1 Frequenzverhalten Revision : 996
|
|
- Meike Hertz
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite von 6 Frequenzverhalten Revision : 996 Logarithmische Darstellungen Lrel (db Lrel (NP P2/P A2/A Verstärkungsmass L in Dezibel (db: L P = 0 log L A = 20 log ( P 2 P ( A 2 A Dezibel L zu linear: P 2 = P 0 L P 0 A 2 = A 0 L A 20 Verstärkungsmass L in Neper (Np: ( L P = 2 ln P 2 ( A L A = ln 2 A P Neper zu linear: P 2 = P e 2L P A 2 = A e L A Die Umrechnung zwischen db und Np ist linear: db = ln(0 20 Np = 05 Np Np = 20 log(e db = 8686 db X 2 Anstatt X für Verstärkungsmasse (L können auch Dämpfungsmasse (a verwendet werden! (P für Leistungen, A für Amplituden Hilfen zur Berechnung xdb L P = P 2/P L A = A 2/A xdb /L P /L A x + 3dB L P 2 L A 2 L A 44 x + 0dB L P 0 L A 0 L A 362 Relative & absolute Pegel Relativer Pegel: Pegel relativ zu definiertem Wert Absoluter Pegel: Pegel an Normgenerator (R i = 600Ω, mw Leistung am Widerstand db abs dbu Spannungspegel bezogen auf 7746 mv an 600 Ω dbm Leistungspegel bezogen auf mw an 600 Ω dbv Spannungspegel bezogen auf V dbµv Spannungspegel bezogen auf µv dbf Leistungspegel bezogen auf 0 5 W db rel dbw Leistungspegel bezogen auf W dbk Leistungspegel bezogen auf kw dbr relativer Pegel db0 Pegel auf 0 db bezogen X X 2 für
2 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 2 von 6 2 Minimal- und nicht-minimalphasige Systeme 2 Allpass-Systeme Allpässe werden vor allem als Laufzeitkorrekturglieder und als Verzögerungselemente verwendet Der Amplitudengang ist konstant ( H(jw = const 0 und die Pol- bzw Nullstellen haben in Paaren auftretende Null- und Polstellen, die symmetrisch zu jω-achse liegen Dabei liegen die Nullstellen auf der RHE UTF: T A (s = K Q( s Q(s 22 Minimalphasennetzwerk Ein Minimalphasennetzwerk hat keine Nullstellen in der rechten Halbebene (RHE, darf jedoch Nullstellen auf der imaginären Achse haben 23 Nicht-Minimalphasennetzwerk Ein Nicht-Minimalphasennetzwerk kann durch Kaskadierung eines Allpasses und eine Minimalphasennetzwerk realisiert werden: Nicht-Minimalphasennetzwerk (links = Minimalphasennetzwerk (Mitte Allpass (rechts 3 Stabilitätsbestimmung am Pol-/Nullstellendiagramm asymptotisch stabil = alle Polstellen in der linken Halbebene (LHE grenzstabil=polstellen in der LHE und/oder auf der imaginären Achse 4 Bode-Diagramm (Matlab: bode 4 Definition Das Bodediagramm besteht aus zwei Graphen, einer zeigt die Amplitude in doppelt-logarithmischer Form, der zweite zeigt die Phase in Grad und in linearer Form in Abhängigkeit der Frequenz dar 42 Stabilitätsbestimmung (Skript S 20 (Matlab: margin, allmargin Der Amplitudenrand ist der Abstand des Amplitudenganges zur 0 db-linie bei der Kreisfrequenz ω, wo die Phase gleich π (-80 Grad ist Der Phasenrand ist der Abstand das Phasenganges zur -π-linie bei der Kreisfrequenz ω, wo die Amplitude gleich 0 db ist Damit eine System stabil ist, müssen Phasen- und Amplitudenrand > 0 sein Je grösser der Phasen- und Amplitudenrand ist, desto stabiler ist das System
