Filter - Theorie und Praxis
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- Inge Henriette Kaiser
- vor 5 Jahren
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1 Manuel C. Kohl, M.Sc. 1
2 Agenda Einführung und Motivation Analoge und digitale Übertragungssysteme Grundlegende Filtertypen Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR-Filter) Filtercharakteristiken (analoge Prototypen, linearphasige Filter) Design von FIR- und IIR-Filtern mit MATLAB Literatur Manuel C. Kohl, M.Sc. 2
3 Einführung und Motivation Was ist ein Filter? 410x410/102450/melitta-porzellan-kaffeefilter.jpg Manuel C. Kohl, M.Sc. 3
4 Einführung Was ist ein Filter? Ein Filter/Operator ist ein System, das die Eigenschaften eines Signals verändert. Hervorhebung erwünschter Signalkomponenten Dämpfung unerwünschter Signalkomponenten Trennung des Nutzsignals vom Störsignal (Rauschen) Kein Filter kann Information aus einem Signal herausholen, die nicht bereits zuvor darin enthalten war Manuel C. Kohl, M.Sc. 4
5 Motivation Typische Einsatzmöglichkeiten für eindimensionale (Zeit-)Signale : Glättung Erkennung von Sprüngen Detrending Denoising Typische Anwendungen auf mehrdimensionale Signale (z.b. Bilder) : Kantenerkennung Beseitigung von Bildstörungen (z.b. Staub, Kratzer) Denoising Manuel C. Kohl, M.Sc. 5
6 Motivation Beispiel : Unbearbeitete ERP-Map eines auditorisch evozierten Potentials Manuel C. Kohl, M.Sc. 6
7 Motivation Beispiel : ERP-Map nach Anwendung eines Denoising-Bildfilters Manuel C. Kohl, M.Sc. 7
8 Motivation Beispiel : Unbearbeitetes Elektrokardiogramm Manuel C. Kohl, M.Sc. 8
9 Motivation Beispiel : Detrending des EKG-Signals mithilfe eines Hochpassfilters Manuel C. Kohl, M.Sc. 9
10 Motivation Beispiel : Entfernung des Netzbrummens mithilfe eines Kerbfilters Manuel C. Kohl, M.Sc. 10
11 Motivation Beispiel : Entrauschen des EKG-Signals mithilfe eines Tiefpassfilters Manuel C. Kohl, M.Sc. 11
12 Motivation Beispiel : R-Zackenerkennung im EKG-Signal (Hochpassfilter + Schwellwert) Manuel C. Kohl, M.Sc. 12
13 Analoge und digitale Übertragungssysteme Analoge (zeitkontinuierliche) Systeme werden i.d.r. als elektronische Schaltungen um Operationsverstärker aufgebaut (Spannungs-)Übertragungsfunktion Beschreibung des Systemverhaltens durch Differentialgleichung terordnung_ png Vorteil : Systemantwort ist praktisch instantan (keine Verarbeitungslatenz) ideal für (i.d.r. stark zeitkritische) Regelaufgaben Nachteil : Anzahl an möglichen Filtercharakteristiken ist stark begrenzt Manuel C. Kohl, M.Sc. 13
14 Analoge und digitale Übertragungssysteme Digitale Systeme arbeiten mit zeitdiskreten Repräsentationen kontinuierlicher Signale Beschreibung des Systemverhaltens durch Differenzengleichung Nachteil : Einführung größerer Verarbeitungslatenzen, dadurch meist ungeeignet für stark zeitkritische Einsatzfelder Manuel C. Kohl, M.Sc. 14
15 Analoge und digitale Übertragungssysteme Vorteile von DSP-Systemen im Vergleich zu analoger Technik : Praktisch beliebig komplexe mathematische Operationen können flexibel, exakt und ohne zusätzlichen Hardwareaufwand durchgeführt werden Praktisch beliebig große Signalmengen können für Berechnungszwecke verlustfrei zwischengespeichert und übertragen werden Realisierung von Filtern, die in analoger Technik nicht umsetzbar wären : Exakt linearphasige Filter / Zero-Phase-Filter Extrem schmalbandige Filter ( hohe Ordnung) Filter mit sehr steilen Flanken ( hohe Ordnung) Filter für enorm niedrige Frequenzen Manuel C. Kohl, M.Sc. 15
