Signale und Systeme I

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1 TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Signale und Systeme I Modulklausur SS 07 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Name: Matrikelnummer: Erklärung der Kandidatin/des Kandidaten vor Beginn der Prüfung Hiermit bestätige ich, dass ich zur Prüfung angemeldet und zugelassen bin und dass ich prüfungsfähig bin. Ich nehme zur Kenntnis, dass der Termin für die Klausureinsicht vom Prüfungsamt ET&IT bekannt gegeben wird, sobald mein vorläufiges Prüfungsergebnis im QIS-Portal veröffentlicht wurde. Nach dem Einsichtnahmetermin kann ich meine endgültige Note im QIS-Portal abfragen. Bis zum Ende der Widerspruchsfrist des zweiten Prüfungszeitraums der CAU kann ich beim Prüfungsausschuss Widerspruch gegen dieses Prüfungsverfahren einlegen. Danach wird meine Note rechtskräftig. Korrektur Unterschrift: Aufgabe Punkte / / / Summe der Punkte: /00 Einsicht/Rückgabe Hiermit bestätige ich, dass ich die Korrektur der Klausur eingesehen habe und mit der auf diesem Deckblatt vermerkten Bewertung einverstanden bin. Die Klausurunterlagen verbleiben bei mir. Ein späterer Einspruch gegen die Korrektur und Benotung ist nicht mehr möglich. Kiel, den Unterschrift: Digitale Signalverarbeitung und Systemtheorie, Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt, Signale und Systeme I

2 Signale und Systeme I Modulklausur SS 07 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Zeit: 9:00 h 0:0 h (90 Minuten) Ort: CAP - Frederik-Paulsen-Hörsaal + H Hinweise Schreiben Sie auf jedes abzugebende Blatt deutlich Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Legen Sie Ihren Studentenausweis und Personalausweis zur Überprüfung bereit. Die Aufgaben dürfen erst bearbeitet werden, wenn alle Teilnehmer die Aufgabenstellungen erhalten haben. Während der Klausur werden nur Fragen zur Aufgabenstellung beantwortet. Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe einen neuen mit Namen und Matrikelnummer versehenen Papierbogen. Zusätzliches Papier erhalten Sie auf Anfrage. Lösungswege müssen zur Vergabe der vollen Punktzahl immer nachvollziehbar und mit Begründung versehen sein. Sind Funktionen zu skizzieren, müssen grundsätzlich alle Achsen beschriftet werden. Verwenden Sie zum Schreiben weder Bleistift noch Rotstift. Beachten Sie, dass die Punkteverteilung in den Teilaufgaben nur vorläufig ist! Fünf Minuten und eine Minute vor Klausurende werden Ankündigungen gemacht. Wird das Ende der Bearbeitungszeit angesagt, darf nicht mehr geschrieben werden. Legen Sie am Ende der Klausur alle Lösungsbögen ineinander (so, wie sie ausgeteilt wurden) und geben Sie auch die Aufgabenblätter mit ab. Bevor alle Klausuren eingesammelt sind, darf weder der Sitzplatz verlassen noch geredet werden. Alle Hilfsmittel außer die Kommunikation mit anderen Personen sind erlaubt. Mobiltelefone sind auszuschalten. Laptops, Tablets und ähnliche Geräte sind nicht erlaubt, da sie als Kommunikationsmittel tauglich sind. Die Aufgaben und eine Lösung werden auf der Homepage der Vorlesung veröffentlicht. Dort werden ebenso Termin und Ort der Klausureinsicht bekanntgegeben. Signale und Systeme I II

3 Aufgabe ( Punkte) Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist das zeitkontinuierliche, periodische Signal v (t) = v (t + λ T ), λ Z durch: ( ) v (t) = sin ω 0t, ω 0 R, T 0 = π. ω 0 (a) Welche Aussagen können Sie über das Spektrum V (jω) = F{v (t)} bezüglich Sym- ( P) metrien von Real- und Imaginärteil machen? Begründen Sie Ihre Antwort kurz (keine Rechnung erforderlich). Das Signal v (t) ist reell und ungerade. Aufgrund der Symmetriebeziehungen ist das Spektrum V (jω) vollständig imaginär und ungerade. (b) Bestimmen Sie das Spektrum V (jω) und skizzieren Sie V (jω) mit allen Achsen- (6 P) beschriftungen. ( ) v (t) = sin ω 0t = ( ( ) ( )) sin ω 0t sin ω 0t. V (jω) = [ jπ δ 0 (ω + ) ( ω 0 δ 0 ω )] ω 0 [ jπ δ 0 (ω + ) ( ω 0 δ 0 ω )] ω 0. V (jω)/π ω ω 0 Signale und Systeme I

