filter Filter Ziele Parameter Entwurf

Transkript

1 1 Filter Ziele Parameter Entwurf

2 2 Beschreibung Pol-Nullstellen- Diagramm Übertragungsfunktion H(z) Differenzengleichung y(n) Impulsantwort h(n): Finite Impulse Response (FIR) Infinite Impulse Response (IIR)

3 3 Biquad-Filter Praktische Ausführung H z= b 0b 1 z 1 b 2 z 2 1a 1 z 1 a 2 z 2 yn=b 0 xnb 1 xn 1b 2 xn 2 a 1 yn 1 a 2 yn 2 Beispiel: Tiefpaß: b 0 =1/12 d F F 2 b 1 =2b 0 b 2 =b 0 a 1 =2 b 0 1 F 2 a 2 =b d FF 2 F = f c f s d 1 tan f c / f s... analoge Grenzfrequenz... Sampling Frequenz... Dämpfungsfaktor

4 4 Direktformen Direktform I: Direktform II, kanonische Form:

5 5 Transponierte Direktformen Transp. Direktform I: Transp. Direktform II:

6 6 algorithmen in akustik und computermusik Skalierung Rechenoperationen: Multiplikation: 16bit x 16bit = 31bit Addition: 16bit + 16bit = 17bit Anforderungen: Systemwortbreite: höher als Signalauflösung Akkumulator: deutlich höhere Wortbreite - Signal: 16bit System: 24bit Akku: 48bit Fließkommaprozessoren: - Signal: 24bit System: 32 floating point Skalierung des Signals, wenn notwendig!

7 7 Filter höherer Ordnung Zerlegung der gesamten Filterstruktur in Biquad-Teile: Serienschaltung Parallelschaltung: - unüblich: jeder Parameter kann das Verhalten des gesamten Filter verändern Unity gain : Überlauf vermeiden an internen Knoten gefährliche Pole mit Nullstellen in einem Filter aufheben

8 8 algorithmen in akustik und computermusik Überlauf Addition: 1-er Komplement - Vorzeichen im MSB, - einfachere Implementierung 2-er Komplement für Addition - Wertetabelle: Dezimal Hex FFF FFFF -2 FFFE - Transparent für Überlauf: = EF4 H H = 80F4 H = F4 H + 1E8 H = 82DC H = DC H 3E8 H = 7EF4 H

9 9 Quantisierung des Signals Direktform I, Quantisierung nach dem Akku

10 10 Runden oder Abschneiden Vergleich:

11 11 Fehlerrückkopplung Eigenschaften des Quantisierungsfehlers Y Z = X Z b i z i 1 a i z i E Z 1 1 a i z i Abhilfe: Rückkopplung

12 12 Error Spectrum Shaping

13 13 Error Spectrum Shaping (2) Noise Shaping höherer Ordnung: Optimales Shaping?

14 14 Quantisierung der Parameter Verschiebung der Pol-/Nullstellen Ungünstige Verteilung der Pol-/Nullstellen

15 15 Gold-Rader-Struktur Gleichmäßige Quantisierung der Z-Ebene H Z = 1 2 R{z } a 1 N Z z 1 R{z } 2 I {z } 2 a 2 z 2

16 16 Kingsbury-Struktur x(n) y(n) k 1 -k 1 z -1 k 2 z -1

17 17 Zölzer-Struktur

18 18 Vergleich der Strukturen Direktform Gold-Rader-Struktur Kingsbury-Struktur Zölzer-Struktur

19 19 Parametrische Filter Nachteile der Biquad-Struktur: Charakteristik von allen Koeffizienten abhängig Nur für statische Filter geeignet Ziele: unabhängige Koeffizienten stabil im jeweiligen Bereich Lösungen: spezielle Strukturen Allpaß

20 20 Allpaß Übertragungsfunktion: A 1 z= z 1 c 1c z 1 c= tan f c/ f s 1 tan f c / f s 1 Spektrum:

21 21 Hoch-/Tiefpaß H z= 1 2 1Az H z= Az

22 22 Allpaß 2-ter Ordnung Übertragungsfunktion: b= tan f b/ f s 1 tan f b / f s 1 A 2 z= z 2 c1 b z 1 b 1c1 b z 1 bz 2 c= cos2 f c / f s Spektrum:

23 23 Bandpaß / Bandsperre H z= A 2 z H z= A 2 z

24 24 Equalizer Parameter: Shelving-Filter Peak / Notch-Filter

25 25 Shelving Filter Kombination aus Tief- und Hochpaß Interessanter Bereich wird betont Hochpaß: Tiefpaß: TP : 1 2 [1A z] HP : G 1 2 [1 Az] TP : G 0 2 [1Az] HP : 1 2 [1 Az] H z= 1 2 [G 11 G A z] mit H 0 =G 1 G =H 0 1: H z=1 H 0 [1 A z] 2 H z= 1 2 [ G 0 1G 0 1 A z] mit H 0 =G 0 1 G 0 =H 0 1 H z=1 H 0 [1 A z] 2

26 26 Shelving (2) H z=1 H 0 2 [1± A z] A 1 z= z 1 c 1c z 1 c= tan f c/ f s 1 tan f c / f s 1

27 27 Peak Kombination aus Bandpaß und Bandsperre A 2 z= z 2 c1 b z 1 b 1c1 b z 1 bz 2 b= tan f b/ f s 1 tan f b / f s 1 H z=1 H 0 2 [1 A 2 z] c= cos2 f c / f s

28 28 Lattice-Filter Problem: Parameter im Allpaß nicht unabhängig: A 2 z= z 2 k 1 1 k 2 z 1 k 2 1k 1 1 k 2 z 1 k 2 z 2 Rekursive Form: A m z= k 2z 1 A m 1 Z 1k 2 z 1 A m 1 Z

29 29 Lattice Filter (2)

30 30 Lattice (3) Ergebnis:

31 31 Nichtrekursive Audio-Filter Direkte Form: Faltung im Zeitbereich Aufwand: N 2 N...Signallänge Schnelle Faltung: Multiplikation im Frequenzbereich Aufwand: kurze Signale 3 2 N log 2 N 3N lange Signale

32 32 Faltung im Zeitbereich Faltung: M yn=xn hn= i xn hn m Einfache Realisierung Zeitintensive Berechnung

33 33 Schnelle Faltung Mulitplikation im Frequenzbereich: Y k =X k H k x(n) h(n) Länge: L Länge: M Zero padding auf Länge: N = L + M - 1 x(n) 0 DFT X(k) h(n) 0 DFT H(k) Faltung durch Multiplikation: y(n) Länge: N = L + M -1 IDFT Y k =X k H k

34 34 Schnelle Faltung optimiert x(n) x F (n) x F+1 (n) Bildung einer komplexwertigen Folge: z n=x F n j x F1 n Zero padding von h(n) und z(n) auf N = M + L - 1 DTF von h(n) und z(n): H(k) und Z(k) Multiplikation und IDTF: en= z n hn= x F n hn j x F1 n hn Folgen teilen: y F n=r{en} y F1 n=i{en}

35 35 Zusammenführen der Ergebnisse Overlap and Add-Methode: x F (n) x F+1 (n) x F+2 (n) h(n) yn=x F n hn yn=x F1 n hn yn=x F2 n hn y(n) Abklingen

36 36 Vergleich der Faltungsalg. FIR, direkte Methode Rechenleistung Implementierungsaufwand: leicht mittel schwer non uniform, block based FFT Schnelle Faltung Latenzzeit

37 37 Zeitvariante Filter Synthesizer Equalizer Echtzeitssysteme Virtuelle Akustik Beispiele: Wah-wah Phaser

38 38 Wah-Wah zeitvariante Peak-Filter:

39 39 Phaser zeitvariante Notch-Filter:

40 40 Weiterführende Literatur Jon Datorro. The Implementation of Recursive Digital Filters for High-Fidelity Audio. J. Audio Eng. Soc.,Vol. 36, No. 11, 1988 November, pp Dana C. Massie. An Engineering Study of the Four- Multiply Normalized Ladder Filter. J. Audio Eng. Soc., Vol. 41, No. 7/8, 1993 July/August, pp Udo Zölzer. Roundoff Error Analysis of Digital Filters. J. Audio Eng. Soc., Vol. 42, No. 4, 1994 April, pp Rhonda Wilson. Filter Topologies. J. Audio Eng. Soc., Vol. 41, No. 9, 1993 September, pp