TEIL I: Analoge Filter

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1 TEIL I: Analoge Filter Version vom. April 24 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Literatur: L. D. Paarmann, Design And Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective. Kluwer Academic Publishers, 2. D. Kreß and D. Irmer, Angewandte Systemtheorie. Oldenbourg Verlag, München und Wien, 99. O. Mildenberger, Entwurf analoger und digitaler Filter. Vieweg, 992. R. Schaumann and Mac E. Van Valkenburg, Design of Analog Filters. Oxford University Press, 2. Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2

2 Kapitel Grundlagen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 3. Phasen- und Gruppenlaufzeit, Dämpfung Annahme: Übertragungsfunktion G(f ) = G(f ) e jϕ(f ) Dämpfung: a(f ) = log G(f ) 2 = 2 log G(f ) db Phasenlaufzeit: Gruppenlaufzeit: t ph (f ) = 2π ϕ(f ) f t g (f ) = 2π dϕ(f ) df Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4

3 .2 Paley-Wiener-Theorem ist G(f ) quadratisch integrierbar, d.h, gilt G(f ) 2 df <, dann (und nur dann) ist die Bedingung ln G(f ) + (2πf ) 2 df < notwendig und hinreichend für die Existenz einer kausalen Impulsantwort g(t) Hinweis : die quadratische Integrierbarkeit ist z.b. bei Hochpassfiltern oder Bandsperren nicht erfüllt Hinweis 2: auch wenn zu einem vorgegebenen G(f ) 2 bzw. a(f ) eine kausale Impulsantwort existiert, ist das Filter nicht notwendigerweise auch realisierbar Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 5.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung ein (lineares, zeitinvariantes) Netzwerk mit N unabhängigen Speicherelementen kann durch eine Differentialgleichung N-ter Ordnung beschrieben werden entsprechend ergibt sich für die Übertragungsfunktion G p (p) eine gebrochen rationale Funktion gemäß G p (p) = M µ= α µp µ N ν= β νp ν = α + α p + + α M p M β + β p + + β N p N. in Pol-Nullstellenform gilt G p (p) = k p (p p )(p p 2 )... (p p M ) (p p )(p p 2 )... (p p N ) mit k p = α M β N. Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6

4 .3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung U (p) Netzwerkmodell für Analogfilter: α α α M p p p p U 2 (p) β β β M β N β N Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 7.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung wichtige Randbedingungen: alle Filterkoeffizienten α µ und β ν sind reell die Nullstellen p,µ, µ =,2,...,M, und die Polstellen p ν, ν =, 2,..., N, sind entweder reell oder sie treten in konjugiert komplexen Paaren auf für BIBO-Stabilität wird gefordert: M N der Realteil aller Polstellen ist negativ / das Nennenpolynom ist ein Hurwitzpolynom (für β N = muss für alle Koeffizienten des Nennerpolynoms gelten: β ν >, ν =,, 2,..., N.) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 8

5 .3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung Kettenschaltung von Teilsystemen. und 2. Ordnung: die Übertragungsfunktion G p (p) kann als Produkt von Gliedern erster und zweiter Ordnung ausgedrückt werden G p (p) = k p M µ= N ν= (p p µ ) M2 µ= (p p ν ) N2 ν= (p 2 + γ µ p + δ µ ) p 2 + ǫ ν p + η ν ) p µ und p ν sind dabei reelle Null- und Polstellen die Nullstellen (Polstellen) der Ausdrücke p 2 + γ µ p + δ µ (p 2 + ǫ ν p + η ν ) sind entweder konjugiert komplex oder reell es gilt also : M = M + 2M 2 ; N = N + 2N 2 damit kann jedes Filter N-ter Ordnung durch Filter. und 2. Ordnung kaskadiert werden Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 9.4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration: Allpasskonfiguration: ein (fiktives) Teilsystem G p (p) = p+p p p hat einen konstanten Amplitudengang bei einem Allpass liegen allen Polstellen spiegelbildlich zur jω-achse Nullstellen gegenüber da komplexe Pole als konjugiert komplexe Paare auftreten müssen, gilt demnach: G p (p) = (p + p )(p + p 2 )... (p + p N ) (p p )(p p 2 )... (p p N ) die Gruppenlaufzeit eines Allpasses ist niemals negativ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter

6 .4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration: Minimalphasenkonfiguration: bei einem Minimalphasensystem liegen alle Nullstellen in der linken Halbebene oder auf der jω-achse jedes Nicht-Minimalphasensystem kann in ein Allpass-Teilsystem und ein Minimalphasen-Teilsystem zerlegt werden da die Gruppenlaufzeit eines Allpasses niemals negativ ist, besitzt ein Minimalphasensystem von allen möglichen Systemen mit identischem Dämpfungsverlauf die kleinste Gruppenlaufzeit Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter.5 Randbedingungen für den Dämpfungsverlauf häufig wird beim Filterentwurf ein bestimmter Dämpfungsverlauf a(f ) bzw. G(f ) 2 angestrebt Frage: Welche Kriterien muss der Dämpfungsverlauf erfüllen, damit damit das Filter realisierbar ist? Ausgangspunkt: Y (f ) = G(f ) 2 = G(f ) G(f ) = G(f )G( f ) mit G(f ) = G p (p) p=j2πf und Y (f ) = Y p (p) p=j2πf folgt auch Y p (p) = G p (p) G p ( p) Y p (p) muss in G p (p) und G p ( p) faktorisiert werden können und ist ebenfalls eine gebrochen rationale Funktion Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2

