Übungen zu Transformationen. im Bachelor ET oder EW. Version 2.0 für das Wintersemester 2014/2015 Stand:

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1 Fachhochschule Dortmund University of Applied Sciences and Arts Institut für Informationstechnik Software-Engineering Signalverarbeitung Regelungstechnik IfIT Übungen zu Transformationen im Bachelor ET oder EW Version 2.0 für das Wintersemester 2014/2015 Stand: von: Prof. Dr.-Ing. Thomas Felderhoff Fachhochschule Dortmund Tel / Sonnenstr. 96 Fax: 0231 / D Dortmund felderhoff@fh-dortmund.de

2 Aufgabe 1 Gegeben sind die Signale mit T IR +. Ferner werde definiert. Signalbeschreibung ( ) t + T x 1 (t) = 4 rect 3T ( ) t 2T und x 2 (t) = 3 rect T x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) 1.1 Skizzieren Sie maßstabsgetreu im Zeitbereich 5T t 5T den Verlauf von x 1 (t). Achten Sie dabei auf eine korrekte Achsenbeschriftung. 1.2 Skizzieren Sie maßstabsgetreu im Zeitbereich 5T t 5T den Verlauf von x 2 (t). Achten Sie dabei auf eine korrekte Achsenbeschriftung. 1.3 Skizzieren Sie maßstabsgetreu im Zeitbereich 5T t 5T den Verlauf von x(t). Achten Sie dabei auf eine korrekte Achsenbeschriftung. 1.4 Skizzieren Sie im Zeitbereich 5T t 5T den Verlauf von y(t) = dx(t) dt und geben Sie eine funktionale Beschreibung mit δ-impulsen an. Aufgabe 2 Signalbeschreibung Gegeben sei der dargestellte Signalverlauf eines Signals x(t). x(t) 2 2T 0 t 2.1 Beschreiben Sie x(t) mithilfe der Rechteckfunktion. 2.2 Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(jω): x(t)e jωt dt = X(jω) x(t) 1

3 Aufgabe 3 Fourier-Transformation eines rect-signals Gegeben sei die funktionale Beschreibung des Signals x(t) als ( ) 4t + T0 x(t) = 3 rect 8T 0 wobei T 0 > 0 eine positive Zeitkonstante darstellt. 3.1 Skizzieren Sie maßstabsgetreu den zeitlichen Verlauf von x(t). Achten Sie dabei auf eine korrekte Achsenbeschriftung. 3.2 Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(jω): x(t)e jωt dt = X(jω) x(t) Aufgabe 4 Fourier-Transformation eines cos-signals Gegeben sei die funktionale Beschreibung des Signals x(t) als x(t) = 5 cos (3Ω 0 t + α) wobei Ω 0 > 0 eine positive konstante (Kreis)Frequenz und α IR eine beliebige Phasenverschiebung beschreibt. Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(jω): x(t)e jωt dt = X(jω) x(t) Aufgabe 5 Gegeben sei die Funktion mit den beiden Funktionen Laplace-Transformation x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) x 1 (t) = x 0 u(t) und x 2 (t) = x 0 e t/t0 u(t) wobei x 0 > 0 und T 0 > 0 jeweils zwei positive Konstanten bezeichnen. 5.1 Skizzieren Sie maßstabsgetreu in einem Koordinatensystem die Zeitverläufe der Signale x 1 (t) x 2 (t) und x(t). 5.2 Bestimmen Sie jeweils die Laplace-Transformierten zu X 1 (s) = L {x 1 (t)} x 1 (t) X 2 (s) = L {x 2 (t)} x 2 (t) und X(s) = L {x(t)} x(t). 2

4 Aufgabe 6 Inverse Laplace-Transformation mit Partialbruckzerlegung Gegeben sei die zum rechtsseitigen Zeitsignal x(t) = x(t) u(t) gehörende Laplace- Transformierte X(s) derart dass gilt 6.1 Bestimmen Sie das Zeitsignal s x(t) X(s) = L {x(t)} = 6 s 2 + 5s + 4. x(t) = L 1 {X(s)}. 6.2 Veranschaulichen Sie den zeitlichen Verlauf des Signals x(t) durch eine Skizze. Aufgabe 7 Inverse Laplace-Transformation Gegeben sei die zum rechtsseitigen Zeitsignal x(t) = x(t) u(t) gehörende Laplace- Transformierte X(s) derart dass gilt Bestimmen Sie das Zeitsignal s x(t) X(s) = L {x(t)} = 4 s 2 + 5s + 6. x(t) = L 1 {X(s)}. Aufgabe 8 Inverse Laplace-Transformation Gegeben sei die zum rechtsseitigen Zeitsignal x(t) = x(t) u(t) gehörende Laplace- Transformierte X(s) derart dass gilt Bestimmen Sie das Zeitsignal x(t) X(s) = L {x(t)} = x(t) = L 1 {X(s)}. 6s s 2 + 4s

5 Aufgabe 9 Bilineartransformation und Signalflussgraphen Gegeben sei die Übertragungsfunktion eines zeitdiskreten Systems H(z) = 2 3s Ω s Ω 0 s= 2 z 1 T z+1 die sich durch Anwenden der Bilineartransformation aus der Übertragungsfunktion eines zeitkontinuierlichen Systems ergibt wobei Ω 0 eine positive reelle Konstante bezeichnet. Die Abtastperiode T erfülle die Beziehung Ω 0 T = Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) des zeitdiskreten Systems. 9.2 Skizzieren Sie für das zeitdiskrete System H(z) = Y (z)/x(z) einen Signalflussgraphen mit x(kt ) X(z) als Eingangssignal und y(kt ) Y (z) als Ausgangssignal. Aufgabe 10 Digitalfilter Gegeben sei ein zeitdiskretes System. Die Abtastwerte des Eingangssignals werden mit x(kt ) und die Abtastwerte des Ausgangssignals werden mit y(kt ) bezeichnet wobei T > 0 die Abtastperiode beschreibt. Dieses zeitdiskrete System werde durch die Differenzengleichung beschrieben. y(kt ) = 1 2 x(kt ) x(kt 2T ) + y(kt T ) 1 y(kt 2T ) Skizzieren Sie einen Signalflussgraphen der dieses zeitdiskrete System beschreibt Transformieren Sie die Differenzengleichung mithilfe der Z-Transformation in den Frequenzbereich und bilden Sie Y (z) X(z) = H(z) die Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems wenn x(kt ) X(z) und y(kt ) Y (z) gilt Bestimmen Sie die Nullstellen und die Polstellen der Übertragungsfunktion H(z). 4

6 Aufgabe 11 Gegeben sei die Fourier-Transformierte Abtasttheorem ( ) ω X(jω) = rect 2δ(ω + 4Ω 0 ) 2δ(ω 4Ω 0 ) 3Ω 0 wobei Ω 0 = 2πF 0 und F 0 positive Konstanten bezeichnen. Das Zeitsignal x(t) X(jω) werde mit der Abtastperiode T abgetastet Skizzieren Sie X(jω) maßstabsgerecht in einem normierten (Kreis-)Frequenzintervall 20 ω/ω 0 20 und tragen Sie markante Werte ein Skizzieren Sie die diskrete Fourier-Transformierte X DF T (jω) in einem normierten (Kreis-)Frequenzintervall 20 ω/ω 0 20 wenn die Abtastfrequenz F = 10F 0 gewählt wird. Tragen Sie markante Werte ein Skizzieren Sie die diskrete Fourier-Transformierte X DF T (jω) in einem normierten (Kreis-)Frequenzintervall 20 ω/ω 0 20 wenn die Abtastfrequenz F = 5F 0 gewählt wird. Tragen Sie markante Werte ein. Aufgabe 12 Übertragungsfunktion und Faltung Gegeben sei ein lineares System mit den Eingangssignalen ( ) t T x 1 (t) = δ(t) und x 2 (t) = rect T den entsprechenden Ausgangssignalen y 1 (t) bzw. y 2 (t) und der Impulsantwort h(t) = { 0 für t < 0 αe αt für t 0 α IR Bestimmen Sie die Ausgangssignale y 1 (t) und y 2 (t) durch Berechnungen im Zeitbereich Bestimmen Sie die Fourier-Transformierten Y 1 (jω) y 1 (t) und Y 2 (jω) y 2 (t) Bestimmen Sie die Sprungantwort g(t). 5