Signale und Systeme I

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1 TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Signale und Systeme I Modulklausur WS 016/017 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Name: Matrikelnummer: Erklärung der Kandidatin/des Kandidaten vor Beginn der Prüfung Hiermit bestätige ich, dass ich zur Prüfung angemeldet und zugelassen bin und dass ich prüfungsfähig bin. Ich nehme zur Kenntnis, dass der Termin für die Klausureinsicht vom Prüfungsamt ET&IT bekannt gegeben wird, sobald mein vorläufiges Prüfungsergebnis im QIS-Portal veröffentlicht wurde. Nach dem Einsichtnahmetermin kann ich meine endgültige Note im QIS-Portal abfragen. Bis zum Ende der Widerspruchsfrist des zweiten Prüfungszeitraums der CAU kann ich beim Prüfungsausschuss Widerspruch gegen dieses Prüfungsverfahren einlegen. Danach wird meine Note rechtskräftig. Korrektur Unterschrift: Aufgabe 1 3 Punkte /7 /37 /36 Summe der Punkte: /100 Einsicht/Rückgabe Hiermit bestätige ich, dass ich die Korrektur der Klausur eingesehen habe und mit der auf diesem Deckblatt vermerkten Bewertung einverstanden bin. Die Klausurunterlagen verbleiben bei mir. Ein späterer Einspruch gegen die Korrektur und Benotung ist nicht mehr möglich. Kiel, den Unterschrift: Digitale Signalverarbeitung und Systemtheorie, Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt, Signale und Systeme I

2 Signale und Systeme I Modulklausur WS 016/017 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Zeit: 9:00 h 10:30 h (90 Minuten) Ort: OS40 - Norbert-Gansel-Hörsaal Hinweise Schreiben Sie auf jedes abzugebende Blatt deutlich Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Legen Sie Ihren Studentenausweis und Personalausweis zur Überprüfung bereit. Die Aufgaben dürfen erst bearbeitet werden, wenn alle Teilnehmer die Aufgabenstellungen erhalten haben. Während der Klausur werden nur Fragen zur Aufgabenstellung beantwortet. Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe einen neuen mit Namen und Matrikelnummer versehenen Papierbogen. Zusätzliches Papier erhalten Sie auf Anfrage. Lösungswege müssen zur Vergabe der vollen Punktzahl immer nachvollziehbar und mit Begründung versehen sein. Sind Funktionen zu skizzieren, müssen grundsätzlich alle Achsen beschriftet werden. Verwenden Sie zum Schreiben weder Bleistift noch Rotstift. Beachten Sie, dass die Punkteverteilung in den Teilaufgaben nur vorläufig ist! Fünf Minuten und eine Minute vor Klausurende werden Ankündigungen gemacht. Wird das Ende der Bearbeitungszeit angesagt, darf nicht mehr geschrieben werden. Legen Sie am Ende der Klausur alle Lösungsbögen ineinander (so, wie sie ausgeteilt wurden) und geben Sie auch die Aufgabenblätter mit ab. Bevor alle Klausuren eingesammelt sind, darf weder der Sitzplatz verlassen noch geredet werden. Alle Hilfsmittel außer die Kommunikation mit anderen Personen sind erlaubt. Mobiltelefone sind auszuschalten. Laptops, Tablets und ähnliche Geräte sind nicht erlaubt, da sie als Kommunikationsmittel tauglich sind. Die Aufgaben und eine Lösung werden auf der Homepage der Vorlesung veröffentlicht. Dort werden ebenso Termin und Ort der Klausureinsicht bekanntgegeben. Signale und Systeme I II

3 Aufgabe 1 (7 Punkte) Aufgabe 1 (7 Punkte) Teil 1 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil gelöst werden. Gegeben sei das Signal x(t) = cos(ω x t + ϕ x ). (a) Skizzieren Sie das Signal x(t) für ϕ x = π / und ω x = π im Bereich von t. (3 P) Beschriften Sie alle Achsen! x(t) t (b) Bestimmen Sie die Periode T x des Signals x(t). (1 P) T x = π ω x (c) Bestimmen Sie die komplexen Koeffizienten c µ der Fourier-Reihe für ϕ x = π /. (3 P) ( x(t) = cos ω x t + π ) = sin (ω x t) Koeffizientenvergleich: c µ = 0 µ 1, 1 a 1 = 0 b 1 = 1 c 1 = j/ c 1 = j/ Signale und Systeme I 1

