Theorie digitaler Systeme

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1 Theorie digitaler Systeme Vorlesung 6: Impulsantwort und Faltung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

2 Grundlegende Systemeigenschaften Beispiele führten zu linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Derartige Systeme haben einige grundlegende Eigenschaften, sie entsprechen den Eigenschaften linearer, zeitinvarianter Systeme im zeitkontinuierlichen Bereich Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben zeitdiskrete, lineare, zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) Definition und Nachweis grundlegende Systemeigenschaften Linearität Zeitinvarianz Stabilität Kausalität Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

3 Linearität eines zeitdiskreten Systems Für ein System sind die Systemantworten y und y bekannt, die sich aus den Anregungen x und x ergeben ( ) = y k = f u k y k f u k ( ) Ein lineares System reagiert auf eine Anregung = + u k u k u k mit der Systemantwort = + y k y k y k Beweis der Linearität erfolgt über Einsetzen der Anregung in die Systemgleichung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

4 Beispiel: Linearität eines rekursiven Filters Filter mit der rekursiven Differenzengleichung soll auf Linearität untersucht werden y k = ( GF) u k + GF y k Systemantworten y und y berechnen sich mit der Differenzengleichung zu = ( ) + y k = ( GF) u k + GF y k y k GF u k GF y k Beweis der Linearität = ( ) + y k GF u k GF y k ( ) ( ) ( ) = GF u k + u k + GF y k + y k ( GF) u k GF y k ( GF) u k GF y k = = y k + y k Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

5 Signalfolge y Signalfolge y y = y + y Signalfolge u Signalfolge u u = u + u Beispiel: Linearität eines rekursiven Filters Eingangssignal Eingangssignal Superposition Eingangssignale Ausgangssignal Ausgangssignal Superposition Ausgangssignale Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5

6 Signalfolge y[k - 5] Signalfolge y Zeitinvarianz eines zeitdiskreten Systems Ein System reagiert auf ein Eingangssignal u mit einer Systemantwort y Zeitinvariante Systeme reagieren auf das verzögerte Eingangssignal u[k - k ] mit dem Ausgangsignal y[k - k ]. Beispiel rekursives Filter y k = ( GF) u k + GF y k = ( ) + y k k GF u k k GF y k k Zeitinvariante Systeme haben Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten Anregung zu k = Anregung zu k = 5 Eingang Ausgang Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6

7 Signalfolge y 3 Signalfolge y Signalfolge y Stabilität eines zeitdiskreten Systems System ist stabil, wenn es nach einer Anregung mit endlicher Energie wieder seine Ruheposition erreicht grenzstabil, wenn es nach Anregung mit endlicher Energie zu einem konstanten Ausgangswert konvergiert instabil, wenn es auf eine Anregung endlicher Energie mit divergierendem Ausgangssignal reagiert Stabilitätsdefinition wird für zeitdiskrete Systeme übernommen Beispiel für Systeme mit unterschiedlichen Stabilitätseigenschaften Asymptotisch stabiles System Grenzstabiles System Instabiles System Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7

8 Signalfolge y 3 Signalfolge y Signalfolge y Stabilität eines zeitdiskreten Systems Stabilitätseigenschaften lassen sich für u = an der Differenzengleichung abgelesen Bei stabilem System ergibt sich der neuer Ausgangswert aus einem Bruchteil des alten Ausgangswertes y k = u k + y k Bei grenzstabilem System sind alter und neuer Ausgangswert identisch = + y k u k y k Bei instabilem System ergibt sich der neue Ausgangswert aus einem Vielfachen des alten Ausgangswertes Instabiles System y3 k = u k + y3 k Grenzstabiles System Asymptotisch stabiles System Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8

9 Kausalität eines zeitdiskreten Systems Für die Realisierbarkeit eines Systems darf das Ausgangssignal zu einem gegebenen Zeitpunkt nur von Werten der Eingangssignale zu diesem oder einem früheren Zeitpunkt abhängen Verhalten wird bei zeitkontinuierliche Systeme als die Eigenschaft der Kausalität eines Systems bezeichnet, das System reagiert erst nach der Anregung Liegt eine Systembeschreibung über eine Differenzengleichung vor, kann die Kausalität direkt bewertet werden M N = y k d u k m c y k n m m= n= n Da alle Indizes m und n größer gleich null sind, ist ein System, das durch eine lineare Differenzengleichung der obigen Form beschrieben werden kann, ein kausales System Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9

