Signale und Systeme II

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1 TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Signale und Systeme II Modulklausur WS 07/08 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Name: Matrikelnummer: Erklärung der Kandidatin/des Kandidaten vor Beginn der Prüfung Hiermit bestätige ich, dass ich zur Prüfung angemeldet und zugelassen bin und dass ich prüfungsfähig bin. Ich nehme zur Kenntnis, dass der Termin für die Klausureinsicht vom Prüfungsamt ET&IT bekannt gegeben wird, sobald mein vorläufiges Prüfungsergebnis im QIS-Portal veröffentlicht wurde. Nach dem Einsichtnahmetermin kann ich meine endgültige Note im QIS-Portal abfragen. Bis zum Ende der Widerspruchsfrist des zweiten Prüfungszeitraums der CAU kann ich beim Prüfungsausschuss Widerspruch gegen dieses Prüfungsverfahren einlegen. Danach wird meine Note rechtskräftig. Korrektur Unterschrift: Aufgabe 3 Punkte /34 /33 /33 Summe der Punkte: /00 Einsicht/Rückgabe Hiermit bestätige ich, dass ich die Korrektur der Klausur eingesehen habe und mit der auf diesem Deckblatt vermerkten Bewertung einverstanden bin. Die Klausurunterlagen verbleiben bei mir. Ein späterer Einspruch gegen die Korrektur und Benotung ist nicht mehr möglich. Kiel, den Unterschrift: Digitale Signalverarbeitung und Systemtheorie, Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt, Signale und Systeme II

2 Signale und Systeme II Modulklausur WS 07/08 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Zeit: 09:00 h 0:30 h 90 Minuten) Ort: OS75 - Hans-Heinrich-Driftmann-Hörsaal ehem. Hörsaal 3) Hinweise Schreiben Sie auf jedes abzugebende Blatt deutlich Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Legen Sie Ihren Studentenausweis und Personalausweis zur Überprüfung bereit. Die Aufgaben dürfen erst bearbeitet werden, wenn alle Teilnehmer die Aufgabenstellungen erhalten haben. Während der Klausur werden nur Fragen zur Aufgabenstellung beantwortet. Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe einen neuen mit Namen und Matrikelnummer versehenen Papierbogen. Zusätzliches Papier erhalten Sie auf Anfrage. Lösungswege müssen zur Vergabe der vollen Punktzahl immer nachvollziehbar und mit Begründung versehen sein. Sind Funktionen zu skizzieren, müssen grundsätzlich alle Achsen beschriftet werden. Verwenden Sie zum Schreiben weder Bleistift noch Rotstift. Beachten Sie, dass die Punkteverteilung in den Teilaufgaben nur vorläufig ist! Fünf Minuten und eine Minute vor Klausurende werden Ankündigungen gemacht. Wird das Ende der Bearbeitungszeit angesagt, darf nicht mehr geschrieben werden. Legen Sie am Ende der Klausur alle Lösungsbögen ineinander so, wie sie ausgeteilt wurden) und geben Sie auch die Aufgabenblätter mit ab. Bevor alle Klausuren eingesammelt sind, darf weder der Sitzplatz verlassen noch geredet werden. Alle Hilfsmittel außer die Kommunikation mit anderen Personen sind erlaubt. Mobiltelefone sind auszuschalten. Laptops, Tablets und ähnliche Geräte sind nicht erlaubt, da sie als Kommunikationsmittel tauglich sind. Die Aufgaben und eine Lösung werden auf der Homepage der Vorlesung veröffentlicht. Dort werden ebenso Termin und Ort der Klausureinsicht bekanntgegeben. Signale und Systeme II II

3 Aufgabe 34 Punkte) Aufgabe 34 Punkte) Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil und 3 gelöst werden. Gegeben sei die Verteilungsfunktion eines Zufallsprozesses mit den Unbekannten a,b,c R und der Eulerschen Zahl e: a, für x < F x x) = ln5b x), für x e c, sonst a) Bestimmen Sie die Unbekannten a, b, c. 3 P) a = 0, b = 5, c = b) Berechnen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte mit den Ergebnissen aus a). 3 P) Es gilt f x x) = d dx F xx). 0, für x < f x x) = x, für x e 0, sonst c) Berechnen Sie das erste und zweite Moment des Zufallsprozesses. 6 P) E{x} = = [ ] e x x f x x) dx = = e e x x dx E{x } = = [ x ] e x f x x) dx = = e e x x dx d) Berechnen Sie nun das zweite zentrale Moment des Zufallsprozesses. P) { E x E{x}) } = E{x } E {x} = e e ) = e e.5 Signale und Systeme II