4 Aufgabe 1 (7 Punkte) (d) Bestimmen Sie die komplexen Koeffizienten c µ der Fourier-Reihe allgemein. (5 P) Hinweis: Es gilt: cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) Koeffizientenvergleich: x(t) = cos(ω x t + ϕ x ) = cos(ω x t) cos(ϕ x ) sin(ω x t) sin(ϕ x ) ( ) ( ) π π = cos t cos (ϕ x ) sin t sin (ϕ x ) T x T x c µ = 0 µ 1, 1 a 1 = cos(ϕ x ) b 1 = sin(ϕ x ) c 1 = 1 [cos(ϕ x) + j sin(ϕ x )] c 1 = 1 [cos(ϕ x) j sin(ϕ x )] (e) Bestimmen Sie den Wert von ϕ x, sodass der Realteil der komplexen Fourierreihen- ( P) koeffizienten c µ gleich Null für µ N ist. R {c µ } = cos(ϕ x ) = 0 ϕ x = π + κ π κ N Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 1 gelöst werden. Ebenfalls sei das Signal gegeben. y(t) = ( δ 1 (t) δ 1 (t t y ) ) cos(ω y t) mit t y > 0 (f) Bestimmen Sie die Laplace-Transformation Y (s) von y(t). (6 P) Umformung: y(t) = (δ 1 (t) δ 1 (t t y )) cos(ω y t) = δ 1 (t) cos(ω y t) δ 1 (t t y ) cos(ω y t) = δ 1 (t) cos(ω y t) δ 1 (t t y ) cos(ω y (t t y ) + ω y t y ) Y (s) = s s + ω y e sty s cos( ω yt y ) + ω y sin( ω y t y ) s + ω y Signale und Systeme I

5 Aufgabe 1 (7 Punkte) Alternativ: Integral berechnen... = s s + ω e sty s cos(ω yt y ) ω y sin(ω y t y ) s + ω y = s e sty (s cos(ω y t y ) ω y sin(ω y t y )) s + ω y (g) Berechnen Sie die Energie des Signals als Funktion von t y und skizzieren Sie die (7 P) Funktion im Bereich von 0 t y für ω y = π. Beschriften Sie alle Achsen! E(t y ) = = t y 0 y(t) dt ( cos(ω y t)) dt t y = (1 + cos(ω y t)) dt 0 ty = t + 1 sin(ω y t) 0 ω y = t y + 1 ω y sin(ω y t y ) t y E(ty) t y Signale und Systeme I 3

6 Aufgabe (37 Punkte) Aufgabe (37 Punkte) Teil 1 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil gelöst werden. Gegeben ist das kontinuierliche Signal v 0 (t) = 5 + cos ( π T t π ) ( ) 4π + 3 cos T t. (a) Überprüfen Sie das Signal v 0 (t) auf Periodizität und bestimmen Sie gegebenenfalls (3 P) die Periodendauer T 0 des Signals. Die Summe zweier periodischer Funktionen ist periodisch, wenn die Periodendauern T 1 und T der beiden Funktionen ganzzahlige Vielfache voneinander sind. Für die Periodendauer T 0 der Summe gilt dann T 0 = λ 1 T 1 = λ T mit λ 1, λ N. Das Signal v 0 (t) besteht aus zwei periodischen Funktionen cos ( π T t π ) und 3 cos ( 4π T t ). Die Periodendauer der ersten Funktion ist T 1 = T und der zweiten T = T/. Die Periodendauer der ersten Funktion ist das zweifache der zweiten. Es folgt für die Periodendauer des Signals v 0 (t): T 0 = T = T. (b) Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte V 0 (jω) = F {v 0 (t)} des kontinuierlichen (4 P) Signals v 0 (t). Ein kontinuierliches Signal v 0 (t) kann durch die Fourier-Transformierte V 0 (jω) = v 0 (t)e jωt dt. dargestellt werden. Da es sich um ein relativ einfaches Signal handelt können die gebräuchlichen Korrespondenzen benutzt werden. Es folgt: sin(ω 0 t) jπ[δ 0 (ω + ω 0 ) δ 0 (ω ω 0 )], cos(ω 0 t) π[δ 0 (ω + ω 0 ) + δ 0 (ω ω 0 )], 1 πδ 0 (ω). v 0 (t) V 0 (jω) =10πδ 0 (ω) + jπ[δ 0 (ω + π T ) δ 0(ω π T )] + 3π[δ 0 (ω + 4π T ) + δ 0(ω 4π T )]. (c) Skizzieren Sie das Betragsspektrum V 0 (jω) im Bereich von 3 π T Beschriften Sie alle Achsen! ω 3 π T. (4 P) Signale und Systeme I 4