4 Aufgabe ( Punkte) (c) Bestimmen Sie die minimale Periodendauer T von v (t). (6 P) Die Summe zweier periodischer Funktionen ist periodisch, wenn die Periodendauer T a und T b der beiden Funktionen ganzzahlige Vielfache voneinander sind. Für die Periodendauer T der Summe gilt dann: T = λ a T a = λ b T b mit λ a, λ b N. ( ) ( ) Das Signal v (t) besteht aus zwei periodischen Funktionen sin ω 0t und sin ω 0t. Die Periodendauer der ersten Funktion ist T a = T 0 und der zweiten T b = T 0. Die Periodendauer der ersten Funktion ist das dreifache der zweiten. Es folgt für die Periodendauer des Signals v (t): T = T a = T 0. Das Signal v (t) wird nun mit der Abtastfrequenz f A = T A mit T A = T α abgetastet, sodass gilt v(n) = v (n T A ). (d) Geben Sie die Definition des Abtasttheorems an. ( P) Das von Shannon formulierte Abtasttheorem besagt, dass ein Signal/Funktion v(t) mit maximaler Frequenz f max, durch eine Reihe von Abtastwerten v(n T A ) mit der Abtastperiode T A = f max eindeutig bestimmt ist. In der Signalverarbeitung entspricht dies der Abtastung mit einer Abtastrate f A > f max. (e) Bestimmen Sie den Wertebereich für α, für den das Abtasttheorem erfüllt ist. (6 P) Das Abtasttheorem ist erfüllt, wenn f A = T A > f max. Da das Signal v (t) aus zwei Sinussignalen besteht, können die einzelnen Frequenzen bestimmt werden: f a = f 0 f b = f 0. Somit ist die maximale im Signal v (t) vorhandene Frequenz f max = f 0. f A = T A > f max = 6 f 0 T A < 6 T 0 = T 6 α > 6. (f) Bestimmen Sie für alle α die Zeitdiskrete Fourier-Transformation V (α) (e jω) des Si- ( P) gnals v(n) = v (n T A ). Signale und Systeme I

5 Aufgabe ( Punkte) V (α) ( e jω) = jπ jπ λ= λ= [δ 0 (Ω + α π πλ ) δ 0 (Ω α π πλ )] [δ 0 (Ω + α π πλ ) δ 0 (Ω α π πλ )] (g) Skizzieren Sie V (α) (e jω) für α = und α = im Intervall Ω [ π, π]. Was fällt (5 P) Ihnen dabei auf? Welches aus der Signalverarbeitung bekannte Phänomen können Sie beobachten? Es fällt auf, dass bei α = sich die Spektralanteile überlappen. Das liegt an der zu niedrigen Abtastfrequenz. Die Frequenzanteile f > f A im Spektrum erscheinen an der Stelle f f A. Das nennt man Aliasing. V () (e jω) /π Ω π Hinweis: sin (x) = ( ) sin(x) sin(x) Signale und Systeme I

6 Aufgabe ( Punkte) V () (e jω) /π Ω π Aufgabe ( Punkte) Gegeben sind zwei Folgen, n = 0, n = v (n) =, n =,, n = 0, sonst, n = 0, n = v (n) =., n = 0, sonst (a) Skizzieren Sie die Folgen v (n) und v (n) mit allen Achsenbeschriftungen für ( P) n {0,,..., }. (b) Berechnen Sie die lineare Faltung v a (n) = v (n) v (n) der Folgen v (n) und v (n) ( P) für n {0,,..., 5}. v (n) v (n) = κ= v (κ)v (n κ). v a (0) = v a () = 0 v a () = 0 v a () = 5 v a () = 5 Signale und Systeme I