7 .5 Randbedingungen für den Dämpfungsverlauf G(f ) 2 ist nur dann ein geeigneter Dämpfungsverlauf mit zugehörigem G p (p), wenn G(f ) 2 nur geradzahlige Potenzen von f enthält (f, f 2,...) die Ordnung des Zählerpolynoms nicht größer als die Ordnung des Nennerpolynoms ist G(f ) 2 keine reellen Polstellen hat (entspricht der Bedingung, dass Y p (p) keine Polstellen auf der jω-achse hat) G(f ) 2 keine reellen Nullstellen hat, die mit ungerader Anzahl vorkommen das zugehörige Y p (p) in G p (p) und G p ( p) faktorisiert werden kann Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 3 Kapitel 2 Filter. Ordnung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4

8 2. Tiefpass Realisierung und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 5 2. Tiefpass Dämpfungsverlauf log G(f ) 2 db normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6

9 2. Tiefpass Phasenverlauf 2 ϕ(f ) in Grad normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 7 2. Tiefpass Verlauf der Gruppenlaufzeit tg(f )/T normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 8

10 2.2 Hochpass Realisierung und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Hochpass Dämpfungsverlauf 2 log G(f ) 2 db normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2

11 2.2 Hochpass Phasenverlauf ϕ(f ) in Grad normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Hochpass Verlauf der Gruppenlaufzeit tg(f )/T normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 22

12 2.3 Shelving-Tiefpass Passive Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G(f ) = + j2πft z + j2πft p = + jf /f gz + jf /f gp mit f gz = 2πT z, f gp = 2πT p ϕ(f ) = arctan(f /f gz ) arctan(f /f gp ), wobei f gz > f gp Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Shelving-Tiefpass Impulsantwort (passive Realisierung) aus der Übertragungsfunktion G(f ) = + j2πft p + j2πft z + j2πft p folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zunächst g(t) = e t Tp s(t) + d ( ) Tz e t Tp s(t) T p dt T p und damit g(t) = T z δ(t) + e T p T p dabei ist s(t) der Einheitssprung t Tp ( T ) z s(t) T p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 24

13 2.3 Shelving-Tiefpass Aktive Realisierung und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Shelving-Tiefpass Dämpfungsverlauf (passive Realisierung) Darstellung für f gz = f gp (passives Filter) log G(f ) 2 db normierte Frequenz f /f gp Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 26

14 2.3 Shelving-Tiefpass Phasenverlauf Darstellung für f gz = f gp 5 ϕ(f ) in Grad normierte Frequenz f /f gp Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Shelving-Tiefpass Verlauf der Gruppenlaufzeit Darstellung für f gz = f gp.2 tg(f )/(Tp Tz) normierte Frequenz f /f gp Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 28

15 2.4 Shelving-Hochpass Passive Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G(f ) = T p T z + j2πft z + j2πft p = f gz f gp + jf /f gz + jf /f gp mit f gz = 2πT z, f gp = 2πT p ϕ(f ) = arctan(f /f gz ) arctan(f /f gp ), wobei f gp > f gz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Shelving-Hochpass Impulsantwort (passive Realisierung) aus der Übertragungsfunktion G(f ) = T p T z + j2πft p + j2πft p + j2πft p folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zunächst g(t) = T z e t Tp s(t) + d dt ) (e t Tp s(t) und damit ( g(t) = δ(t) e t Tp ) s(t) T p T z Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 3

16 2.4 Shelving-Hochpass Aktive Realisierung und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Shelving-Hochpass Dämpfungsverlauf (passive Realisierung) Darstellung für f gp = f gz (passives Filter) log G(f ) 2 db normierte Frequenz f /f gz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 32

17 2.4 Shelving-Hochpass Phasenverlauf 35 Darstellung für f gp = f gz 3 ϕ(f ) in Grad normierte Frequenz f /f gz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Shelving-Hochpass Verlauf der Gruppenlaufzeit Darstellung für f gp = f gz.4.2 tg(f )/(Tz Tp) normierte Frequenz f /f gz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 34

18 2.4 Shelving-Hochpass Antwort auf einen (schmalbandigen) Raised-Kosinus Impuls Darstellung für f gp = f gz.8 Ausgangsimpuls Eingangsimpuls Amplitude normierte Zeit t/t g () Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Allpass Aktive Realisierung () und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 36

19 2.5 Allpass Übertragungsfunktion (aktive Variante () ) G(f ) = j2πft + j2πft = + j2πft j2πft + j2πft zugehörige Impulsantwort g(t) = δ(t) + 2 T e t T s(t) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Allpass Aktive Realisierung (2) und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 38

20 2.5 Allpass Phasenverlauf (Variante ()) 2 4 ϕ(f ) in Grad normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Allpass Verlauf der Gruppenlaufzeit tg(f )/T normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4

21 Kapitel 3 Filter 2. Ordnung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4 3. Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G p (p) = ω 2 p 2 + p ω Q + ω2 mit ω 2 = LC,Q = L R C G(f ) 2 = [ (f /f ) 2 ] 2 + (f /f ) 2 /Q 2 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 42

22 3. Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Amplitudengang in Abhängigkeit der Güte 2 5 log G(f ) 2 db Q= Q=2 Q=.7 Q= normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Amplitudengang: 3 db-breite der Resonanzüberhöhung normierter Amplitudengang in db Q=2 Q= Q= normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 44

23 3. Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Amplitudengang: maximal flacher Verlauf für Q = / 2.2. log G(f ) 2 db Q = / 2 = 8/6 Q = 9/6 Q = 7/6.5 2 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Gruppenlaufzeit in Abhängigkeit der Güte tg(f ) πf Q=5 Q=2 Q=.7 Q= normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 46

24 3. Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Gruppenlaufzeit: maximal flacher Verlauf für Q = / Q = / 3 = 3/ 27 Q = 3/ 28 Q = 3/ 26 tg(f )/tg() normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort 6 4 Q=5 Q=2 2 g(t)/f normierte Zeit t f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 48

25 3. Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort Q=5 Q=2 h(t) normierte Zeit t f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort Q=.7 Q=.5 Q=.25 g(t)/f normierte Zeit t f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 5

26 3. Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort h(t).8.6 Q=.7 Q=.5 Q= normierte Zeit t f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 5 3. Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierungsvariante: Sallen-Key Tiefpassfilter für R = R 2 = R gilt: ω = R,Q = C2 C C 2 2 C (Bild aus: Active Filter Design Techniques, Texas Instruments) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 52

27 3. Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad () Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad (2) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 54

28 3.2 Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G p (p) = p 2 p 2 + p ω Q + ω2 aktive Realisierungsvariante mit ω 2 = LC,Q = L R C G p,hp (p/w ) = G p,tp (w /p) im Sallen-Key Tiefpassfilter Cs und Rs vertauschen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) vom Tiefpass zum Hochpass (Amplitudengang) 8 6 Tiefpass, Q=2 Hochpass, Q=2 log G(f ) 2 db normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 56

29 3.2 Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung () die folgenden 2 Folien zeigen den Amplitudengang, die Gruppenlaufzeit und die Sprungantwort für f = 2 Hz Gruppenlaufzeitverzerrungen sind bis ca. 5 Hz hörbar Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (2) log G(f ) 2 db tg(f ) in ms Summe 5 Tiefton Hochton Frequenz f in Hz 2 Summe Frequenz f in Hz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 58

30 3.2 Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (3) Sprungantwort h(t) Zeit t in ms Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Bandpass (zusätzliche einfache Nullstelle) Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G p (p) = p ω Q p 2 + p ω Q + ω2 mit ω 2 = LC,Q = L R C für Q.5 wie Kettenschaltung aus TP und HP erster Ordnung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6

31 3.3 Bandpass (zusätzliche einfache Nullstelle) 3 db Breite bei Q log G(f ) 2 db Q=2 Q= Q=5.5 Q= normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Bandpass (zusätzliche einfache Nullstelle) aktive Realisierungsvariante (): Sallen-Key Bandpassfilter mit G = + R 2 R, ω = RC und Q = 3 G gilt hier: G p (p) = Q 3 /Q p ω Q p 2 +p ω Q +ω 2 (Bild aus: Active Filter Design Techniques, Texas Instruments) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 62

32 3.3 Bandpass (zusätzliche einfache Nullstelle) aktive Realisierungsvariante (2): Multiple Feedback Filter mit ω = C R +R 3 R R 2 R 3 und Q = ω 2 CR 2 gilt hier: G p (p) = R p ω 2 2R Q p 2 +p ω Q +ω 2 (Bild aus: Active Filter Design Techniques, Texas Instruments) aktive Realisierungsvariante (3): Tow-Thomson-Biquad Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Notch-Filter Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G p (p) = p2 + p ω Q + ω2 p 2 + p ω Q k + ω2 mit ω 2 = LC, Q = L R 2 C, k = R 2 R + R 2 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 64

33 3.4 Notch-Filter Amplitudengang und 3 db Breite log G(f ) 2 db Q=2, k=/2 Q=, k=/2 Q=2, k=/4 Q=, k=/ normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Notch-Tiefpass PN-Diagramm und möglicher Ansatz zur Umsetzung Übertragungsfunktion G p (p) = p2 + p ω k Q k 2 + (ω k ) 2 p 2 + p ω Q + ω2 mit k > Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 66

34 3.5 Notch-Tiefpass Amplitudengang und Anwendungsbeispiel Beispiel mit k =2, k 2 =4 log G(f ) 2 db Notch Tiefpass (Entzerrer) Hochpass mit Boost (Q=2) Hochpass entzerrt (Q=/2) normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Allpass PN-Diagramm und mögliche Realisierung (Bild aus: Active Filter Design Techniques, Texas Instruments) Übertragungsfunktion G p (p) = k p (p + p )(p + p 2 ) (p p )(p p 2 ) mit p /2 = ω 2Q ±ω (2Q) 2 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 68

35 3.6 Allpass Gruppenlaufzeit in Abhängigkeit der Güte tg(f ) π f Q=2 Q= Q=.577 Q=/ normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 69 Kapitel 4 Standard Tiefpass- Approximationen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 7

36 4. Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Ausgangspunkt: Amplitudengang G(f ) 2 = ( ) 2N + f fc Merkmal: maximal flache Charakteristik im Durchlassbereich (Phasengang wird erkauft) Polstellen mit G(ω) 2 = G(ω)G( ω) = G p (p)g p ( p) p=jω folgt zunächst für die 2N verschiedenen Pole p ν, ν =,,...,2N, von Y p (p) = G p (p)g p ( p): p ν = ω c e jϕ ν mit ϕ ν = π 2N + ν π N für N gerade, p ν = ω c e jϕ ν mit ϕ ν = ν π N für N ungerade G p (p) werden genau die N verschiedenen Pole von Y p (p) zugeordnet, die in der linken Halbebene liegen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 7 4. Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) PN-Diagramme für verschiedene Filterordnungen () N = 2 N = 3 jω/ωc σ/ω c jω/ωc σ/ω c Anmerkung: k p = ω N c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 72

37 4. Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) PN-Diagramme für verschiedene Filterordnungen (2) N = 4 N = 5 jω/ωc σ/ω c jω/ωc σ/ω c Anmerkung: k p = ω N c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Amplitudengang in Abhängigkeit des Filtergrads 2 log G(f ) 2 db N= N=2 N=3 N=4 N=5 N= 2 normierte Frequenz f /f c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 74

38 4. Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Kaskadierung eines Filters 5. Ordnung 5 log G(f ) 2 db 5 5 gesamt reelle Polstelle Polpaar Polpaar 2 2 jω/ωc.5 normierte Frequenz f /f c σ/ω c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Gruppenlaufzeit in Abhängigkeit des Filtergrads 3 tg(f ) πfc N= N=2 N=3 N=4 N=5.5 normierte Frequenz f /f c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 76

39 4. Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Sprungantwort.2.8 h(t).6.4 N=2 N=3 N=4 N= normierte Zeit t f c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Dämpfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung () Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 78

40 4. Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Dämpfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung (2) notwendige Filterordnung: ( log N = a min / a max/ log ( fs f d ) ) zugehörige 3 db Grenzfrequenz f c f d ( a max / ) 2N f c f s ( a min / ) 2N Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Dämpfungstoleranzschema: Beispiel f d = 2 khz, a max =.25 db, f s = 56.4 khz, a min = 8 db ergibt: N = 6, 25.3 khz f c 33.7 khz N= f c =25.3 khz f c =33.7 khz a(f ) db normierte Frequenz f in KHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 8

41 4. Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Normierte Reaktanzen, Widerstände und Frequenzen Bezugs-Kreisfrequenz: ω B (in rad/s) Bezugs-Widerstand: R B (in Ω) normierter Widerstand: R = R R B normierte Kapazität: C = C ω B R B normierte Induktivität: L = L ω B R B normierte Kreisfrequenz bzw. Bildvariable: ω = ω ω B ; p = p ω B Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 8 4. Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Dimensionierung eines passiven Polynomfilters Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 82

42 4. Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Normierte Reaktanzwerte für r 2 = R 2 = (Tabelle aus: Fritzsche Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Normierte Reaktanzwerte für r 2 = R 2 = (Tabelle aus: Fritzsche Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 84

43 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Tschebyscheff Polynome erster Art Polynome für die Ordnungen bis 5: T (x) = T (x) = x T 2 (x) = 2x 2 T 3 (x) = 4x 3 3x T 4 (x) = 8x 4 8x 2 + T 5 (x) = 6x 5 2x 3 + 5x rekursive Berechnung: T n+ (x) = 2xT n (x) T n (x) Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen: { cos(n arccos(x)) für x T n (x) = cosh(n arccosh(x)) sonst Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ Tiefpass Tschebyscheff Polynome Verlauf für n = 3 und n = 5.5 Tn(x) x T n 2 (x) x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 86

44 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Ausgangspunkt: Amplitudengang G(f ) 2 = + δ 2 T ) N( 2 f f d Merkmal: Restwelligkeit von a max = log ( + δ 2 ) db im Durchlassbereich Equal Ripple Filter Phase wird erkauft die Frequenz f d bestimmt die Grenze des Durchlassbereichs (mit 2() = gilt auch log G(f d ) 2 = a max ) ) ( ) 2N da TN( 2 f f d den Term f f d enthält, steigt die Dämpfung im Sperrbereich mit N 2 db pro Dekade. Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ Tiefpass Polstellen zunächst werden wieder die Pole von Y p (p) = G p (p)g p ( p) bestimmt für die Pole p Y,ν, ν =,...,2N, von Y p (p) muss gelten ( ) ( ) δ 2 TN 2 py,ν py,ν = bzw. δ T N = ±j jω d jω d der Übertragungsfunktion G p (p) werden die Pole in der linken Halbebene zugeordnet; es gilt (ν =,..., N) ( ) ( ) (2ν )π (2ν )π p ν = σ HA sin +jω HA cos, wobei 2N 2N ( ) ( ) σ HA = sinh N arcsinh ω HA = cosh δ N arcsinh δ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 88

45 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Polstellen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ Tiefpass PN-Bilder für verschiedene Filterord.,.25 db Ripple () N = 2 (Q = ) N = 3 jω/ωd σ/ω d jω/ωd σ/ω d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 9

46 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass PN-Bilder für verschiedene Filterord.,.25 db Ripple (2) N = 4 N = 5 jω/ωd σ/ω d jω/ωd σ/ω d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ Tiefpass Amplitudengang in Abhäng. des Filtergrads (.25 db Ripple) 2 log G(f ) 2 db N= N=2 N=3 N=4 N=5 2 2 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 92

47 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Amplitudengang im Durchlassbereich (.25 db Ripple) 2 log G(f ) 2 db N=2 N=3 N=4 N= normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ Tiefpass Potenztiefpass vs. T Tiefpass (N = 5,.25 db Ripple) log G(f ) 2 db Tscheby (N=5) Butterworth (N=5) 5 2 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 94

48 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Potenztiefpass vs. T Tiefpass (N = 5,.25 db Ripple) log G(f ) 2 db Tscheby (N=5) Butterworth (N=5) 7 8 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ Tiefpass Gruppenlaufzeit in Abhäng. des Filtergrads (.25 db Ripple) 7 tg(f ) πfd N= N=2 N=3 N=4 N= normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 96

49 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Sprungantwort in Abhäng. des Filtergrads (.25 db Ripple).2.8 h(t) N= N=2 N=3 N=4 N= normierte Zeit t f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ Tiefpass Dämpfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung notwendiger Filtergrad: N = r arccosh a min / a max/ arccosh f s f d «Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 98

50 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Dämpfungstoleranzschema: Beispiel () f d = 2 khz, a max =.25 db, f s = 56.4 khz, a min = 8 db ergibt: N = 5 N = 5 genügt aber sogar für einen Ripple von nur.25 db 8 7 a max =.25 db a max =.25 db 6 a(f ) db normierte Frequenz f in KHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ Tiefpass Dämpfungstoleranzschema: Beispiel (2) Dämpfungsverlauf im Durchlassbereich für a max =.25 db und a max =.25 db.25.2 a(f ) db.5..5 a max =.25 db a max =.25 db normierte Frequenz f in KHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter

51 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Dämpfungstoleranzschema: Beispiel (3) Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich für a max =.25 db und a max =.25 db.8.7 tg(f ) in ms a max =.25 db a max =.25 db normierte Frequenz f in KHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Dimensionierung eines passiven Polynomfilters bzgl. der folgenden Tabellen wurde angenommen: normierter Widerstand r 2 = R 2 = ü normierte Grenzkreisfrequenz Durchlassbereich: ω d = 2π f d = es ist gleichgültig, ob das erste Element s ein Querelement (Kapazität) oder ein Längselement ist (Spule) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2

52 4.2 Tschebyscheff Typ Tiefpass Normierte Reaktanzwerte für a max =.8 db (Tabelle aus: Fritzsche Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ Tiefpass Normierte Reaktanzwerte für a max =.25 db (Tabelle aus: Fritzsche Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4

53 4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Ausgangspunkt: Amplitudengang G(f ) 2 = + δ 2 T N( 2 fs ) = δ2 T ( 2 fs ) N f f + δ 2 T N( 2 fs Merkmal: Restwelligkeit im Sperrbereich; die Minimaldämpfung beträgt von a min = log ( + δ 2 ) db Phase wird erkauft die Frequenz f s bestimmt die Grenze des Sperrbereichs (mit T 2 N () = gilt auch log G(f s ) 2 = a min ) f ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Polstellen zunächst werden wieder die Pole von Y p (p) = G p (p)g p ( p) bestimmt bei identischem Parameter δ, der beim Typ die Maximaldämpfung a max im Durchlassbereich und beim Typ 2 die Minimaldämpfung a min im Sperrbereich bestimmt, gilt für die normierten Pole p Y,ν, ν =,...,2N, von Y p (p) offensichtlich p Y,ν = j j = p Y,T,ν p Y,T,ν dabei sind p Y,T,ν die normierten Polstellen von Y p,t (p) für den Fall eines Typ Filters der Übertragungsfunktion G p (p) werden die Pole in der linken Halbebene zugeordnet; es gilt (ν =,..., N) p ν = / p T,ν Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6

54 4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Nullstellen der Amplitudengang G(f ) 2 besitzt Nullstellen bei den Frequenzen N f,k = f s cos ( π ), k =,2,..., (2k ) 2 2N die Nullstellen von G p (p) sind demnach: j 2πf,k Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ Tiefpass (N=3) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 8

55 4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ Tiefpass (N=5) 2 N = j ω σ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang in Abhäng. des Filtergrads (a min = 2 db).25.2 G(f ) 2.5. N=2 N=3 N= normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter

56 4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang in Abhäng. des Filtergrads (a min = 2 db).5 log G(f ) 2 db N=2 N=3 N= normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (a min = 8 db) Darstellung incl. Übergangsbereich log G(f ) 2 db Butterworth, N=2 Tscheby T2, N=2 Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5, normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2

57 4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (a min = 8 db).5 Darstellung des Durchlassbereichs log G(f ) 2 db Butterworth, N=2 Tscheby T2, N=2 Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5, normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Gruppenlaufzeit im Vgl. zum Potenztiefpass (a min = 8 db) tg(f )/tg() Butterworth, N=2 Tscheby T2, N=2 Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5, normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4

58 4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Sprungantwort im Vgl. zum Potenztiefpass (a min = 8 db).2 h(t) Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5, normierte Zeit t f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Notwendige Filterordnung notwendiger Filtergrad: N = gleiches Ergebnis wie beim Typ Filter r arccosh a min / a max/ arccosh f s fd «Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6

59 4.4 Cauer Tiefpass Ausgangspunkt: Amplitudengang G(f ) 2 = + δ 2 R ) N( 2 f f d,l Restwelligkeit im Durchlass- und Sperrbereich geringste notwendige Filterordnung bei vorgegebenen Parametern a min, a max, f s f d die Maximaldämpfung im Durchlassbereich beträgt a max = log ( + δ 2 ) db; es gilt also δ = a max/ die Minimaldämpfung im Sperrbereich beträgt a min = log ( + δ 2 L 2 ) db; es gilt also L 2 = a min / amax/ ( ) R f N f d,l ist eine rationale elliptische Funktion vom Grad N Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Cauer Tiefpass Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R 2 (x, ) 2 5 R2(x, ) x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 8

60 4.4 Cauer Tiefpass Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R 4 (x, ) 2 5 R4(x, ) x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Cauer Tiefpass PN-Bilder für verschiedene Filterordnungen () Annahmen: a max =.5 db, a min = 3 db N = 2 N = jω/ωd jω/ωd σ/ω d σ/ω d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2

61 4.4 Cauer Tiefpass PN-Bilder für verschiedene Filterordnungen (2) Annahmen: a max =.5 db, a min = 3 db N = N = 5 jω/ωd 2 jω/ωd σ/ω d σ/ω d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Cauer Tiefpass Amplitudengang für N = 5 a max = db, a min = 3 db log G(f ) 2 db normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 22

62 4.4 Cauer Tiefpass Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich a max =.5 db, a min = 5 db tg(f )/tg() N=2 N=3 N=4 N=5.5 2 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Cauer Tiefpass Sprungantwort für N = 5.5 N=5, a min =5 db h(t).5 a = db max a =.5 db max a max =. db a max =. db normierte Zeit t f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 24

63 4.4 Cauer Tiefpass Notwendige Filterordnung näherungsweise gilt: a min + 2log (/δ) 2 log (R N (f s /f d,l)) aus dem folgenden Diagramm kann für jede Parameterkonstellation f s /f d, a min und δ (δ = a max/ ) der notwendige Filtergrad abgelesen werden Beispiel: für f s /f d =.5, a min = 5 db und a max =.5 db bzw. a min + 2log (/δ) 59. db folgt N = 5 das gleiche Verfahren kann auch für den Potenztiefpass und den Tschebyscheff-Tiefpass angewendet werden; in diesen Fällen gilt a min + 2log (/δ) 2 N log (f s /f d ) bzw. a min + 2log (/δ) 2 log (cosh(n acosh(f s /f d ))) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Cauer Tiefpass Notwendige Filterordnung eines Cauer Tiefpasses 4 amin + 2log (/δ) db N= N=9 N=8 N=7 N=6 N=5 N=4 N= f s /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 26

64 4.4 Cauer Tiefpass Notwendige Filterordnung eines Tschebyscheff-Tiefpasses 4 amin + 2log (/δ) db N= N=9 N=8 N=7 N=6 N=5 N=4 N= f s /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Cauer Tiefpass Notwendige Filterordnung eines Potenz-Tiefpasses 2 amin + 2log (/δ) db N=7 N=5 N=3 N= N=9 N=7 N=5 N= f s /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 28

65 4.5 Besseltiefpass Entwurfsziel Polynomfilter mit maximal flacher Gruppenlaufzeit (Amplitudengang wird erkauft) möglicher Ansatz: Storch-Methode Besselpolynome Polynome für die Ordnungen bis 4: B (x) = B (x) = x + B 2 (x) = x 2 + 3x + 3 B 3 (x) = x 3 + 6x 2 + 5x + 5 B 4 (x) = x 4 + x x 2 + 5x + 5 rekursive Berechnung: B n (x) = (2n )B n (x) + x 2 B n 2 (x) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Besseltiefpass Storch-Methode ideale Verzögerung (normiert): G p ( p) = e p = e p e p = sinh( p) + cosh( p) Taylor-Reihe: cosh( p) = + p2 2! + p4 4! + p6 6!... Taylor-Reihe: sinh( p) = p + p3 3! + p5 5!... Kettenbruch: coth( p) = cosh( p) sinh( p) = p + 3 p + 5 p + 7 p +... Kettenbruch nach N Gliedern abbrechen und als gebrochen rationale Funktion darstellen; Zählerpolynom wird mit cosh( p) identifiziert, Nennerpolynom mit sinh( p) Zähler- und Nennerpolynom addieren (ergibt Besselpolynom) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 3

66 4.5 Besseltiefpass Übertragungsfunktion für die normierte Bildvariable soll gelten p = p t g () dabei ist t g () die Gruppenlaufzeit bei der Frequenz f = in diesem Fall gilt für die Übertragungsfunktion als Funktion der normierten Bildvariablen: es gilt demnach G(f = ) = G p ( p) = B N() B N ( p) außerdem gilt für die normierte Gruppenlaufzeit: t g () = für die Grafiken wurde außerdem f = f t g () angenommen, also ausnahmsweise p = 2π f (und nicht p = f ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Besseltiefpass Gruppenlaufzeit als Funktion der normierten Frequenz norm. Gruppenlaufzeit N=2 N=5 N= normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 32

67 4.5 Besseltiefpass Dämpfung als Funktion der normierten Frequenz log G( f ) 2 db N=2 N=5 N= normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Besseltiefpass relative Laufzeitabweichung als Funktion der Dämpfung relative Laufzeitabweichung in % N=2 N=5 N= log G(f ) 2 db Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 34

68 4.5 Besseltiefpass Gruppenlaufzeit als Funktion der Frequenz.6.5 tg(f ) f3db N=2 N=5 N= normierte Frequenz f /f 3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Besseltiefpass Dämpfung als Funktion der Frequenz N=2 N=5 N= log G(f ) 2 db normierte Frequenz f /f 3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 36

69 4.5 Besseltiefpass PN-Diagramm für verschiedene Filterordnungen 6 N=8 jω tg() N=5 N= σ t g () Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Besseltiefpass Impulsantwort N=2 N=5 N= g(t)/f3db normierte Zeit t f 3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 38

70 4.5 Besseltiefpass Sprungantwort h(t) N=2 N=5 N= normierte Zeit t f 3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 39 Kapitel 5 Transformationen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4

71 5. Tiefpass-Hochpass-Transformation Ziel: aus gegebener Tiefpass-Übertragungsfunktion G ptp (p) äquivalente Hochpass-Übertragungsfunktion G php (p) gewinnen schaltungstechnischer Ansatz: Kapazitäten im Querzweig des passiven Netzwerks (siehe S. 8) durch Induktivitäten ersetzen; Induktivitäten im Längszweig durch Kapazitäten die Transformationsvorschrift lautet demnach: p = / p dabei ist p die normierte Bildvariable im TP-Bereich p ist die normierte Bildvariable im HP-Bereich eine Normierung von p bzw. p mit der Kreisfrequenz ω c führt bei logarithmischer Frequenzachse zu einer Spieglung des TP-Amplituden(betrags)gangs an der Frequenz ω c, denn es gilt log(ω c /ω) = log(ω/ω c ) die Normierung kann beispielsweise mit der Grenzfrequenz ω D = 2πf D des Durchlassbereichs erfolgen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4 5. Tiefpass-Hochpass-Transformation Beispiel: Tschebyscheff Typ HP- und TP-Filter 5. Ordnung 5 log G( ω) 2 db Tiefpass Hochpass (transformiert) Hochpass (Matlab) 4 ω Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 42

72 5. Tiefpass-Hochpass-Transformation Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenem Dämpfungstoleranzschema HP-Dämpfungstoleranzschema in normierte Form überführen (z. B. Normierung mit ω D ) 2 durch Frequenztransformation ω = /ω (das Vorzeichen spielt beim Dämpfungsverlauf keine Rolle) äquivalentes TP-Toleranzschema entwickeln 3 für gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff,... ) Filtergrad und TP-Übertragungsfunktion G ptp ( p ) ermitteln 4 G ptp ( p ) in HP-Übertragungsfunktion G php ( p) überführen gemäß 5 G php ( p) entnormieren G php ( p) = G ptp ( p ) p =/ p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass-Hochpass-Transformation Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenem Dämpfungstoleranzschema Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 44

73 5. Tiefpass-Hochpass-Transformation Transformierte Pole und Nullstellen betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p ν im TP-Bereich, ν {,2,...,N } es gilt: p p = ν = p p p ν ν p p p ν für die Pole im HP-Bereich gilt also mit N = N : p ν = p ν, ν =,...,N es entstehen (N M ) Nullstellen im Ursprung sowie M Nullstellen gemäß: p µ = p, µ =,... µ,m für die Konstante k p folgt: k p = k p ( ) N+M N ν= p M ν µ= p µ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass-Hochpass-Transformation Beispiel: Pole und Nullst. vor und nach der Transformation 3 rot: TP, blau: HP, Tscheby I Filter rot: TP, blau: HP, Tscheby II Filter j Im{p} 7 j Im{p} Re{p} Re{p} Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 46

74 5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Ziel: aus gegebener Tiefpass-Übertragungsfunktion G ptp (p) äquivalente Bandpass-Übertragungsfunktion G pbp (p) gewinnen das Amplitudenbetragsspektrum sei bei logarithmischer Frequenzachse symmetrisch zur Mittenfrequenz ω = 2πf für die Mittenfrequenz gilt also ω = ω D ω D = ω S ω S und demnach ω D ω = ω ω D bzw. (geometrischer Mittelwert) ω S ω = ω ω S sowie log(ω ) = 2 [log(ω D) + log(ω D )] (linearer Mittelwert) bzw. log(ω ) = 2 [log(ω S) + log(ω S )] Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass-Bandpass-Transformation Beispiel: Tschebyscheff Typ BP-Filter 5. Ordnung 5 log G(ω) 2 db B = ω D ω D 4 ω S ω D ω ω D ω S Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 48

75 5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation schaltungstechnischer Ansatz: Kapazitäten im Querzweig des passiven Netzwerks (siehe S. 8) durch Parallelschwingkreise (Induktivität und Kapazität) ersetzen; Induktivitäten im Längszweig durch Serienschwingkreise Transformationsvorschrift: p = ( p + / p)/ B p ist wieder die normierte Bildvariable im TP-Bereich p = p/ω ist die normierte Bildvariable im BP-Bereich; normiert wird demnach mit ω es ist vorteilhaft, den Ausdruck p + / p zusätzlich mit der normierten Bandbreite B = B/ω = ω D ω D ω zu normieren dadurch korrespondiert die Frequenz ω D im BP-Bereich mit der Frequenz ω D = im TP-Bereich für ω S folgt demnach: ω S = ω S / ω S B Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass-Bandpass-Transformation Entwurf eines Bandpass-Filters bei gegebenem Dämpfungstoleranzschema BP-Dämpfungstoleranzschema in normierte Form überführen, (Normierung mit ω ) 2 durch Frequenztransformation ω = ω / ω TP-Toleranzschema entwickeln B äquivalentes 3 für gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff,... ) Filtergrad und TP-Übertragungsfunktion G ptp ( p ) ermitteln 4 G pbp ( p ) in BP-Übertragungsfunktion G pbp ( p) überführen gemäß 5 G pbp ( p) entnormieren G pbp ( p) = G ptp ( p ) p =( p+/ p)/ B Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 5

76 5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Entwurf eines BP-Filters bei gegebenem D.-toleranzschema Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Tiefpass-Bandpass-Transformation Transformierte Pole und Nullstellen betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p ν im TP-Bereich, ν {,2,...,N } es gilt: = B p p = ν / B p ν p+ p p p 2 p( p ν B)+ für die N = 2N Pole im BP-Bereich gilt also: p ν,2 = p B ν ( p B/2) 2 2 ± ν es entstehen (N M ) Nullstellen im Ursprung sowie 2M Nullstellen gemäß: p µ,2 = p µ B 2 ± ( p B/2) 2 µ für die Konstante k p folgt: k p = k p B N M Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 52

77 5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Beispiel: Transformation eines Tschebyscheff I-Filters 2 rot: TP, blau: BP, Tscheby I Filter Amplitudengang Bandpass und Tiefpass (normierte Frequenzachse) j Im{p} G(f) in db 2 3 Tiefpass Bandpass Re{p} 6 normierte Frequenz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 53 TEIL II: Digitale Filter Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 54

78 Literatur: A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Zeitdiskrete Signalverarbeitung. R. Oldenbourg Verlag, 999. D. Kreß and D. Irmer, Angewandte Systemtheorie. Oldenbourg Verlag, München und Wien, 99. K.D. Kammeyer and Kristian Kroschel, Digitale Signalverarbeitung. Vieweg + Teubner, 29. Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 55 Kapitel 6 Rekursive zeitdiskrete Filter Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 56

79 6. Bilinear-Transformation Ziel: aus gegebenen Übertragungsfunktion G p (p) eines zeitkontinuierlichen Filters Übertragungsfunktion G z (z) eines rekursiven diskreten Filters gewinnen Ansatz: p (idealer Integrator) als Elementarbaustein des kontinuierlichen Filters durch t z+ 2 z ersetzen (diskreter idealer Integrator, Stützstellenabstand t = /f p ) die Transformationsvorschrift lautet demnach: G z (z) = G p (p ) p = 2 z t z+ () der exakte Zusammenhang zwischen p und z wäre durch p = t ln(z) gegeben (G z (z) wäre dann aber keine gebrochen rationale Funktion mehr) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Bilinear-Transformation die Bilineartransformation führt also zu einer Verzerrung der Übertragungsfunktion in Frequenzrichtung der Zusammenhang zwischen f (unverzerrt) und f (verzerrt durch Bilineartransformation) lautet: f = t π tan(πft ) (2) ist das Dämpfungstoleranzschema eines Digitalfilters gegeben, dann werden die Eckfrequenzen f D und f S zunächst vorverzerrt; das auf die vorverzerrten Eckfrequenzen f D und f S zugeschnittene Analogfilter wird dann per Bilineartransformation in ein Digitalfilter überführt entfällt der Vorfaktor /t in (2), kann auch der Vorfaktor /t in () entfallen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 58

80 6. Bilinear-Transformation Verzerrung der Frequenz durch die Bilinear-Transformation.5 f t f t Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Bilinear-Transformation Transformierte Pole und Nullstellen betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p ν, ν {,2,...,N }, des Analogfilters; es gilt p p ν = 2f p z z+ p ν = 2f p p ν z + z 2f p+p ν 2f p p ν für die N Polstellen des rekursiven Digitalfilters gilt demnach in Abhängigkeit der N = N Polstellen des Analogfilters z ν = (2f p + p ν)/(2f p p ν), ν =,...,N besitzt das Zählerpolynom des Analogfilters den Grad M, ergeben sich für das Digitalfilter N M Nullstellen z µ bei sowie M Nullstellen gemäß z µ = (2f p + p µ )/(2f p p µ ), µ =,...,M Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6

81 6. Bilinear-Transformation Beispiel: Transformation eines Cauer-Tiefpasses 9. Ordnung analoges Cauer Filter 9. Ordnung digitales Cauer Filter 9. Ordnung j Im{p} j Im{z} Re{p}.5.5 Re{z} Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6 6. Bilinear-Transformation Beispiel: digitaler Tschebyscheff I-HP 5. Ordnung G(f) in db digitaler Tschebyscheff I HP, N=5, f D /(f p /2)=.83 2 normierte Frequenz f/(f p /2) j Im{z} digitaler Tschebyscheff I HP, N=5, f D /(f p /2)= Re{z} 5 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 62

82 6.2 Impulsinvariant-Methode Grundidee: Impulsantwort des Analogfilters durch Partialbruchzerlegung der Übertragungsfunktion (und anschließende Transformation in den Zeitbereich) analytisch bestimmen Impulsantwort abtasten und Einzelterme in den z-bereich transformieren u.u. großer Fehler durch Aliasing (Verletzung des Abtastth.) Partialbruchdarstellung von G p (p): G p (p) = a + n P r ν ν= k= a ν,k (p p ν ) k, wobei a = { fürm < N fürm = N α M βn p ν sind die n P unterschiedlichen Polstellen (Nullstellen des Nennerpolynoms) mit den Vielfachheiten r ν Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Impulsinvariant-Methode Impulsantwort des Analogfilters: g c (t) = a δ(t) + n P r ν ν= k= a ν,k (k )! tk e p νt s(t) s(t) ist der Einheitssprung, wobei s() = /2 gilt a δ(t) ist der direct feed-through term (nur für M = N vorhanden) Impulsantwort des zeitdiskreten Filters: g[n] = a δ[n] + n P r ν ν= k= t a ν,k (k )! (n t ) k e p νnt s[n] Hinweis: der direct feed-through term darf nicht mit t bewertet werden Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 64

83 6.2 Impulsinvariant-Methode Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Filters: Annahme: nur einfache Pole, d.h., n P = N G z (z) = a + N ν= t a ν 2 z + z ν z z ν, wobei z ν = e p νt zusätzl. Beitrag eines Pols p ν mit der Vielfachheit 2: t a ν, 2 z + z ν z z ν + t 2 a ν,2 z z ν (z z ν ) 2 zusätzl. Beitrag eines Pols p ν mit der Vielfachheit 3: t a ν, 2 z + z ν +t 2 z z a z z ν ν,2 ν (z z ν ) 2 +t3 a ν,2 z z ν (z + z ν ) (z z ν ) 3 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Impulsinvariant-Methode Beispiel: Zielvorgaben: a min = 7 db, a max =.5 db, f d = 2 khz, f s = 24 khz, Cauer-Tiefpass Charakteristik Cauer Filter. Ordnung, Impulsinvariantmethode G(f) in db Analogfilter f p =96 khz f p =92 khz f p =384 khz f p =768 khz Frequenz f in khz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 66

84 6.2 Impulsinvariant-Methode Beispiel (Forts.): Darstellung des Durchlassbereichs.2 Cauer Filter. Ordnung, Impulsinvariantmethode G(f) in db Analogfilter f p =96 khz f p =92 khz f p =384 khz f p =768 khz Frequenz f in khz durch die Welligkeit im Sperrbereich tritt starkes Aliasing auf Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter Impulsinvariant-Methode Beispiel (Forts.): Vergleich Bilinear-Tr. / Impulsinvariant-M. Cauer Filter. Ordnung, Bilineartransformation, f p =768 khz Cauer Filter. Ordnung, Impulsinvariantmethode, f p =768 khz j Im{z}.2 j Im{z} Re{z}.5.5 Re{z} Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 68