16 Grundlegende Filtertypen Tiefpassfilter ( Lowpass bzw. Highcut ) Manuel C. Kohl, M.Sc. 16
17 Grundlegende Filtertypen Hochpassfilter ( Highpass bzw. Lowcut ) Manuel C. Kohl, M.Sc. 17
18 Grundlegende Filtertypen Bandpassfilter und Peakfilter Manuel C. Kohl, M.Sc. 18
19 Grundlegende Filtertypen Bandsperrfilter und Kerbfilter ( Bandstop bzw. Notch ) 02XerdaqMolyjevH9YfUj_nQOdc39QnqPYAFd281O02RQ Manuel C. Kohl, M.Sc. 19
20 Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung (kontinuierlich) Übertragungsfunktion H(s) : Beschreibung des Systemverhaltens im Frequenzbereich / S-Bildbereich ( Multiplikation) Impulsantwort (Funktion) h(t) : Beschreibung des Systemverhaltens im Zeitbereich ( Faltung) Manuel C. Kohl, M.Sc. 20
21 Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung (diskret) Übertragungsfunktion H(z) : Beschreibung des Systemverhaltens im Frequenzbereich / Z-Bildbereich ( Multiplikation) Impulsantwort (Folge) h[ ] : Beschreibung des Systemverhaltens im Zeitbereich ( Faltung) Manuel C. Kohl, M.Sc. 21
22 Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Konkretes Beispiel : diskrete Faltung zweier Folgen Manuel C. Kohl, M.Sc. 22
23 Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Faltung ist kommutativ : Manuel C. Kohl, M.Sc. 23
24 Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Filterung eines Signals durch Faltung : Originalsignal Manuel C. Kohl, M.Sc. 24
25 Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Filterung eines Signals durch Faltung : Verrauschtes Signal Manuel C. Kohl, M.Sc. 25
26 Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Gaußförmiger Faltungskern (gleitender Mittelwert Tiefpassfilterung) Was bedeutet das? Manuel C. Kohl, M.Sc. 26
27 Übertragungsfunktion, Impulsantwort und Faltung Gefiltertes Signal (Faltungsprodukt) Manuel C. Kohl, M.Sc. 27
![y[ ] wird aus aktuellen und vergangenen Werten der Eingangsfolge x[ ] abgeleitet ( kausales System) https://upload.](/docs-images/97/133246962/images/28-3.jpg "wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 9/9b/FIR_Filter.svg/1000px-FIR_Filter.svg.png 23.06.2016 Manuel C. Kohl, M.")
28 Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) LTI-Systeme Direkte Normalform Endliche Impulsantwort Keine Rückkopplung (nichtrekursiv) immer stabil Filtergleichung : Filterordnung N Zählerpolynom b[ ] h[ ] Ausgangsfolge y[ ] wird aus aktuellen und vergangenen Werten der Eingangsfolge x[ ] abgeleitet ( kausales System) 9/9b/FIR_Filter.svg/1000px-FIR_Filter.svg.png Manuel C. Kohl, M.Sc. 28
29 Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR-Filter) LTI-Systeme Unendliche Impulsantwort Rückkopplung (rational / rekursiv) nicht zwangsläufig stabil Filtergleichung : Filterordnungen M und N Zählerpolynom b[ ] Nennerpolynom a[ ] Ausgangsfolge y[ ] wird aus aktuellen und vergangenen Werten der Eingangsfolge x[ ] sowie vergangenen Werten der Ausgangsfolge selbst abgeleitet ( kausales System) Manuel C. Kohl, M.Sc. 29
30 Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR-Filter) Direkte Form I Direkte Form II 1/1f/DF1.png/509px-DF1.png 2b.png Manuel C. Kohl, M.Sc. 30