7 Aufgabe ( Punkte) v a (5) =. (c) Berechnen Sie die zyklische Faltung v b (n) = v (n) v (n) der Länge der Folgen ( P) v (n) und v (n) für n {0,,..., }. v (n) v (n) = v (κ)v (n κ) mod M. κ=0 v b (0) = v (0)v (0) + v ()v () + v ()v () + v ()v () = 6 v b () = v (0)v () + v ()v (0) + v ()v () + v ()v () = v b () = v (0)v () + v ()v () + v ()v (0) + v ()v () = 0 v b () = v (0)v () + v ()v () + v ()v () + v ()v (0) = 5. (d) Berechnen Sie die diskrete Fourier-Transformation V,M (µ) der Folge v (n) für (6 P) M = und µ {0,,..., }. V M (µ) = M v(n)e jµ π M n. V, (0) = + + =, V, () = e j π (0) e j π () + e j π + e j π, = e j π + e jπ + e j π = + j, V, () = e j π (0) e j π () + e j π + e j π, = e jπ + e jπ + e jπ = 5, V, () = e j π (0) e j π () + e j π + e j π, v (n) v (n) n n Signale und Systeme I 5

8 Aufgabe ( Punkte) = e j π + e jπ + e j 9π = j. (e) Berechnen Sie die diskrete Fourier-Transformation V,M (µ) der Folge v (n) für (6 P) M = und µ {0,,..., }. V M (µ) = M v(n)e jµ π M n. V, (0) = = V, () = e j π (0) + e j π () + e j π, = + e j π + e jπ = j, V, () = e j π (0) + e j π () + e j π, = + e jπ + e jπ = 0, V, () = e j π (0) + e j π () + e j π, = + e j π + e jπ = j. (f) Berechnen Sie die diskrete Fourier-Transformation V b,m (µ) der Folge v b (n) für (6 P) M = und µ {0,,..., }. V M (µ) = M v(n)e jµ π M n. V b, (0) = =, V b, () = 6 e j π (0) + e j π () + 5 e j π, = 6 + e j π + 5 e j π = 6 + j, V b, () = 6 e j π (0) + e j π () + 5 e j π, = 6 + e jπ + 5 e jπ = 0, V b, () = 6 e j π (0) + e j π () + 5 e j π, = 6 + e j π + 5 e j 9π = 6 j. (g) Berechnen Sie das Produkt V (µ) = V, (µ) V, (µ). Was fällt Ihnen im Zusammen- ( P) hang mit v b (n) auf? Welche Beziehung lässt sich daraus ableiten? V, (0) V, (0) = =, V, () V, () = ( + j) ( j) = 6 + j, Signale und Systeme I 6

9 Aufgabe ( Punkte) V, () V, () = 5 0 = 0, V, () V, () = ( j) j = 6 j. Das Produkt V M (µ) = V,M (µ) V,M (µ) liefert das gleiche Ergebnis, wie die DFT der Folge v b (n). Daraus lässt sich folgende Beziehung ableiten: v (n) v (n) V,M (µ) V,M (µ). (h) Zeigen Sie, dass die nachfolgende Beziehung für λ Z richtig ist: ( P) V M (µ + λm) = V M (µ). V M (µ + λm) = = = = M M M M v(n) e j(µ+λm) π M n v(n) e jµ π M n e jλm π M n v(n) e jµ π M n e jλπn v(n) e jµ π M n = V M (µ). Signale und Systeme I 7

10 Aufgabe ( Punkte) Aufgabe ( Punkte) Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil gelöst werden. Gegeben sei nachfolgendes Pol-Nullstellen-Diagramm der Übertragungsfunktion H (s) jω s,0 s 0, 0, 5 s, s 0,0 s 0, s 0, 0, 5 0, 5 σ 0, 5 s, Abbildung : Pol-Nullstellen-Diagramm (a) Ergänzen Sie eine minimale Anzahl von zusätzlichen Pol- und Nullstellen, damit ( P) das System H (s) reelwertig wird. Es werden zwei zusätliche Polstellen bei : und eine zusätzliche Nullstelle bei: benötigt. s,0 = j und s, = 0, 75 + j s 0, = 0, 5 0, 5j Signale und Systeme I