10 Signal Signal Beispiel: Kausalität eines zeitdiskreten Systems Gleitender Mittelwert hat die Differenzengleichung y k u k u k u k u k 3 u k 4 5 ( ) = Weil das Ausgangssignal nur vom aktuellen und vergangenen Eingangswerte abhängt, ist das System kausal. Ein System mit der Differenzengleichung y k u k u k u k u k u k 5 ( ) = Kausales System Eingang Ausgang Nicht kausales System Eingang Ausgang ist nicht mehr kausal Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

11 Systemeigenschaften LTI-Systeme Folgende Darstellungen beschränken sich auf Systeme, die linear und zeitinvariant sind und als LTI-Systeme bezeichnet werden LTI-Systeme sind besonders anschaulich und einfach im Zeit-, Bild- und Frequenzbereich zu beschreiben und zu interpretieren Systeme, die mit einer linearen Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden können, erfüllen die Bedingungen nach Linearität und Zeitinvarianz N M c y k n = d u k m n n= m= m Methoden entsprechen sinngemäß den Methoden zeitkontinuierlicher Systeme Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

12 Lösung linearer Differenzengleichungen im Zeitbereich Die beschriebenen Beispiele haben ein Systemverhalten, das über lineare Differenzengleichungen N-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben wird Zur Berechnung des Ausgangssignals stehen unterschiedliche Methoden zur Verfügung, die teilweise im Zeitbereich und teilweise im Bildbereich ausgeführt werden Zunächst werden Lösungsansätze im Zeitbereich beschrieben Rekursive Lösung Vier-Schritt-Methode Lösung über die Faltungssumme Grafische Faltung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

13 Lösung linearer Differenzengleichungen Rekursive Darstellung Differenzengleichung N-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten lautet in ihrer allgemeinsten Form N M c y k n = d u k m n n= m= m Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die Annahme c = getroffen werden M N = y k d u k m c y k n m m= n= n Aktuelles Ausgangssignal ergibt sich allgemein aus dem aktuellen Wert des Eingangssignals sowie den vergangenen Werten des Ein- und Ausgangssignals Ausgangssignale der oben dargestellten Systeme wurden mit Hilfe dieser rekursiven Darstellung berechnet Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

14 Lösung linearer Differenzengleichungen Vier-Schritt-Methode Für die Diskussion von Systemeigenschaften ist es notwendig, eine geschlossene Darstellung des Ausgangssignals zu erhalten Für die Lösung von linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten gibt es wie im kontinuierlichen Bereich für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten die Vier-Schritt- Methode Berechnung der homogenen Lösung Berechnung einer partikulären Lösung Kombination von homogener und partikulärer Lösung Bestimmung der Konstanten über Anfangsbedingungen Verfahren wird praktisch nicht angewendet, stattdessen wird die z-transformation angewendet, das Pendant zur Laplace-Transformation Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

15 Lösung linearer Differenzengleichungen Impuls- und Sprungantwort Ausgangssignal eines zeitdiskreten Systems ist von dem Anfangszustand abhängig, sind die Anfangsbedingungen null, ist das System energiefrei Wie im zeitkontinuierlichen Bereich wird die Reaktion eines energiefreien Systems auf eine sprungförmige Erregung als Sprungantwort h bezeichnet k k energiefreies LTI System hk gk Da sich der Impuls als Differenz zweier Sprünge darstellen lässt k = k k ergibt sich die Impulsantwort bei linearen, zeitinvarianten Systemen zu g k = h k h k Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5

16 Lösung linearer Differenzengleichungen Superpositionsprinzip Ist ein System linear und zeitinvariant, kann ein Ausgangssignal dadurch berechnet werden, dass die Eingangssignale zerlegt, ihre jeweiligen Systemantworten berechnet und anschließend addiert werden Als erste Anwendung dieses Prinzips wurde die Impulsantwort als Differenz zweier Sprungantworten berechnet Beispiel rekursive Filter mit der Differenzengleichung y k = ( GF) u k + GF y k Anregung mit einer Rechteckfolge der Länge und der Höhe 5, Eingangssignal kann als Summe zweier Sprungfolgen dargestellt werden ( ) u k = 5 k k = 5 k 5 k Ausgangssignal ergibt sich als Summe der beiden Sprungantworten k+ k 9 ( ) ( ) y k = 5 h k 5 h k = 5 GF k 5 GF k Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6