4 Aufgabe 34 Punkte) Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil und 3 gelöst werden. Gegeben sei die folgende Verbundwahrscheinlichkeitsdichte: ) α v f v,v v, v ) = e β v γ, für v 3 v R 0, sonst Die Freiheitsgrade α, β, γ sind zunächst unbekannt und werden als reelle Zahlen angenommen. e) Berechnen Sie die Randdichte f v v ). 3 P) f v v ) = = 3 [ f v,v v, v ) dv α v e β = 5 α e β v γ ) ] v =3 v γ v = ), v R f) Bestimmen Sie α so, dass f v v ) einer Gaußverteilung entspricht. 3 P) Aus dem Vergleich mit der bekannten Wahrscheinlichkeitsdichte folgt 5 α! = πσ und β =!. Daraus folgt α = σ 5 β π. g) Bestimmen Sie f v v ) unter der Annahme, dass v und v statistisch unabhängig 4 P) voneinander sind. Skizzieren Sie f v v ) anschließend in einem geeigneten Intervall. Es gilt f v,v v, v ) = f v v ) f v v ). f v,v v, v ) = 5 v 5 α e β 0 Daraus folgt: ) v γ f v v ) = = { 5 v f v v ), für v 3 v R 0, sonst { 5 v, für v 3 0, sonst. 0.8 fv v) v Signale und Systeme II

5 Aufgabe 34 Punkte) Teil 3 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil und gelöst werden. Das reelle Ausgangssignal yn) eines LTI-Systems wird allgemein durch folgende Gleichung beschrieben, wobei vn) das reelle Eingangssignal des Systems ist: yn) = i= h 0 i) vn i), h 0 i) R. h) Geben Sie einen ähnlichen Zusammenhang für die Korrelationsfunktionen s yv κ) und P) s vv κ) der Signale bei stationärer Anregung an. Wie lässt sich dieser Ausdruck mittels eines Faltungsoperators schreiben? s yv κ) = h 0 i) s vv κ i) = h 0 κ) s vv κ) i= Nun wird das System mit idealem weißen Rauschen m v = 0, σ v = 0.5) angeregt. Zusätzlich gilt h 0 i) = i im Intervall 0 < i < 4 und h 0 i) = 0 sonst. i) Skizzieren Sie s yv κ) mit allen notwendigen Angaben. 5 P) s yv κ) κ j) Berechnen Sie S yv e j ). 3 P) Nutze Korrespondenzen: S yv e j ) = F { s yv κ) } = 0.5e j + e j + 4.5e j3 Signale und Systeme II 3

6 Aufgabe 33 Punkte) Aufgabe 33 Punkte) Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil und Teil 3 gelöst werden. Gegeben sei folgende Differenzengleichung eines linearen zeitinvarianten Systems mit Eingang vn) und Ausgang yn): yn) = yn ) vn ) + vn 3) + vn 5) + vn 6) + vn 8) vn 0). a) Wie lautet die Übertragungsfunktion Hz) des Systems? 3 P) Hz) = Y z) V z) = z + z 3 + z 5 + z 6 + z 8 z 0 z = z z z + z z 3 z + z z 5 z + z z 6 z + z z 8 z z z 0 z b) Wie lautet die Impulsantwort des Systems? Zeichnen Sie diese für 3 < n <. 5 P) Inverse z-transformation des Ergebnisses aus a) bzw. Anregung des Systems mit vn) = γ 0 ) ergibt: h 0 n) = γ n ) + γ n 3) + γ n 5) + γ n 6) + γ n 8) γ n 0) h 0 n) n c) Besitzt das System einen direkten Durchgriff? Begründen Sie anhand Ihres Ergeb- P) nisses aus b). Nein, da h0) = 0. Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil und Teil 3 gelöst werden. Nun sei folgende Gleichung eines linearen zeitinvarianten Systems mit Eingang vn) und Ausgang yn) gegeben: yn + 4) = yn + ) + 4yn + ) 3yn ) + vn + 3) vn + ) + 7vn) Signale und Systeme II 4

7 Aufgabe 33 Punkte) d) Zeichnen Sie den Zustandsraumgraphen der Direktform II. 5 P) Da LTI-System kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden: yn) = yn ) + 4yn 3) 3yn 5) + vn ) vn 3) + 7vn 4) Die Direktform II lautet: vn) xn + ) b 0 = 0 yn) z xn) a = 0 b = z xn ) a = b = 0 z xn ) a 3 = 4 b3 = z xn 3) a 4 = 0 b4 = 7 z xn 4) a 5 = 3 e) Besitzt das System einen direkten Durchgriff? Begründen Sie. P) Nein, da vn) keinen direkten Einfluss auf yn) besitzt b 0 = 0). f) Bestimmen Sie die Matrizen A, B, C, D des Zustandsraums gemäß der Definition 4 P) aus der Vorlesung. Geben Sie zusätzlich Ihre Definition des Zustandsvektors an. Beziehen Sie sich dabei auf Ihr Ergebnis aus d). Signale und Systeme II 5

