Technische Schwingungslehre, WS2009/10

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1 Institut für Technische Mechanik Prof. Dr.-Ing. C. Proppe Prof. Dr.-Ing. W. Seemann Technische Schwingungslehre, WS9/ Übungsblatt Nr. Thema: Darstellung von Schwingungen Formelsammlung: Grundbegriffe der Schwingungslehre Periodische Schwingungen: x(t+t) = x(t) = x(t+nt) t,n N, mit fester Periodendauer T > (kleinste Konstante für welche die Gleichung gilt) Frequenz: f = max(x) min(x), Kreisfrequenz: ω = πf, Amplitude: ˆx = > T Harmonische Schwingungen harmonische Schwingungen reell komplex Zeitfunktion Umrechnung x(t) = C +Ssin(ωt)+Ccos(ωt) x(t) = C + ˆxsin(ωt+α) ˆxsinα = C ˆxcosα = S Nullphasenwinkel: α ( π,π], Überlagerung harmonischer Schwingungen x(t) = x (t)+x (t) = x + ˆx e jω t +x + ˆx e jω t x(t) = x+ ˆxe jωt C = R{ˆx} S = I{ˆx} α = I{ˆx} R{ˆx} Phasenwinkel: φ = ωt+α für x reell gleicher Kreisfrequenz verschiedenen Kreisfrequenzen Schwingung mit ω = ω ω ω und ˆx = ˆx = ˆx ergibt Schwingung Schwebung ˆx gesamt = ˆx i x(t) = ˆxsin(ωt+ α +α )cos( ωt+ α α ) für x i = x gesamt = x i mit ω = (ω +ω ), ω = ω ω Fourierreihe (für periodische Signale mit nur endlich vielen Sprungstellen endlicher Höhe in T = π reelle Koeffizienten: x(t) = C + (C k cos(kω t)+s k sin(kω t)) C = T / T/x(t)dt = T Gerade Funktion f( t) = f(t): x(t)dt C k = T C k = 4 T / T/x(t)cos(kω t)dt S k = T / / T/ x(t)cos(kω t)dt S k = Ungerade Funktion f( t) = f(t): C k = S k = 4 T komplexe Koeffizienten: x(t) = k= a k e jkω t Fouriertransformation (für nichtperiodische Vorgänge) F(ω) = f(t)e jωt dt, f(t) = π F(ω)e jωt dt; hinr. Bedingung für Existenz des Fourierintegrals: mit a k = T f(t) dt < / ω ) x(t)sin(kω t)dt x(t)sin(kω t)dt x(t)e jkω t dt = [C k js k ]

2 Aufgabe TSL-/ Gegeben sind drei Sinusschwingungen mit der dimensionslosen Zeit t als Variable. x (t) = sin(πt+π) ( x (t) = cos 6πt π ) ( x 3 (t) = cos πt π ) a) Skizzieren Sie alle drei Schwingungen im Zeitbereich und zeichnen Sie die zugehörigen Zeigerdiagramme. b) Zwischen welchen Schwingungen kann man von voreilend/nacheilend sprechen? c) Berechnen Sie die Überlagerung der Schwingungen x und x 3 sowie von x und x 3. Aufgabe TSL-/3 Bei dem abgebildeten Klinkenmechanismus ist R linear mit ϕ veränderlich. Die Winkelgeschwindigkeit Ω ist konstant. Die Trägheit des Hebels sei vernachlässigbar klein. Die Auslenkung des Hebels ist x(t). Klinkenmechanismus a) Wie groß ist die Periodendauer T des Weges x(t), wenn T R die Dauer einer Radumdrehung ist? b) Geben Sie die Funktion x(t) für eine Periode T an und skizzieren Sie ihren Verlauf von bis T R, wenn t = so gewählt wird, dass x() = gilt. c) Geben Sie die Koeffizienten C, C k und S k der entsprechenden Fourierreihe an.