17 Signalfolge u Signalfolge y Signalfolge u Signalfolge y Signalfolge u Signalfolge y Lösung linearer Differenzengleichungen Superpositionsprinzip 6 Eingangssignal 6 Ausgangssignal Eingangssignal Ausgangssignal Superposition Eingangssignale Superposition Ausgangssignale Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7

18 Lösung linearer Differenzengleichungen Faltungssumme Mit Ausblendeigenschaft der Impulsfolge kann ein beliebiges Eingangssignal u beschreiben werden als Linearkombination um verschobener Impulse mit dem Gewicht u[ ] u k u k = = Systemantwort y auf ein Eingangssignal u kann nach dem Superpositionsprinzip aus derselben Linearkombination verschobener Impulsantworten dargestellt werden = = y k u g k u k g k = Operation wird als Faltungsoperation bezeichnet, zeitdiskrete Faltung entspricht weitgehend zeitkontinuierlicher Faltung Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8

19 Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch Faltung Der im vorangegangenen Abschnitt behandelte Algorithmus zur gleitenden Mittelung führte zu der Differenzengleichung y k u k u k u k u k 3 u k 4 5 ( ) = Durch Einsetzen der Impulsfolge als Eingangssignal ergibt sich die Impulsantwort zu g k k k k k 3 k 4 5 ( ) = Ausgangssignal zu einem beliebigen Eingangssignal kann berechnet werden durch die Faltungssumme 4 y k u g k u k 5 = = = = Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9

20 Signalfolge g Signalfolge u Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch grafische Faltung Beispiel zur grafischen Faltung Eingangssignal Folge u wird als Sprungfolge angenommen, Folge g ergibt sich aus g k = k k k 4 Faltung ist über eine Summenformel definiert, sie kann umgeformt werden zu = u k g k u g k = = u g ( k) = - Impulsantwort - Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

21 Signalfolgen Signalfolgen Signalfolgen Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch grafische Faltung Vorgehen orientiert sich an der grafischen Faltung für zeitkontinuierliche Funktionen Das Beispiel verdeutlicht folgenden Ablauf bei der grafischen Faltung zweier Folgen: Spiegelung von g an der Achse = Verschiebung der Folge um k Multiplikation der Folgenwerte Addition aller Produkte Vorgehen wird für verschiedene k durchgeführt, es ergibt sich y Zeitpunkt k = u[ ] g[- ] - Folgenindex Zeitpunkt k = u[ ] g[- ] - Folgenindex Zeitpunkt k = 3 u[ ] g[3- ] - Folgenindex Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

22 Signalfolge y Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch grafische Faltung Für negative Folgenindizes k überschneiden sich die beiden Folgen nicht Zum Zeitpunkt k = überschneiden sich die beiden Folgen an genau einer Stelle =, Ausgangssignal y[]= Für k = ergibt sich eine Überschneidung der ersten beiden Werte, nach Bildung des Produktes werden die Ergebnisse addiert und es ergibt sich y[]= + = 4 Für k 3 überschneidet sich die Folge g komplett mit der Folge x, so dass sich der Wert des Ausgangssignals nicht weiter ändert Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

23 Applikation: Zeitdiskrete Faltung Darstellung der zeitdiskreten Faltung in der Applikation zeitdiskrete Faltung Link auf Applikation in Systemtheorie Online verfügbar Es können unterschiedlichen Folgen u und g ausgewählt werden Überlappungsbereich der beiden Folgen, das Produkt der überlappenden Folgenwerte sowie die Summe über das Produkt sind in unterschiedlichen Fenstern dargestellt Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

24 Zusammenfassung Eigenschaften der Faltungssumme Rechenregel Kommutativgesetz Distributivgesetz Assoziativgesetz Faltung kausaler Folgen Faltung mit einem Impuls Faltung mit einem Impuls an der Stelle k Darstellung als Gleichung = x k x k x k x k ( x k + x k ) x3 k = x k x3 k + x k x3 k ( x k x k ) x3 k = x k x k x3 k k ( ) = x n x k n x n x k n n= n= y k = k x k = x k = = y k k k x k x k k Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

25 Übungsaufgabe: Ein zeitdiskretes System besitzt die Impulsantwort g k k = k Berechnen Sie die ersten 6 Werte der Impulsantwort und skizzieren Sie das Ergebnis Berechnen Sie die Sprungantwort des Systems über die Faltungssumme y k u k g = = und über die rekursive Differenzengleichung h k = h k + g k Vergleichen Sie die Ergebnisse Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5