8 Aufgabe 33 Punkte) Laut Skript IX-3) und Definition der Zustände gemäß Aufgabenteil d): [ ] T x = xn) xn ) xn ) xn 3) xn 4) a a a 3 a 4 a A = = [ ] T b = ] T c = [ b b 0 a b b 0 a b3 b 0 a 3 b4 b 0 a 4 b5 b 0 a 5 [ ] T = d = b 0 = 0 Signale und Systeme II 6

9 Aufgabe 33 Punkte) Teil 3 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil und Teil gelöst werden. Gegeben sei nun folgender Signalflussgraph:? v 0 n) x 0 n + ) z x 0 n)??? y 0 n) v n) z x n + ) x n)?? Außerdem seien die Zustände xn) = [x 0 n), x n)] T und das Ausgangssignal y 0 n) für n < 4 bekannt: 0, n <, 0, n,, 5, n =,, n =, x 0 n) = x n) =, n =,, n = 3,, 75, n = 3, , n <, 4, n =, y 0 n) = 4, 5, n =, 7, 5, n = 3,... Des Weiteren sei vn) = [v 0 n), v n)] T = [γ 0 n), γ 0 n )] T, wobei γ 0 n) das Kronecker- Delta beschreibt. g) Wie lauten die allgemeinen Zustandsraumgleichungen gemäß der Definition aus der P) Vorlesung? Allgemein kann ein System in Zustandsraumdarstellung durch beschrieben werden. xn + ) = A xn) + B vn) yn) = C xn) + D vn) Signale und Systeme II 7

10 Aufgabe 33 Punkte) h) Nennen Sie eine verbreitete Anwendung der Systembeschreibung im Zustandsraum. P) Zum Beispiel Kalman-Filter bspw. für Tracking,...). i) Welche Einschränkungen gelten für Systeme, die im Zustandsraum mit festen Para- P) metern beschrieben werden können? LTI-System lineares, zeitinvariantes System. j) Bestimmen Sie die Matrizen A, B, C, D des Zustandsraums. Wie werden diese P) allgemein bezeichnet? Aus dem Signalflussgraphen können die Matrizen wie folgt abgelesen werden: [ ] [ ]?? a a A = =,?? a a [ ] 0 B =, 0 [ ] C = c =?? = [ ] D = d = 0. [c c ], Berechnen der Einträge der Matrix C durch die in Teil g) angegebene zweite Zustandsraumgleichung: y 0 n) = c x 0 n) + c x n) + v n) Einsetzen der Werte für n = ergibt c = 3. Werden nun das Ergebnis für c und die Werte für n = eingesetzt ergibt sich c =. Und somit: [ ] c = 3 Berechnen der Einträge der Matrix A durch die in Teil g) angegebene erste Zustandsraumgleichung: x 0 n + ) = a x 0 n) + a x n) + v n) x n + ) = a x 0 n) + a x n) + v n) Einsetzen der Werte für n = ergibt a = 0.5 und a =. Nutzen der Erkenntnisse über a und a und einsetzen der Werte für n = ergibt a = und a = 0.5 und somit: [ ] 0, 5 A = 0, 5 A Systemmatrix, B Eingangsmatrix, C Ausgangsmatrix, D Durchgangsmatrix. Signale und Systeme II 8

11 Aufgabe 3 33 Punkte) Aufgabe 3 33 Punkte) Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil gelöst werden. Gegeben ist das nachfolgende Blockschaltbild eines Modulators: frag replacements cos n) v 6 n) Tiefpass Hochpass Tiefpass v 7 n) vn) v n) v n) v 3 n) v 4 n) v 5 n) S { } sin 0 n) cos 0 n) sin n) wobei es sich bei vn) um das Nutzsignal handelt. Die Grenzfrequenzen der idealen Hochund Tiefpässe liegen identisch bei 0. a) Berechnen Sie die Signale v n) bis v 7 n) für den Fall, dass am Eingang ein kosinus- 7 P) förmiges Signal vn) = cos m n) anliegt. Es gelte: 0 < m < 0 und > m. Signale und Systeme II 9