7 Aufgabe (37 Punkte) 10π 9π 8π 7π 6π 5π 4π 3π π 1π V 0 (jω) ω π/t Abbildung 1: Fourier-Transformation V 0 (jω) Durch Abtastung des Signals v 0 (t) mit der Abtastperiode T s = T/4 entsteht die Folge v(n) = v 0 (n T s ). (d) Geben Sie die diskrete Folge v(n) an. ( P) ( π v(n) = v 0 (n T s ) = 5 + cos ( π = 5 + cos = 5 + cos ) ( 4π + 3 cos T n T s π T n T 4 π ) + 3 cos ( π n π ) + 3 cos (πn). ) T n T s ( 4π T n T ) 4 (e) Skizzieren Sie v(n) im Bereich 0 n 11. Beschriften Sie alle Achsen! (3 P) v(n) n Abbildung : Folge v(n) Signale und Systeme I 5

8 Aufgabe (37 Punkte) (f) Berechnen Sie die diskrete Fouriertransformation V M (µ) für eine Periode der Folge (9 P) v(n). Welche Ordnung M hat die DFT? Eine Periode der Folge v(n) besteht aus vier Samples (T = 4T s ), also M = 4. V M (µ) = M 1 n=0 v(n)e j π M µ n. V M (0) = v(0)e j π M v(1)e j π M v()e j π M 0 + v(3)e j π M 0 3 = 8(1) + 4(1) + 8(1) + 0(1) = 0, V M (1) = v(0)e j π M v(1)e j π M v()e j π M 1 + v(3)e j π M 1 3 = 8(1) + 4( j) + 8( 1) + 0(j) = 4j, V M () = v(0)e j π M 0 + v(1)e j π M 1 + v()e j π M + v(3)e j π M 3 = 8(1) + 4( 1) + 8(1) + 0( 1) = 1, V M (3) = v(0)e j π M v(1)e j π M v()e j π M 3 + v(3)e j π M 3 3 = 8(1) + 4(j) + 8( 1) + 0( j) = 4j. (g) Skizzieren Sie das Linienspektrum V M (µ) im Bereich 0 µ 11. Beschriften Sie (4 P) alle Achsen! V M (µ) µ Abbildung 3: DFT V M (n) Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 1 gelöst werden. Gegeben sei eine reelle Folge u(n) R mit der Periode N. Von dieser Folge sind einige Signale und Systeme I 6

9 Aufgabe (37 Punkte) Werte der DFT und der Mittelwert } U N (µ) =DFT N {u(n) = bekannt. Es gilt α, β, γ, δ, ǫ R. α + jβ, µ = 1 γ, µ = δe jϕ, µ = 3 0, µ = 4, 5,..., N unbekannt, sonst N 1 1 u(n) = ǫ N N n=0 (h) Geben Sie die fehlenden Werte der DFT an. Begründen Sie Ihre Antwort! (8 P) Zusammen mit dem gegebenen Mittelwert kann der erste Wert bestimmt werden. U N (0) = DFT N {u(n)} µ=0 = = ǫ. N 1 n=0 u(n)e j π N µn µ=0 = N 1 n=0 u(n) Da das Signal x(n) reellwertig ist, gilt die Symmetrie der DFT: (a) Realtei ist gerade: Re {U N (µ)} = Re {U N (N µ)} = Re {U N ( µ)}. (b) Imaginärteil ist ungerade: Im {U N (µ)} = Im {U N (N µ)}. Es gilt also für die gesuchten Stützstellen: U N (N 1) = α jβ, U N (N ) = γ, U N (N 3) = δe jϕ. Für die restlichen Stützstellen gilt dasselbe: { N U N (µ) = 0, µ + 1, N } +,..., N 4. Signale und Systeme I 7