11 Aufgabe ( Punkte) s, jω s,0 s 0, 0, 5 s, s 0,0 s 0, s 0, 0, 5 0, 5 σ s 0, 0, 5 s, s,0 Abbildung : Pol-Nullstellen-Diagramm (b) Geben Sie die Übertragungsfunktion H (s) inkl. der zusätzlichen Pol- und Nullstellen ( P) an. H (s) = K (s s 0,0)(s s 0, )(s s 0, )(s s 0, )(s s 0, ) (s s,0 )(s s,0 )(s s,)(s s, )(s s, ) ( )( )( )( ) s s 0, 5 s s ( 0, 5 + 0, 5j) s ( 0, 5 0, 5j) = K ( )( )( )( )( ) s ( + j) s ( j) s + 0, 5 s ( 0, 75 j) s ( 0, 75 + j) (c) Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein kontinuierliches System stabil ( P) ist? Re{s,i } < 0 i Zählergrad{H(s)} Nennergrad{H(s)} (d) Das System H (s) soll nun mit einem zweitem System H (s) zusammengeschaltet (7 P) werden, sodass gilt H(s) = H (s) H (s). Entwerfen Sie ein System H (s), sodass H(s) alle Kriterien für Stabilität erfüllt. Hinweis: Es existieren mehrere korrekte Lösungen. Es ist ausreichend, wenn Sie eine angeben. Das Kriterium Zählergrad{H(s)} Nennergrad{H(s)} wird von H (s) erfüllt. Das Signale und Systeme I 9

12 Aufgabe ( Punkte) Kriterium Re{s,i } < 0 i jedoch nicht. H (s) muss also mindestens über folgende Nullstellen: s 0,0 = j und s 0,0 = + j verfügen. Nun würde eine Zusammenschaltung von H (s) und H (s) dazu führen, dass H(s) das zweite Kriterium nicht erfüllt, da so der Zählergrad größer als der Nennergrad wäre. Aus diesem Grund benötigt das zu entwerfende System noch zwei beliebige Polstellen, für die natürlich ebenfalls gilt Re{s,i } < 0 i. Ein Beispiel für das System könnte H (s) = (H (s)) lauten. Daraus würde sich ergeben. H(s) = H (s) H (s) = Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil gelöst werden. Nun werde ein diskretes System H d (z) betrachtet. H d (z) = z z 0, 5z + 0, 5 z (e) Zeichen Sie das zugehörige Pol- Nullstellen-Diagramm für H d (z). (5 P) Berechnung der Pol- und Nullstellen: Polstellen bei: Nullstellen: z,0 = z, = 0 z 0,0 = (durch probieren) (z z 0, 5z + 0, 5)/(z ) = z 0, 5 z 0, = 0.5 z 0, = 0, 5 Abbildung Signale und Systeme I 0

13 Aufgabe ( Punkte) (f) Geben sie die Differenzengleichung des Systems H d (z) an. (5 P) H d (z) = Y (z) X(z) = (z z 0, 5z + 0, 5) z = (z 0, 5z + 0, 5z ) Y (z) = X(z)(z 0, 5z + 0, 5z ) y(n) = x(n + ) x(n) 0, 5x(n ) + 0, 5x(n ) (g) Ist das System kausal? Begründen Sie Ihre Antwort! ( P) Nein ist es nicht. Der Systemausgang hängt von zukünftigen Eingangswerten ab. (h) Wie hätten Sie die vorherige Frage bereits bei der Betrachtung der Übertragungs- ( P) funktion H d (z) beantworten können? Der Zählergrad von H d (z) ist größer als der Nennergrad von H d (z). (i) Ist das System rekursiv? Begründen Sie Ihre Antwort! ( P) Nein es ist nicht rekursiv, da der Ausgang nur von aktuellen, vergangenden und in diesem Fall auch zukünftigen Eingangswerten, nicht aber von den entsprechenden Ausgangswerten abhängt. Signale und Systeme I