3 Aufgabe TSL-/7 Wir betrachten die dargestellte Gleichrichterschaltung, die einen kommutierten Gleichstrom i(t) erzeugt. Gegeben sind: u(t) = ûsin(ωt), i, i(t) Gleichrichterschaltung a) Bestimmen Sie die Periodendauer T des gleichgerichteten Stroms i(t) im Verhältnis zur Periodendauer T harm der Spannung u(t). b) Geben Sie den Funktionsverlauf von i(t) für eine Periode an. c) Bestimmen Sie die Koeffizienten C, C k und S k der Fourier Reihe. d) Zeichnen Sie für k 3 das Amplituden- und Phasenspektrums des Signals i(t) im Fourierbereich. e) Das Stromsignal i(t) wird über ein Messgerät gemessen. Dieses hat die Übertragungsfunktion { für k = H ik = 4k e ikπ (4k ) sonst Zeichnen Sie das Amplituden- und das Phasenspektrum des Messgeräts für k 3. f) Zeichnen Sie die Spektren C y des Messsignals y (d.h. den Ausgang des Messgerätes). g) Skizzieren Sie das Ausgangssignal im Zeitbereich y(t). Was fällt Ihnen dabei auf? Aufgabe TSL-/ Berechnen Sie die Fourier-Transformation der durch { π f(t) = (π t) +π, t π,, sonst gegebenen Funktion.

4 Aufgabe TSL-/ Zusatzaufgabe Wie nützlich komplexe Zahlen sein können, zeigt eine Denkaufgabe des Physikers George Gamow: Eine alte Urkunde berichtet von einem Piratenschatz, der auf einer verlassenen Insel vergraben wurde und erklärt, wie man diesen Schatz wiederfinden kann. Auf der Insel stehen nur zwei Bäume A und B und die Reste eines Galgens. Man gehe vom Galgen auf geradem Wege zum Baum A und zähle dabei die Schritte. Bei A wende man sich neunzig Grad nach links, gehe nochmals die gleiche Schrittzahl geradeaus und markiere die Stelle mit einem Stock. Dann begebe man sich zurück zum Galgen, gehe auf geradem Wege zum Baum B, zähle wieder die Schritte, wende sich bei B um neunzig Grad nach rechts und gehe die gleiche Schrittzahl geradeaus. Die erreichte Stelle werde wieder mit einem Stock markiert. Wenn man dann in der Mitte zwischen den beiden Stöcken gräbt, so wird man auf den Schatz stoßen. Ein junger Abenteurer, der die Urkunde fand, mietete sich ein Schiff und segelte zu der Insel. Er hatte keine Mühe, die Bäume zu finden, aber zu seinem Jammer war der Galgen verschwunden und die Zeit hatte alle Spuren verwischt, so daß die Stelle, an der er sich befunden hatte, nicht mehr zu erkennen war. Der junge Mann war ratlos und kehrte mit leeren Händen zurück. Nach George Gamow hätte er den Schatz mit Leichtigkeit finden können, wenn er mit den komplexen Zahlen und ihrer geometrischen Bedeutung vertraut gewesen wäre.

5 Lösung zu Aufgabe TSL-/ a) x (t) = sin(ω t+π) x (t) = cos(ω t π ) x 3 (t) = cos(ω t π ) mit ω = π und ω = 6π Allgemein: x i (t) = Ae j(ω it+ϕ) mit Amplitude A und Periodendauer: T = π ω i, Nullphasenwinkel: ϕ i Phasenwinkel bei x(t = ) x (t) Zeit [sec] x (t) Zeit [sec] x 3 (t) Zeit [sec] Zeigerdiagramme: Darstellung als komplexe Schwingung: x (t) = sin(ω t+π) = cos(ω t π ) = Re{ e j π e jω t } = Re{ j }{{} x e jωt } x (t) = cos(ω t π ) = Re{ j }{{} x e jωt } x 3 (t) = cos(ω t π ) = Re{ j }{{} x 3 e jωt }