10 Aufgabe 3 (36 Punkte) Aufgabe 3 (36 Punkte) Teil 1 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil und Teil 3 gelöst werden. Gegeben sei die Differenzengleichung des Systems S 1 { } mit y(n) = S 1 {v(n)}. y(n) 1 6 y(n ) 1 y(n 1) = v(n) 6 (a) Ist das System rekursiv? Begründen Sie Ihre Antwort. ( P) Ja, es ist rekursiv, da das Ausgangssignal von den vorherigen Ausgangswerten abhängt. (b) Bestimmen Sie die zugehörige Übertragungsfunktion H 1 (z). (3 P) V (z) = Y (Z) [1 1 6 z 1 1 ] 6 z H 1 (z) = Y (z) V (z) 1 = z z z = z 1 6 z1 1 6 (c) Bestimmen Sie die Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion H 1 (z). (3 P) Berechnung der Nullstellen: Berechnung der Polstellen: z 0,(0,1) = 0 z,0 = 1 z,1 = 1 3 (d) Zeichnen Sie das Pol-/Nullstellendiagramm. Beschriften Sie alle Achsen! (3 P) (e) Bestimmen Sie die Impulsantwort des Systems. Partialbruchzerlegung: (8 P) z H 1 (z) = z z + 1 = 6 A = H 1(z) (z 1 z z= ) 1 z [ (z 1 )(z ) = z = 3 5 A (z 1 ) + B (z ) ] Signale und Systeme I 8

11 Aufgabe 3 (36 Punkte) Pol-/Nullstellen Diagramm Im{z} Re{z} B = H 1(z) (z + 1 z 3 z= ) = H 1 (z) = z (z 1 ) + 5 z (z ) Z 1 {H(z)} = h 0 (n) = 3 ( ) 1 n γ 1 (n) ( ) 1 n γ 1 (n) 3 Teil Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 1 und Teil 3 gelöst werden. Ein zweites System S { } ist entsprechend der Differenzengleichung } mit y(n) = S {v(n) definiert. n y(n) = v(k) (f) Zeigen Sie, dass das System S { } linear ist. (3 P) Für ein lineares System muss gelten: S {v 1 (n)} = y 1 (n) S {v (n)} = y (n) a 1 S {v 1 (n)} + a S {v (n)} = S {a 1 v 1 (n) + a v (n)} = a 1 y 1 (n) + a y (n) Für den Summierer heißt das: a 1 y 1 (n) + a y (n) = a 1 Das System ist also linear. n v 1 (k) + a n v (k) = n a 1 v 1 (k) + a v (k) (g) Zeigen Sie, dass das System S { } zeit-invariant ist. (5 P) Es muss gelten: y(n n 0 ) = S{v(n n 0 )} Signale und Systeme I 9

12 Aufgabe 3 (36 Punkte) Für den Summierer gilt: v del (n) = v(n n 0 ) n y del (n) = v del (n) = n mit: κ = k n 0 y del (n) = n n 0 κ= v(k n 0 ) v(κ) = y(n n 0 ) Teil 3 Beide zuvor behandelten Systeme S 1 { } und S { } mit den Übertragungsfunktionen H 1 (z) und H (z) werden entsprechend der nachfolgenden Abbildung zusammengeschaltet. V i (z) H 1 (z) H (z) Y o (z) (h) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems H t (z) = Y o (z)/v i (z). (7 P) Zunächst Bestimmung der Impulsantwort des Summierers: h 0 (n) = n Z 1 {h 0 (n)} = H (z) = z z 1 H t (z) = H (z) H 1 (z) = = γ 0 (k) = γ 1 (n) = 1 (1) n γ 1 (n) z (z 1 )(z ) z z 1 z 3 (z 1 )(z )(z 1) (i) Ist das System H t (z) stabil? Begründen Sie Ihre Antwort. ( P) Ja das System ist stabil bzw. genaugenommen grenzstabil, da es nur Pole im bzw. auf dem Einheitskreis besitzt Signale und Systeme I 10