12 Aufgabe 3 33 Punkte) vn) = cos m n), v n) = vn) sin 0 n) = cos m n) sin 0 n) ) ) = sin 0 m )n + sin 0 + m )n, ) v n) = sin 0 + m )n, ) v 3 n) = sin 0 + m )n cos 0 n) ) = sin m n) + sin 0 + m )n, v 4 n) = sin m n), v 5 n) = sin m n) sin n) ) ) = cos m )n cos + m )n, v 6 n) = cos m n) cos n) ) ) = cos m )n + cos + m )n, v 7 n) = v 6 n) + v 5 n) ) = cos m )n. b) Geben Sie die Spektren V e j) bis V 7 e j) an. 7 P) Signale und Systeme II 0

13 Aufgabe 3 33 Punkte) V e j) = π V e j) = jπ + jπ V e j) = jπ V 3 e j) = jπ + jπ V 4 e j) = jπ V 5 e j) = π π V 6 e j) = π + π V 7 e j) = π [γ 0 + m πk) + γ 0 m πk)], [γ m ) πk) γ 0 0 m ) πk)] [γ m ) πk) γ m ) πk)], [γ m ) πk) γ m ) πk)], [γ 0 + m πk) γ 0 m πk)] [γ m ) πk) γ m ) πk)], [γ 0 + m πk) γ 0 m πk)], [γ 0 + m ) πk) + γ 0 m ) πk)] [γ m ) πk) + γ 0 + m ) πk)], [γ 0 + m ) πk) + γ 0 m ) πk)] [γ m ) πk) + γ 0 + m ) πk)], [γ 0 + m ) πk) + γ 0 m ) πk)]. c) Geben Sie die Trägerfrequenz T an. P) T = ist die Trägerfrequenz. Im nächsten Schritt wird ein Nutzsignal mit nachfolgendem Spektrum eingespeist: PSfrag replacements { Re V e j)} { Im V e j)} m m m d) Skizzieren Sie jeweils Real- und Imaginärteil der Spektren V 4 e j) und V 7 e j) im 4 P) m Signale und Systeme II

14 Aufgabe 3 33 Punkte) Bereich π < < π mit allen Achsenbeschriftungen. Es gelte: m = 0 π, 0 = 5 π und = 0. V 4 e j) ist rein imaginär, V 7 e j) rein reell: PSfrag replacements Im {V 4 e j)} π m m π Re {V 7 e j)} π + m m π Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil gelöst werden. Nun wird das eingerahmte Teilsystem S { } durch ein neues System mit der Übertragungsfunktion H e j) ersetzt. An den entsprechenden Punkten der Schaltung werden folgende Spektren beobachtet: Signale und Systeme II

15 Aufgabe 3 33 Punkte) { Re V e j)} { Im V e j)} PSfrag replacements m m Re {V 4 e j)} m m Im {V 4 e j)} m m m m Re {V 7 e j)} Im {V 7 e j)} + m m e) Betrachten Sie das Eingangsspektrum und das Ausgangsspektrum. Welche Modula- P) tionsart liegt vor genaue Bezeichnung)? Einseitenband-Modulation unter Verwendung der unteren Seitenbänder. f) Skizzieren Sie die Übertragungsfunktion H e j) im Bereich π < < π. Was 5 P) fällt Ihnen auf? Um welche Ihnen bekannte Transformationsart handelt es sich? PSfrag replacements H e j) j π π π π Es handelt sich um die sogenannte Hilbert-Transformation. j Um die Demodulation einfacher zu gestalten, soll dem Sendesignal v 7 n) die Information über das Trägersignal hinzugefügt werden. g) Erweitern Sie die obere Modulationsschaltung, so dass der Träger mit übertragen 5 P) Signale und Systeme II 3

16 Aufgabe 3 33 Punkte) wird. Geben Sie das Signal v 7 n) in Abhängigkeit von vn) an und skizzieren Sie das Spektrum V 7 e j) im Bereich π < < π. Es gelte weiterhin: m = 0 π, 0 = 5 π PSfrag replacements und = 0. q 0 cos n) v 6 n) v 7 n) Tiefpass Hochpass Tiefpass vn) v n) v n) v 3 n) v 4 n) v 5 n) < 0 > 0 S { } PSfrag replacements v 7 n) = < 0 sin 0 n) cos 0 n) sin n) q0 + vn) ) cos n) + hn) vn) sin n). q 0 Re {V 7 e j)} q 0 π π h) Nennen Sie mindestens zwei Vorteile die eine Einseitenband-Modulation gegenüber P) einer Zweiseitenband-Modulation hat. Kleinere Bandbreite und eine höhere Reichweite des Sendesignals, durch effizientere Ausnutzung der Sendeenergie. Signale und Systeme II 4

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