebung: g T (t) = s 0 (t) + js (t) Kanäle sind vertauscht! Für beliebige Phasenverschiebung ϕ folgt: g T (t) = [s 0 (t) cos ϕ + s (t) sin ϕ] + j [ s 0 (t) sin ϕ + s (t) cos ϕ] Übersprechen zwischen den Kanälen: Quadraturkomponenten auf der Empfangsseite bestehen aus Linearkombinationen der Quadraturkomponenten auf der Sendeseite. Anmerkung: Die Störung durch Übersprechen ist maximal, wenn sin ϕ = cos ϕ = ± gilt. Frequenzoffset f zwischen Sende und Empfangsoszillator: g(t) = s(t) e jπf 0t e jπ ft = s 0(t) e jπ ft + j s (t) e jπ ft + [...] e jπ ft Der letzte Ausdruck ([...] e jπ ft ) wird für f f 0 durch h T P (t) herausgefiltert. g T (t) = [s 0 (t) cos (π ft) + s (t) sin (π ft)] +j [ s 0 (t) sin (π ft) + s (t) cos (π ft)] Zeitlich veränderliches Übersprechen: Quadraturkomponenten auf der Empfangsseite bestehen aus zeitabhängigen Linearkombinationenen der Quadraturkomponenten auf der Sendeseite. Langsames Drehen mit der Frequenz f von einem Kanal in den anderen. Anmerkung: Die Frequenzverschiebung f muß klein genug sein, so daß das verschobene Spektrum vollständig im Durchlaßbereich des Empfangstiefpaßfilters liegt. Ansonsten wird das Signal verzerrt. 4. c) Analoge Übertragung mit analytischen Signalen Es gilt (NT I,.4.): s 0+ (t) = s 0 (t) + j πt s 0(t) s (t) = s (t) j πt s (t) }{{} Hilberttransformation 4-4

5 K K X K K J. Lindner: Informationsübertragung Lösungen Kapitel 4 s T (t) = s 0+ (t) + s (t) = [s 0 (t) + s (t)] +j [s }{{} 0 (t) s (t)] }{{ πt} s T R s T I Analoge Übertragung mit analytischen Signalen: Modellbild des Senders mit reelwertigen Signalen: s 0 (t) s(t) - cos(πf 0 t) s (t) - πt sin(πf 0 t) Anmerkung: Hilberttransformation S H (f) = j sgn(f) S(f) bzw. j S H (f) = sgn(f) S(f) negative Frequenzanteile werden umgeklappt positive Frequenzanteile bleiben Zusammenhang zwischen Signalspektren und den Spektren der analytischen Signale: L MN!O%P K'Q L MNSRJP KQ U K T K-T U K T K%T MO%P K'Q MOWV'P KQ X MO-P KQ Y LMN!O%P KQ M RJP KQ M R]\ P KQ MRJP KQ U LMNZR[P KQ U K-T K-T U K-T K%T Lösungen 4.3 Hüllkurvenempfänger 4.3 a) Blockbild eines suboptimalen Hüllkurverempfängers (Überlagerungsversion): g(t) BP BP TP g(t) f BP 0, f 0 cos(πf M t) f ZF, f Betragsbildung f g Glättungs-TP 4-5 Stand:

6 Kapitel 4 Lösungen J. Lindner: Informationsübertragung f 0 : Bandbreite des gesamten ] zu empfangenden ] Frequenzbandes (alle Sender): : f 0 = [f 0max + f [f 0min f = 079 khz f0 BP : Mittenfrequenz des Eingangs BP f0 BP = f 0max+f 0min = 070 khz f M : variable Empfangsmittenfrequenz f : Bandbreite eines einzelnen MW Senders: f = 9 khz 4.3 b) vergleiche Aufgabenteil a): f 0 = 079 khz f = 9 khz 4.3 c) f ZF = f 0 f M = f 0 f M für f 0 > f M 4.3 d) Spiegelfrequenz f 0s Signalspektren. Entstehung der Spiegelfrequenz: f M f M f 0 f 0s f ZF f ZF fm f 0s f 0 f fm Es gilt für f 0 > f M : f 0s = f M f ZF = f 0 f ZF 4.3 e) Aus d): f ZF > (f 0 f 0s ) Falls f 0 = f 0max gilt (Oberkante des Bandes), muß die Spiegelfrequenz gerade unterhalb des Unterkante des Bandes liegen: f 0s < f 0min f ZF > (f 0max f 0min ) = 535 khz (Anmerkung: Praktisch verwendet wird fzf MW = 485 khz) UKW Rundfunk: f ZF > 0 MHz (Praktisch verwendet: fzf UKW = 0.7 MHz) 4.3 f) f M muß so gewählt werden können, daß alle MW Sender mit f 0min f 0 < f 0max in die ZF Lage moduliert (gemischt) werden können. Allgemein: f ZF = f 0 f M f M = f 0 f ZF f Mmax = f 0max f ZF = 070 khz f Mmin = f 0min f ZF = 0 } 0 f M < 070 khz 4-6

7 J. Lindner: Informationsübertragung Lösungen Kapitel g) ZSB AM: f = f g f g = 4.5 khz 4-7 Stand: