SYSTEMTHEORIE (SS 2008)

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1 FH Landshut FB Elektrotechnik Prof. Dr. S. Pohl ARBEITSBLÄTTER ZUR SYSTEMTHEORIE (SS 2008) Literatur: [1] "Einführung in die Systemtheorie" Girod/Rabenstein/Stenger; Teubner Verlag ISBN (4. Auflage/2007) [2] "Signale und Systeme" Martin Werner ; Vieweg Verlag ISBN (2. Auflage/2005) [3] "Signal- und Systemtheorie" Fliege/Bossert; Teubner Verlag ISBN (1. Auflage/2004)

2 0. Vorbemerkungen ( grober Überblick über Gesamtstoff) Ein System ist eine Anordnung von Komponenten (aus i.allg. verschiedenen Bereichen), die in ihrer Verschiedenheit zusammenarbeiten und als Ganzes ein bestimmtes Verhalten/eine bestimmte Funktionalität realisieren (= Systemcharakteristik). Das System ist dabei nicht nur die Summe der Einzelkomponenten, sondern stellt i.allg. etwas völlig Neues dar. Einfaches Beispiel aus dem Alltag: Wasser = H 2 O...wird zwar aus den Elementen Wasserstoff und Sauerstoff gebildet, ist aber - sobald diese Verbindung zustande kommt - ein völlig neues System - nämlich Wasser, dessen Eigenschaften sich nicht einfach aus den Eigenschaften der einzelnen Elemente H 2 und O ableiten lassen. In technischen Anwendungen spielen die sog. linearen-zeitinvarianten Systeme (LTI- Systeme) eine besondere Rolle - und hier insbesondere die sog. "Ein-/Ausgabe-Systeme". Diese transformieren hereinkommende Inputsignale in spezifische Outputsignale; klassische Beispiele: Verstärker, Alarmanlagen, aber auch sog. Rückführungssysteme, wie sie in der Regelungstechnik vorkommen. Bei der Transformation der Signale spielt die sog. Impulsantwortfunktion h(t) des Systems bzw. deren Transformierte (= Frequenzgang H(f)) die entscheidende Rolle (allgemein spricht man von der Übertragungsfunktion H(s) des Systems). Ein Signal ist die Repräsentation einer Information; Signale werden üblicherweise als Funktionen dargestellt z.b. U(t) = elektrischen Spannung zwischen zwei Punkten zum Zeitpunkt t. Man unterscheidet zwischen kontinuierlichen x(t) und diskreten Signalen x[n] und zwar sowohl hinsichtlich der unabhängig Veränderlichen (=Zeit) als auch hinsichtlich der abhängig Veränderlichen (=Signalamplitude); damit gibt es insgesamt 4 Signalgrundtypen!. Die Systemtheorie als Wissensgebiet versucht, die Vielzahl der Einzelerscheinungen und Gesetzmäßigkeiten von komplexen Systemen/Signalen in den unterschiedlichsten technischen Disziplinen wie der Informatik, Steuer- und Regelungstechnik, Mess- und Nachrichtentechnik, Medizin, Biologie, Physik...als Konsequenz weniger theoretischer Grundkonzepte zu verstehen. Sie liefert anhand von mathematischen Modellen und mit Hilfe von einheitlichen Begriffen und Werkzeugen Einsichten in die Wirkungsweise von Systemen und ermöglicht es, quantitative Ergebnisse abzuleiten. Die Systemtheorie hat sich aus einer Reihe von Vorläufern und interdisziplinären Fachrichtungen nach und nach zu einem eigenständigen Wissensgebiet entwickelt und ist inzwischen als Grundlagenfach in den Ingenieurwissenschaften fest etabliert. Je nach Fragestellung unterscheidet man folgende Teilgebiete der Systemtheorie: 1) Systemanalyse... hier wird versucht festzustellen, wie ein gegebenes System - z.b. ein Abtastsystem oder ein System, bei dem die Input-/Output-Beziehung durch eine lineare DGL mit konst. Koeffizienten gegeben ist ( N k = 0 a k y ( k ) M ( k ) ( t) = b x ( t) ) auf ein vorgege- benes Eingangssignal x(t) reagiert, also welches Ausgangssignal y(t) es liefert. Beispiel: Man sucht für ein gegebenes elektrisches Netzwerk die Ausgangsspannung bei gegebener Eingangsspannung. Die Analyse von Signalen/Systemen kann erfolgen - im Zeitbereich: y(t) = Lösung einer linearen DGL mit k. K: y(t) = x(t)*h(t) oder y[n] = Lösung einer linearen Differenzengleichung mit k. K. y[n] = x[n]*h[n] - im Frequenzbereich: Fourier-Transform.: Y(f)=X(f) H(f) bzw. Y(Ω)= (Ω) H(Ω) - in komplexer Ebene: Laplace-/z-Transform.: Y(s)=X(s) H(s) bzw. Y(z)=X(z) H(z) k = 0 k

3 2) Systemsynthese..hier wird versucht ein System zu entwerfen, das auf eine bestimmte Klasse von Eingangssignale auf eine genau vorgegebene Weise reagiert - z.b. aus den Eingangssignalen alle hohen Frequenzen herausfilter (=> System = Tiefpassfilter)....Konstruktion als Blockdiagramm mit Grundgliedern(Direktform I, II) Beispiel: LC y" (t) + RC y'(t) + y(t) = x(t) x(t) 1/LC 0 y(t) -RC ) Abtastung...Bei der Beschreibung von technischen Vorgängen sind die auftretenden Signale x(t) (meistens die Spannung als Funktion der Zeit) i.allg. kontinuierliche Variablen/ analoge Signale. Zur Speicherung und Verarbeitung auf einem Digitalrechner ist eine Umwandlung in digitale Signale notwendig, was eine Abtastung zu äquidistanten Zeitpunkten (im Abstand T) erfordert: x[k] = x(kt) k εz 4) Rückführungssysteme/Stabilisierung.. Durch Rückführung des Outputsignals y(t) auf den Eingang lassen sich Inputsignale x(t) bei vielen Systemen so verändern, dass ein zunächst instabiles System stabil wird, also auf ein beschränktes Eingangssignal x(t) auch mit einem beschränkten Ausgangssignal y(t) reagiert ( allerdings kann auch genau das Gegenteil passieren!) x(t) + H(s) y(t) K G(s) Q H ( s) Q( s) = 1 + K H ( s) G( s) Bei linearer Rückführung mit rationale Übertragungsfunktionen Q(s) und variabler Verstärkung K wird die Lage der Regelkreispole in Abhängigkeit von K (d.h. die Ortskurve) oft mit grafischen Hilfsmitteln veranschaulicht (sog. Wurzelortskurvenverfahren). Vorteil: Verfahren ist für zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme gleichermaßen verwendbar.

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9 INHALTSVERZEICHNIS 1. Einführung 2. Signale und Systeme 2.1 Signalbegriff 2.2 Zeitkontinuierliche Grundsignale Komplexe exponentielle und sinusförmige Signale Einheitssprung/Einheitsimpuls 2.3 Zeitdiskrete Grundsignale Einheitssprung/Einheitsimpuls Komplexe exponentielle und sinusförmige Signale Periodizität komplexer exponentieller Signale 2.4 Systeme und Systemeigenschaften Systeme mit/ohne Speicher Invertierbarkeit Kausalität Stabilität Zeitinvarianz Linearität 3. Lineare zeitinvariante Systeme(LTI-Systeme) 3.1 Signaldarstellung durch Impulse 3.2 Impulsantwortfunktion (zeitdiskret/zeitkontinuierlich) 3.3 Faltungsalgebra(diskret/kontinuierlich) 3.4 Sprungantwortfunktion 3.5 Systembeschreibung durch DGL'n bzw. Differenzengleichungen Lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten Lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten 3.6 Systemsynthese/Blockdiagramme/Direktformen Zeitdiskrete LTI-Systeme Zeitkontinuierliche LTI-Systeme 4. Fourier-Transformation(zeitkontinuierlich) 4.1 Fourier-Integral und Übertragungsfunktion 4.2 Sätze der Fourier-Transformation 4.3 Frequenzgangberechnung/Bode-Diagramm 5. Fourier-Transformation(zeitdiskret) 5.1 Die zeitdiskrete Fourier-Reihe periodischer Signale 5.2 Antwortfunktion zeitdiskreter LTI-Systeme 5.3 Fourier-Transformation aperiodischer Signale 5.4 Sätze der diskreten Fourier-Transformation 5.5 Frequenzgangberechnung diskreter LTI-Systeme 6. Pulsabtastung 7. z-transformation 7.1 Vorbemerkungen (Laplace-Transformation) 7.2 Konvergenz (Vergleich mit diskreter Fourier-Transformation) 7.2 Konvergenzeigenschaften der z-transformation 7.3 Die inverse z-transformation 7.4 Analyse zeitdiskreter LTI-Systeme mittels z-transformation 8. Systeme mit linearer Rückführung 8.1 Anwendungen und Auswirkungen von Rückführungen 8.2 System-Stabilisierung /Wurzelortskurvenverfahren