31 Vergleich FIR- und IIR-Filter Eigenschaften Vorteile Nachteile FIR-Filter Endliche Impulsantwort Keine Rückkopplung Zwangsläufige Stabilität des Systems Einfaches Design Nicht alle Filtercharakteristiken sind praktisch als FIR-Filter realisierbar Endlicher Stopbandabstand Hohe Ordnung für steile Flanken nötig Höhere Rechenleistung und höherer Speicherplatzbedarf IIR-Filter Unendliche Impulsantwort Rückkopplung Bessere Filterwirkung Steile Flanken mit geringer Ordnung Höhere Anzahl an praktisch realisierbaren Filtercharakteristiken Geringerer Bedarf an Rechenleistung und Speicherplatz Stabilität des Systems ist nicht zwangsläufig gegeben Komplizierteres Design Besonders sorgfältige Dimensionierung nötig Manuel C. Kohl, M.Sc. 31
32 Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Butterworth-Charakteristik : Maximal flacher Amplitudengang im Passband Monotoner Amplitudengang im Stopband Moderates Abknicken bei der Grenzfrequenz Moderate Nichtlinearität im Phasengang Moderat frequenzabhängige Gruppenlaufzeit Manuel C. Kohl, M.Sc. 32
33 Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Chebyshev-Charakteristik : Welligkeit des Amplitudengangs im Passband Steiles Abknicken bei der Grenzfrequenz Hohes Überschwingen der Sprungantwort Starke Nichtlinearität im Phasengang Keine konstante Gruppenlaufzeit im Passband Manuel C. Kohl, M.Sc. 33
34 Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Elliptische/Cauer-Charakteristik : Oszillierender Verlauf des Amplitudengangs in Passband und Stopband Maximal steiler Übergang des Amplitudengangs vom Passband ins Stopband Hohe Garantiedämpfung / Mindest-Stopbandabstand mit minimaler Ordnung Sehr starke Nichtlinearität des Phasengangs Manuel C. Kohl, M.Sc. 34
35 Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Bessel-Charakteristik : Glatter Amplitudengang im Passband Geringe Steilheit bei der Grenzfrequenz Minimales Überschwingen der Sprungantwort Geringe Nichtlinearität im Phasengang Konstante Gruppenlaufzeit im Passband Manuel C. Kohl, M.Sc. 35
36 Filtercharakteristiken (analoge Prototypen) Bessel-Charakteristik : Glatter Amplitudengang im Passband Geringe Steilheit bei der Grenzfrequenz Minimales Überschwingen der Sprungantwort Geringe Nichtlinearität im Phasengang Konstante Gruppenlaufzeit im Passband Manuel C. Kohl, M.Sc. 36
37 Filtercharakteristiken (linearphasige Filter) Fensterbasierte FIR-Filter : Amplitudengang entspricht einer Fensterfunktion (Tradeoff zwischen Flankensteilheit, Welligkeit im Passband und Stopbandabstand gegebener Ordnung) Endlicher Stopbandabstand Linearer Phasengang im Passband Konstante Gruppenlaufzeit im Passband bei Manuel C. Kohl, M.Sc. 37
38 Filtercharakteristiken Fensterfunktionen : Rechteckfenster (Rectangular Window) Manuel C. Kohl, M.Sc. 38
39 Filtercharakteristiken Fensterfunktionen : Von-Hann-Fenster (Raised-Cosine-Window) Manuel C. Kohl, M.Sc. 39
40 Filtercharakteristiken Fensterfunktionen : Hamming-Fenster Manuel C. Kohl, M.Sc. 40
41 Filtercharakteristiken Fensterfunktionen : Flat-Top-Fenster Manuel C. Kohl, M.Sc. 41
42 Design von FIR- und IIR-Filtern mit MATLAB Filter Design & Analysis Tool (fdatool) Manuel C. Kohl, M.Sc. 42
43 Literatur [1] Meyer, M. : Signalverarbeitung : Analoge und Digitale Signale, Systeme und Filter. 6. Aufl. Vieweg+Teubner, 2011 [2] Kapitel 5 : FIR- und IIR-Filterentwurf. Züricher Hochschule Winterthur, Departement Technik, Informatik und Naturwissenschaften, 2005 [3] Lecture 8 - DT Filter Design : IIR Filters. Massachusetts Institut of Technology, Department of Electrical Engineering and Computer Science, Manuel C. Kohl, M.Sc. 43
44 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Manuel C. Kohl, M.Sc. 44
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