6 Imaginärteil ^x Realteil x^ = x^ 3 b) Die Beurteilung voreilend / nacheilend ist nur bei Schwingungen gleicher Frequenz möglich: Hier also bei x (t) und x 3 (t). Phasenunterschied: ϕ = ±π c) x (t)+x 3 (t): gleiche Frequenz Schwingung ˆx gesamt = ˆx i x (t)+x 3 (t) = Re{je jω t }+Re{ je jω t } = Re{ je jω t } = cos(ω t π ) = sin(ω t) x (t)+x 3 (t): unterschiedliche Frequenz Schwebung x (t)+x 3 (t) = sin(ω t)+sin(ω t) Frequenzen: ω = ω ω = π 6π = 3π ω = (ω +ω ) = (π +6π) = 9π Phasenverschiebung jeweils π Gesamtsignal zur Formel auf dem Deckblatt um π verschoben 4 3 x (t)+x 3 (t) x (t)+x 3 (t) Zeit [sec] Zeit [sec]

7 Lösung zu Aufgabe TSL-/3 a) Periodendauer einer Radumdrehung T R b) T = T R 3 = π 3Ω, ω = π T = 3Ω x(t) = h t, für t < T T c) Darstellung als Fourierreihe: x(t) = C + S k sinkωt+ C k coskωt mit: C = T C k = T S k = T x(t)dt x(t) cos kωtdt x(t) sin kωtdt Hier ungerade Funktion f(t) = f( t), daher C k = C = T C k = T S k = T h T tdt = h h T tcoskωtdt = h T tsinkωtdt = h kπ x(t) = C + h kπ sinkωt

8 x(t) mit. Glied der Fourierreihe x(t) mit. Glied der Fourierreihe x(t) mit. Glied der Fourierreihe

9 Lösung zu Aufgabe TSL-/7 a) harmonisches Spannungssignal mit Kreisfrequenz Ω Periodendauer T harm = π Ω Periodendauer des kommutierten Stromsignals: b) Zeitfunktion für eine Periodendauer: T = T harm = π Ω, ω = π T = Ω i(t) = i o sinωt fuer t T = T harm c) Darstellung als Fourierreihe: i(t) = C + S k sinkωt+ C k coskωt mit: C = T C k = T S k = T T T T i(t)dt i(t) cos kωtdt i(t) sin kωtdt Hier gerade Funktion f(t) = f( t), daher S k = und C k = 4 T i(t)coskωtdt C = T S k = C k = 4 T T = 4 T i(t)dt = T i(t)coskωtdt = 4 T i(t)dt = Ω π π Ω i o sinωtcoskωtdt 4i o i o sinωtcoskωtdt = π(4k ) i o sinωtdt = π i o i(t) = C + C k coskωt

10 d) Eingangsspektrum: C = π i o, C = 4 i oπ 3, C = 4 i oπ, C 3 = 4 i oπ 3.7 Amplitudenspektrum Eingang Phasenspektrum Eingang i k ω / ω φ i / π ω / ω e) Übertragungsspektrum:AmplitudeauserstemTeildesTerms 4k (4k ),Phaseausdemzweiten e ikπ 3 Amplitudenspektrum Übertragung.6 Phasenspektrum Übertragung H ik ω / ω φ H / π ω / ω f) Ausgangsspektrum: Amplitudenspektrum Messgerät Phasenspektrum Messgerät y k ω / ω φ y / π ω / ω g) Zeitsignal:. Signal am Messgerät. y t Die Grundfrequenz ω des Eingangssignals i(t) ist nicht die dominante Frequenz des Ausgangssignals y(t).

11 Lösung zu Aufgabe TSL-/ Fourier Transformation: F(ω) = = = π π f(t)e jωt dt f(t)e jωt dt ( π (π t) +π ) e jωt dt π π = π (π t) e jωt dt+π e jωt dt } {{ } } {{ } A B Substitution: u = π t t = π u du = dt dt = du u() = π u(π) = π u= π u= π A = π u e jω(π u) du = π e jωπ u e jωu du u=π = π e jωπ [ e jωu ( u jω u (jω) + = π e jωπ [ π jω π ω jω 3 B = π π u=π ] π (jω) 3) π [ π ] π jω + π ω jω 3 e jωt dt = π jω e jωπ + π jω ] F(ω) = A+B [ π = π e jωπ jω π ω jω 3 [ π ] π jω jω + π ω jω 3 ] jω