3 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 3 von 6 43 Approximation des Bode-Diagramms (Skript S 93 UTF H(s Amplitude H(s Phase (H(s Konstanter Faktor αe jβ Konst 20 log α Konst β 2 Pol im Ursprung α s 3 Nullstelle im Ursprung αs 4a Reeller Pol s+α 4b Reeller Pol α s+α 5a Reelle Nullstelle s + α 5b Reelle Nullstelle s+α α 6a Konjugiert-komplexe Pole s 2 +s ωp qp +ω2 p 6b Konjugiert-komplexe Pole ω 2 p s 2 +s ωp qp +ω2 p 7 Konjugiert-komplexe Nullstellen s 2 + s ωz q z + ωz 2 bzw s 2 +s ωz qz +ω2 z ωz 2 Lin Steigung 20db/Dek 0dB bei ω = α Lin Steigung +20db/Dek 0dB bei ω = α Konst 20 log α für ω < α dann Steigung 20dB/Dek Konst 0dB für ω < α dann Steigung 20dB/Dek Konst 20 log α für ω < α dann Steigung +20dB/Dek Konst 0dB für ω < α dann Steigung +20dB/Dek Konst 40 log ω p für ω < ω p dann Steigung 40dB/Dek für ω > ω p ; 40 log ω p Überhöhung zwischen ωp 2, ω p & 2ω p Max 20 log qp ω 2 p bei ω = ω p Konst 0dB für ω < ω p dann Steigung 40dB/Dek für ω > ω p ; 0dB Überhöhung zwischen ωp 2, ω p & 2ω p, Max 20 log q p bei ω = ω p Analog zu 6a, 6b (jedoch Spiegelung an der 0dB-Linie Konst π 2 Konst + π 2 Konst 0 für ω < α 0 Konst π 2 für ω > 0α Konst 0 für ω < α 0 Konst π 2 für ω > 0α Konst 0 für ω < α 0 Konst + π 2 für ω > 0α Konst 0 für ω < α 0 Konst + π 2 für ω > 0α Konst 0 für ω < ωp 0 2qp Konst π für ω > ω p 0 2qp π 2 bei ω = ω p Konst 0 für ω < ωp 0 2qp Konst π für ω > ω p 0 2qp Bei ω = ω p genau π 2 Analog zu 6a, 6b (jedoch Spiegelung an der 0 Grad-Linie 8 Serieschaltung von Systemen erfolgt durch Superposition der einzelnen Bode-Diagramme (Multiplikation von UTFs entspricht Addition im db-bereich Werte für q p bzw q z q 0 2qp q 0 2qp q 0 2qp q 0 2qp q 0 2qp 0 2qp 0 2qp 0 2qp 0 2qp 0 2qp
4 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 4 von 6 5 Ortskurve (Nyquist-Diagramm (Skript S 98 (Matlab: nyquist 5 Definition Im Gegensatz zum Bode-Diagramm wird beim Nyquist-Diagramm Betrag und Phase in einem einzigen Diagramm dargestellt, nämlich indem man den Real- und Imaginärteil des Ausgabewertes direkt in die komplexe Zahlenebene zeichnet 52 Stabilitätsbestimmung Ist der offene Regelkreis H(s asymptotisch stabil, so ist der geschlossene Regelkreis + H(s = D(s + N(s asymptotisch stabil, wenn die Ortskurve des offenen Regelkreises den kritischen Punkt (-,j0 weder umkreist noch durchläuft 6 Nichols-Diagramm (Skript S 203 (Matlab: nichols 6 Definition Das Nichols Diagramm (auch Amplituden-Phasen-Diagramm ist die Darstellung des Absolutbetrages (Verstärkung, logarithmisch in Abhängigkeit der Phase Das Nichols Diagramm ist zur Bestimmung der Stabilität in rückgekoppelten Systemen verwendbar
5 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 5 von 6 2 Signalflussdiagramm (Skript S 27 Revision : 998 Graphische Lösung linearer Gleichungen Graphische Darstellung von LTI-Systemen Änderung der Topologie ohne UTF zu ändern 2 Transformationsregeln (Skript S 223ff 22 Mason s Regel (Skript S 230 P k k k T ij = UTF von x i nach x j, wobei x i eine Quelle, x j jedoch nicht zwingend eine Senke sein muss P k Vorwärtspfad k k Kofaktor de k-ten Pfades Netzwerkdeterminante = - (Summe aller Schleifen + (Summe aller Produkte zweier Schleifen, die sich nicht berühren - (Summe aller Produkte dreier Schleifen, die sich nicht berühren + k = - (Summe aller Schleifen die P k nicht berühren + (Summe aller Produkte zweier Schleifen, die P k und sich selbst nicht berühren-(summe aller Produkte dreier Schleifen, die P k und sich selbst nicht berühren + Falls die UTF eines SFD von einem beliebigen Knoten (keiner Quelle gesucht wird, kann Mason s Regel nicht direkt angewandt werden Abhilfe: T ij = xj x i = xj x q x q x i = Tqj T qi Wobei x q eine Quelle sei Schlussendlich kürzt sich die Netzwerkdeterminante heraus 23 Beispiel eines SFD (Skript S 235 a Die UTF zwischen X und X 4 ist (mit Mason s Regel: H 4 = X 4 aeh + abc( g = X ef g b Das folgende Gleichungssystem beschreibt das SFD X 2 = a X + f X 3 X 3 = e X 2 + g X 3 X 4 = h X 3 + c X 6 X 5 = d X 4 X 6 = b X 2 Nach Umformung der Gleichungen erhalten wir: X 4 = h X 3 + bc e ( g X 3 & X 3 g e = a X + f X3 Somit ist X 4 = h+ bc e ( g g ae f a X = aeh+abc( g g ef X 24 Fundamentales SFD (Skript S 236 Ordnung eines SFD = Anzahl der fundamentalen Knoten: Knoten, welche entfernt werden müssen, um alle Schleifen aufzubrechen
6 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 6 von 6 24 Fundamentales SFD erster Ordnung (Skript S 237 Durch Reduzieren auf das fundamentale SFD Ordnung, kann die UTF direkt ermittelt werden: E o E i = t io + t ixt xo t xx = t io t io t xx + t ix t xo t xx 25 Einbezug analoger Verstärker (Skript S Skalierung(Skript S 245 Um einen oder mehrere Knoten zu ändern, ohne das gesamte System zu ändern (Voraussetzung: Start/Endknoten werden nicht mitmaskiert, kann man diese Knoten skalieren Vorgehen: Skalierungszone festlegen (Trennbündel 2 Alle eingehende Zweige mit λ multiplizieren 3 Alle ausgehende Zweige mit λ multiplizieren Wenn alle maximalen Signalniveaus gleich maximal möglichen Dynamikbereich
7 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 7 von 6 3 Zustandsraumdarstellung (Skript S 39 Revision : 999 Darstellung einer Differentialgleichung n Ordnung durch ein Differentialgleichungssystem von n Gleichungen Ordnung 3 Definition (Skript S 40 ẋ(t = Ax(t + Bu(t y(t = Cx(t + Du(t A: Systemmatrix (n x n: Spalten entsprechen Ausgängen der Integratoren, Zeilen Eingänge ; B: Steuer- oder Eingangsmatrix (n x m senkrecht ; C: Beobachtungs- oder Ausgangsmatrix (k x n waagrecht ; D: Übergangs- oder Durchgangsmatrix (k x m wobei m der Anzahl Eingangssignale, k der Anzahl Ausgangssignale & n der Anzahl Zustandsgrössen (Integratoren, Ordnung entsprechen 32 ZRD im Zeitbereich (Skript S ZRD im Frequenzbereich (Skript S 47 (Matlab: ss2tf H(s = Y (s U(s = C (si n A B + D Die Grösse der Matrix H(s entspricht der Grösse der Durchgangsmatrix D I n sei die Einheitsmatrix mit Grösse n x n 34 Übertragungsmatrizen (Skript S 49 H(s = Y (s U(s = b ms m + b m s m + + b s + b 0 s n + a n s n + + a s + a 0 Allgemeine Formel für m = Eingang, k = Ausgang, n = 2 Integratoren: H(s = [ ([ ] s 0 C C 2 0 s ] [ A A 2 A 2 A 22 ] [ ] B + D B 2 = B C (s A 22 + B C 2 A 2 + B 2 C A 2 + B 2 C 2 (s A (s A 22 (s A A 2 A 2 + D 35 Stabilität (Skript S 53 Wenn alle Realteile der Eigenwerte λ der Systemmatrix A negativ sind, ist ein LTI-System asymptotisch stabil, jedoch nicht umgekehrt: λi A = 0 λ R{λ} < 0
8 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 8 von 6 36 Beobachtbar- & Steuerbarkeit (Skript S Steuerbarkeit (Matlab: ctrb Gibt es Zustände von x(t die nicht von den Eingängen u(t beeinflusst werden? Wenn ja, dann ist das System nicht steuerbar! Wenn Q Steuerbarkeit = [ B AB A 2 B A n B ] 0, dann ist das System vollständig steuerbar 362 Beobachtbarkeit (Matlab: obsv Gibt es Zustände x(t die keinen Einfluss auf die Ausgänge y(t haben? Wenn ja, kann man aus dem Verhalten von y(t nicht auf die Zustände x(t schliessen! Das System ist nicht beobachtbar! C CA Wenn Q Beobachtbarkeit = CA 2 0, dann ist das System vollständig beobachtbar CA n 363 Regelungsnormalform (Skript S 50 ẋ (t ẋ 2(t ẋ n (t ẋ n(t = a 0 a a 2 a n y(t = [ ] b 0 a 0b n b a b n b n a n b n x (t x 2(t x n (t x n(t x (t x 2(t x n (t x n(t u(t, + [ ] b n u(t 364 Beobachtungsnormalform (Skript S 5 ẋ (t ẋ 2(t ẋ n (t ẋ n(t = a a 0 0 a a n y(t = [ 0 0 ] x (t x 2(t x n (t x n(t x (t x 2(t x n (t x n(t + + [ ] b n u(t b 0 a 0b n b a b n b 2 a 2b n b n a n b n u(t,
9 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 9 von 6 4 Matrizenrechnung 4 Übersicht Transponierte Matrix: A T = [a T ik ] = [a ki] vertauschen der Zeilen mit Spalten 0 0 Einheitsmatrix: I n = Determinante 2x2 Matrix 3x3 Matrix [ ] a a det 2 = a a 2 a a 22 a 2 a 2 22 det a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32 a 3 a 32 a 33 Dreiecksmatrix - Alle Elemente entweder ober- oder unterhalt der Hauptdiagonale = 0 det A = a a 22 a nn Die Det ist das Produkt der Hauptdiagonal-Einträge Gilt somit auch für Diagonalmatritzen Null ( A = 0 - Wenn A eine (n,n-matrix ist, so wird A = 0 unter einer der folgenden Bedingungen: Zwei Zeilen/Spalten sind linear abhängig (gleich oder ein Vielfaches der anderen Alle Elemente einer Zeile/Spalte sind Null Allgemein: a a 2 a n AɛM n : det A = a 2 = ( + a D + ( +2 a 2 D ( +n a n D n a n a nn 42 Unterdeterminante a 22 a 2n D = a n2 a nn D a 2 a 23 a 2n 2 = a n a n3 a nn D ij die (n- (n--untermatrix von D ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht Diese Methode ist zu empfehlen, wenn die Matrix in einer Zeile oder Spalte bis auf eine Stelle nur Nullen aufweisst Dies lässt sich meist mit dem Gausverfahren bewerkstelligen 43 Gaussverfahren Durch Addition und Subtraktion einzelner Zeilen (auch von Vielfachen einer Zeile werden einzelne Stellen auf Null gebracht zb: a a 2 a n a a 2 a n a 2 = ka 2 na ka 22 na 2 ka 2n na n a n a nn a n a nn Die n * erste Zeile wurde von der k * zweiten Zeile abgezogen (a 2 = ka 2 na
10 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 0 von 6 44 Inverse Matrix (Existiert nur wenn Matrix regulär: det A 0 2x2 Matrix: [ ] [ ] A a b d b = = c d ad bc c a 3x3 Matrix: A = a b c d e f g h i = ei fh ch bi bf ce fg di ai cg cd af det(a dh eg bg ah ae bd Diagonalmatrix (Alle Elemente ausserhalb der Hauptdiagonale = 0, Elemente auf Hauptdiagonale sind Eigenwerte λ i : Alle Elemete elementweise invertieren - Kehrwert Gilt nur wenn alle Elemente auf der Hauptdiagonale 0 sind Allgemein: a a 2 a n A = a 2 a n a nn a a 2 a n A T bestimmen (Zeilen und Spalten vertauschen A T = a 2 a n a nn ( + D ( +n D n 2 Bei A T jedes Element a ij durch Unterdet D ij mit richtigem Vorzeichen ersetzen A = ( n+ D n ( n+n D nn 3 A = A det A 45 Diagonalisierung Eigenwerte λ auschrechnen: det(a I n λ = 0 2 Eigenvektoren v bilden: (A λi n v = 0 3 Transformationsmatrix: T = [ v v n ] 4 T berechnen (Achtung ist A symmetrisch, dh A T = A und oder alle EV senktrecht zueinander, dann T = T T 5 D = λ λ λ 3 6 A n = T D n T
11 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite von 6 5 Filtertheorie (Skript S 257 Revision : 996 Man unterscheidet die Filtertypen grundsätzlich zwischen Tief-, Hoch- und Bandpässen sowie Bandsperren 5 Toleranzschema (Skript S 263 Im Durchlassbereich (DB bestimmt der Stempel die maximal zulässige Dämpfung A max ; im Sperrbereich (SB bestimmt die Matrize die minimal nötige Dämpfung A min 52 Realisation analoger Filter 52 Allgemeines Vorgehen Frequenznormierung durchführen 2 Normierten Tiefpass bestimmen (Filter nach Tiefpass transformieren 3 Art der Approximation wählen: Butterworth, Tschebyscheff (I, II, Cauer, Bessel, Gauss, 4 Bestimmung der Ordnung mit Nomogrammen (Skript S 34, Matlab (Matlab: buttord, chebord, cheb2ord, ellipord oder Formeln 5 Normierte TP-UTF aus Tabellen entnehmen & entnormieren 6 Aus Tabelle (Skript S 356 L und C-Werte für Tiefpassherauslesen & entnormieren 7 Filter von Tiefpass zum gesuchten Filter rücktransformieren 522 Frequenznormierung (Skript S 264 Normierung S = s ω r Ω = ω ω r σ = σ ω r Bei Bandpässen & -sperren: ω r = ω B ω B2 = }{{} wenn symmetrisch ωs ω S2 Zur Entnormierung wird ω 3db gebraucht, daher sind diese Formeln dafür nicht geeignet! 523 Filtertransformationen (Skript S 302 Tiefpass-Hochpass (Skript S 302 Tiefpass-Bandpass (Skript S 304 Tiefpass-Bandsperre (Skript S 308 Ordnung: n 2n 2n Ansatz: S S S S2 + B S S B S S 2 + ( UTF: H HP (S = H ( ( S T P S T BP (S = T 2 + T P B S T BS (S = T T P Norm Frequenz: Ω ST P = Ω SHP Ω ST P = Ω S2 Ω S B = Ω S2 Ω S B Ω B2 Ω B Ω ST P = Ω S2 Ω S Bandbreite B = ω B2 ω B ω r B S S 2 + = Ω B2 Ω B Ω S2 Ω S
12 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 2 von 6 Direkte Substitution HP-TP T T P (S = K KS b ns n +b n S n ++b S+b 0 T HP (S = n ( BP-TP Ordnung T T P (S = S S+a T BP (S = T 2 + T P B S ( BP-TP 2 Ordnung T T P (S = S 2 +as+b T BP (S = T T P ( BS-TP Ordnung T T P (S = S+a T BS (S = T T P ( BS-TP 2 Ordnung T T P (S = S 2 +as+b T BS (S = T T P 524 Approximationsarten (Skript S 294 b 0S n +b S n ++b n S+b n S 2 + B S B S S 2 + B S S 2 + = = B S S 2 +ab S+ = B 2 S 2 S 4 +abs 3 +(bb 2 +2S 2 +ab S+ = a (S2 + S 2 + B a S+ b (S2 + ( 2 S 4 + ab b S3 + B 2 b +2 S 2 + ab b S+ Butterworth (Skript S 266 Amplitudengang: Gute Approximation ( maximal flach Allpolfilter, Pole liegen auf Kreis mit Abstand π n Gruppenlaufzeit: Leichte Überhöhung bei Grenzfrequenz Tschebyscheff I (Skript S 276 Amplitudengang: Definierte Welligkeit im DB, steiler Übergang Allpolfilter, wobei alle Pole auf einer Ellipse liegen Schlechte Gruppenlaufzeit Cauer (Skript S 284 Amplitudengang: Definierte Welligkeit im SB und DB Steilster Übergang zwischen SB und DB Kritisch gedämpftes (Gauss-Filter (Skript S 273 Keine Überschwinger bei Impuls- & Sprungantwort Kaskadierung von wirkungsfreien RC-Filtern Allpolfilter: Pole nur auf negativer σ-achse Inverser Tschebyscheff / Tscheby II (Skript S 276 Definierte Welligkeit im Durchgangsbereich Flachere Gruppenlaufzeit als Tschebyscheff I Bessel (Skript S 290 Sehr linearer Phasengang fast konstante Gruppenlaufzeit Flachster Übergang zw DB und SB im Amplitudengang Pole weit entfernt der jω-achse 525 Bestimmung der minimal nötigen Ordnung (Skript S 34 Mittels Nomogramm Oder mittels Formeln log 0Amin/0 0 n Butterworth Amax/0 n Tschebyscheff(I,II 2 log ( ΩS Ω D Arcosh 0 Amin/0 0 Amax/0 Arcosh(Ω S /Ω D n Cauer K ( ( ( ΩD 2 Ω K 0Amax/0 S 0 A min /0 ( ( ΩD 2 0 K ( Ω K Amax/0 S 0 A min /0, mit K(k = π 2 0 dθ k sin 2 θ Oder mit Matlab butterord, chebord, cheb2ord, ellipord Grundsätzlich gilt (für gleiche Spezifikationen n Butterworth n Tschebyscheff(I,II n Cauer 526 UTF bestimmen & entnormieren Die UTF kann meist aus Tabellen herausgelesen werden und variiert je nach Filtertyp Die Entnormierung erfolgt durch Substitution von S s, wobei auch hier ω 3dB je nach Filtertyp unterschiedlich berechnet wird ω 3dB Butterworth (Skript S 345 Tschebyscheff I (Skript S 349 Kritisch gedämpfte Filter (Skript S 347 ω 3dB = 2n 0 Amax/0 ω D ω 3dB = cosh [( ( n Arcosh ] e ωd ω 3dB = ω D 2 /n Cauer (Skript S 356 Bessel (Skript S 353 Keine Tabelle, (Matlab: ellip, ellipap ω 3dB aus Abb 793 (Skript S Amax 0 n
13 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 3 von LC-Tiefpass bestimmen (Skript S 327, 356 Die Struktur unterscheidet sich nicht zwischen den Filtertypen Es ist zwischen Minimal-C (meistens und Minimal- L-Netzwerken auszuwählen Erläuterungen zu den Tabellen: Die Legende oben beschreibt die Stromquellenstruktur, die untere die Spannungsquellenstruktur Normierung auf R 2 =, folglich R = R Quelle R Last Tabellenindex Butterworth (Skript S 357 Tschebyscheff I (Skript S 360, 36 Kritisch gedämpfte Filter (Skript S 359 Cauer (Skript S 362, 363 Bessel (Skript S 358 Entnormierung Aus den Tabellen gelesene Werte werden im folgenden als C bzw L bezeichnet C C = ω 3dB R Last L = L R Last ω 3dB 528 Bauteiltransformation zum gewünschten Filter (Skript S Kaskadierung von Filtern Wenn mehrere Filter kaskadiert werden, ändern sich die Spezifikationen wie in folgendem Beispiel: Tiefpass- Hochpass Tiefpass- Bandpass Tiefpass- Bandsperre
14 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 4 von 6 54 Vergleich der Approximationsarten Butterworth-Filter mit UTF H(s = 003e022 s e004s e009s e03s 2 +29e08s+003e022 Kritisch gedämpftes Filter mit UTF H(s = 2724e 03s 3 +26e 008s s+
15 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 5 von 6 Tschebyscheff-I-Filter mit UTF H(s = 609e023 s s e008s 4 +72e02s e06s e09s+2026e023 Tschebyscheff-II-Filter mit UTF H(s = 6283s 4 +08e 009s e0s s+504e09 s e004s e008s e02s e06s+504e09
16 Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX Seite 6 von 6 Cauer-Filter mit UTF H(s = 088s4 6596e 00s e00s s+29e08 s s e007s e0s e04s+29e08 Bessel-Filter mit UTF H(s = 248e0 s e004s e007s+248e0
1 Gegenkopplung und Stabilität S107
Regelungstechnik - Formelsammlung (Revision : 044 - powered by LATEX) Seite von 6 Gegenkopplung und Stabilität S07. LTI-Grundglieder Typ Symbol Gleichung, Dgl Sprungantwort Frequenzgang, Betrag und Argument
MehrBasiswissen Matrizen
Basiswissen Matrizen Mathematik GK 32 Definition (Die Matrix) Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten heißt m x n Matrix: a a 2 a 4 A a 2 a 22 a 24 a 4 a 42 a 44 Definition 2 (Die Addition von Matrizen)
Mehr1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.
Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrSystemtheorie. Vorlesung 25: Butterworth-Filter. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Systemtheorie Vorlesung 5: Butterworth-Filter Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann Übersicht Für den Filterentwurf stehen unterschiedliche Verfahren zur Verfügung Filter mit
MehrInstitut für Elektrotechnik und Informationstechnik. Aufgabensammlung zur. Systemtheorie
Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik Aufgabensammlung zur Systemtheorie Prof. Dr. techn. F. Gausch Dipl.-Ing. C. Balewski Dipl.-Ing. R. Besrat 05.04.2013 Übungsaufgaben zur Systemtheorie
MehrFerienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 ( )
Ferienkurs Mathematik für Physiker I WS 2016/17 Ferienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 (29032017) 1 Lineare Gleichungssysteme Oft hat man es in der Physik mit unbekannten Größen zu tun, für
MehrVektoren und Matrizen
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden
Mehr3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen
Determinanten, Eigenwerte, Normalformen.1 Determinanten Beispiel. Betrachte folgendes Parallelogramm in der Ebene R 2 : y (a + c, b + d) (c, d) (a, b) x Man rechnet leicht nach, dass die Fläche F dieses
Mehr3. Beschreibung dynamischer Systeme im Frequenzbereich
3. Laplace-Transformation 3. Frequenzgang 3.3 Übertragungsfunktion Quelle: K.-D. Tieste, O.Romberg: Keine Panik vor Regelungstechnik!.Auflage, Vieweg&Teubner, Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik
MehrSYNTHESE LINEARER REGELUNGEN
Synthese Linearer Regelungen - Formelsammlung von 8 SYNTHESE LINEARER REGELUNGEN FORMELSAMMLUNG UND MERKZETTEL INHALT 2 Grundlagen... 2 2. Mathematische Grundlagen... 2 2.2 Bewegungsgleichungen... 2 2.3
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
Mehrx 1 + u y 2 = 2 0 x 2 + 4u 2.
3. Übung: Regelkreis Aufgabe 3.1. Gegeben sind die beiden linearen zeitkontinuierlichen Systeme 3 2 2 ẋ 1 = 6 5 x 1 + 1 u 1 6 2 3 [ ] y 1 = 2 x 1 (3.1a) (3.1b) und [ ] [ ] 8 15 1 ẋ 2 = x 2 + 6 1 4 [ ]
MehrGrundlagen der Signalverarbeitung
Grundlagen der Signalverarbeitung Digitale und analoge Filter Wintersemester 6/7 Wiederholung Übertragung eines sinusförmigen Signals u t = U sin(ω t) y t = Y sin ω t + φ ω G(ω) Amplitude: Y = G ω U Phase:
MehrKapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24
Kapitel 4 Determinante Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Was ist eine Determinante? Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n linear abhängig sind bzw. wie weit sie davon entfernt
Mehr5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Mehra 21 a 22 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12. Nun zur Denition und Berechnung von n n-determinanten: ( ) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A =
3 Determinanten Man bestimmt Determinanten nur von quadratischen Matrizen Wir werden die Berechnung von Determinanten rekursiv durchfuhren, dh wir denieren wie man eine 2 2-Determinante berechnet und fuhren
MehrFilterentwurf. Bernd Edler Laboratorium für Informationstechnologie DigSig - Teil 11
Filterentwurf IIR-Filter Beispiele für die verschiedenen Filtertypen FIR-Filter Entwurf mit inv. Fouriertransformation und Fensterfunktion Filter mit Tschebyscheff-Verhalten Vorgehensweise bei Matlab /
Mehr1. Differentialgleichung der Filter zweiter Ordnung
Prof. Dr.-Ing. F. Keller abor Elektronik 3 Filter zweiter Ordnung Info v.doc Hochschule Karlsruhe Info-Blatt: Filter zweiter Ordnung Seite /6. Differentialgleichung der Filter zweiter Ordnung Ein- und
MehrZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 1. H(z) a) Zeichnen Sie direkt auf das Aufgabenblatt das Betragsspektrum an der Stelle 1.
ZHAW, DSV, FS200, Rumc, DSV Modulprüfung 7 + 4 + 5 + 8 + 6 = 30 Punkte Name: Vorname: : 2: 3: 4: 5: Punkte: Note: Aufgabe : AD-DA-Umsetzung. + + +.5 +.5 + = 7 Punkte Betrachten Sie das folgende digitale
Mehra 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:
Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag
Mehr3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
Mehrx 1 + u y 2 = 2 0 x 2 + 4u 2.
3. Übung: gelkreis Aufgabe 3.. Gegeben sind die beiden linearen zeitkontinuierlichen Systeme 3 ẋ = 6 x + u 6 3 [ ] y = x (3.a) (3.b) und [ ] [ ] 8 ẋ = x + 6 4 [ ] y = x + 4u. u (3.a) (3.b) Berechnen Sie
MehrLösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Winter 6 Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende
MehrÖkonometrische Analyse
Institut für Statistik und Ökonometrie, Freie Universität Berlin Ökonometrische Analyse Dieter Nautz, Gunda-Alexandra Detmers Rechenregeln für Matrizen Notation und Matrixeigenschaften: Eine Matrix A der
MehrAufgabe 1 (Unsicherheitsschranke für gemessene Übertragungsfunktion)
Prof. L. Guzzella Prof. R. D Andrea 5-59- Regelungstechnik II (FS 28) Musterlösung Übung 5 Unsicherheitsschranken, Spezifikationen im Frequenzbereich, Matlab M.B. (michael.benz@imrt.mavt.ethz.ch), 4. April
MehrLabor RT Versuch RT1-1. Versuchsvorbereitung. Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitag. FB: EuI, FH Darmstadt. Darmstadt, den
Labor RT Versuch RT- Versuchsvorbereitung FB: EuI, Darmstadt, den 4.4.5 Elektrotechnik und Informationstechnik Rev., 4.4.5 Zu 4.Versuchvorbereitung 4. a.) Zeichnen des Bode-Diagramms und der Ortskurve
MehrElektronik Prof. Dr.-Ing. Heinz Schmidt-Walter
6. Aktive Filter Filterschaltungen sind Schaltungen mit einer frequenzabhängigen Übertragungsfunktion. Man unterscheidet zwischen Tief, Hoch und Bandpässen sowie Sperrfiltern. Diesen Filtern ist gemeinsam,
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 2 Rechenoperationen und Gesetze Gleichheit
MehrFH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Skript 8 Mathematik 1 für KMUB 5./7. November 2008 Prof. Dr. H.-R. Metz. Matrizen 1. a m1 a m2 a m3 a mn
FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Skript 8 Mathematik 1 für KMUB./7. November 2008 Prof. Dr. H.-R. Metz (Matrix) Matrizen 1 Ein System von Zahlen a ik, die rechteckig in m Zeilen und n Spalten angeordnet
Mehr1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und
Mehr8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
MehrHilfsblätter Lineare Algebra
Hilfsblätter Lineare Algebra Sebastian Suchanek unter Mithilfe von Klaus Flittner Matthias Staab c 2002 by Sebastian Suchanek Printed with L A TEX Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 1 11 Norm 1 12 Addition,
MehrKlausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung
INSTITUT FÜR INFORMATIONSVERARBEITUNG UNIVERSITÄT HANNOVER Appelstraße 9A 3067 Hannover Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung Datum:.08.006 Uhrzeit: 09:00 Uhr Zeitdauer: Stunden Hilfsmittel:
Mehr5. Laplacetransformation
5. Laplacetransformation 5. Übersicht Laplacetransformation Die Laplacetransformation ist eine Verallgemeinerung der Fouriertransformation. Vorteile: Es können auch Transformierte für Signale angegeben
MehrFormelsammlung. für den Teilbereich Zustandsraumdarstellung der Vorlesung. Einführung in die Regelungstechnik
Formelsammlung für den Teilbereich Zustandsraumdarstellung der Vorlesung Einführung in die Regelungstechnik Diese Formelsammlung ist ein Auszug aus der Formelsammlung zur Systemtheorie-Vorlesung von Matthias
MehrSkript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
MehrMusterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
MehrTutorium Mathematik II M WM
Tutorium Mathematik II M WM 9.6.7 Lösungen Lösen Sie folgende Systeme von Differentialgleichungen der Form x = A x + b mit. A = 6 und b = et. e t Hinweis: Die Eigenwerte und -vektoren der Matrix A lauten:
MehrG S. p = = 1 T. =5 K R,db K R
TFH Berlin Regelungstechnik Seite von 0 Aufgabe 2: Gegeben: G R p =5 p 32ms p 32 ms G S p = p 250 ms p 8 ms. Gesucht ist das Bodediagramm von G S, G R und des offenen Regelkreises. 2. Bestimmen Sie Durchtrittsfrequenz
MehrFilterentwurf. Aufgabe
Aufgabe Filterentwurf Bestimmung der Filterkoeffizienten für gewünschte Filtereigenschaften Problem Vorgaben häufig für zeitkontinuierliches Verhalten, z.b. H c (s) Geeignete Approximation erforderlich
MehrSeite 1 NAME VORNAME MATRIKEL-NR. Achtung: Schreiben Sie Ihre Antworten für die Aufgaben 1 bis 2 direkt unter den Fragen in den Fragebogen.
144 Minuten Seite 1 NAME VORNAME MATRIKEL-NR. Achtung: Schreiben Sie Ihre Antworten für die Aufgaben 1 bis 2 direkt unter den Fragen in den Fragebogen. Aufgabe 1 (je 2 Punkte) a) Definieren Sie die Begriffe
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrSV1: Aktive RC-Filter
Signal and Information Processing Laboratory Institut für Signal- und Informationsverarbeitung. September 6 Fachpraktikum Signalverarbeitung SV: Aktive RC-Filter Einführung In diesem Versuch wird ein aktives
Mehra ij i - te Gleichung (Zeile), i = 1, 2,3,..., m I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen
I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x3 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung
MehrI) MATRIZEN. 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. j - te Variable (Spalte), j = 1,2,3,..., n
I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y1 = a11x1+ a12x2 + a13x3 y2 = a21x1+ a22x2 + a23x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung (Zeile), i
MehrKapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung
Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter
Mehr7 Matrizen über R und C
Mathematik für Physiker I, WS 06/07 Montag 9 $Id: matrixtex,v 7 06//9 :58: hk Exp $ 7 Matrizen über R und C 7 Addition und Multiplikation von Matrizen In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit
MehrEigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1)
Eigenwerte 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) für einen Vektor x 0. Vektor x heißt ein
MehrSerie 12: Eigenwerte und Eigenvektoren
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie : Eigenwerte und Eigenvektoren Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7 und 9 Dezember Finden Sie für folgende
Mehr5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21
5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11
MehrNachrichtentechnik [NAT] Kapitel 6: Analoge Filter. Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik
Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 6: Analoge Filter Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Sommersemester 25 Inhaltsverzeichnis Inhalt Inhaltsverzeichnis 6 Analoge Filter 3 6. Motivation..................................
Mehr2. Übung: Lineare dynamische Systeme
2. Übung: Lineare dynamische Systeme Aufgabe 2.. Gegeben sind die beiden autonomen Systeme und x (2.) {{ A 2 2 x. (2.2) {{ A 2 Berechnen Sie die regulären Zustandstransformationen x = V z und x = V 2 z,
MehrIV. Matrizenrechnung. Gliederung. I. Motivation. Lesen mathematischer Symbole. III. Wissenschaftliche Argumentation. i. Rechenoperationen mit Matrizen
Gliederung I. Motivation II. Lesen mathematischer Symbole III. Wissenschaftliche Argumentation IV. Matrizenrechnung i. Rechenoperationen mit Matrizen ii. iii. iv. Inverse einer Matrize Determinante Definitheit
MehrMatrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
MehrStellen Sie für das im folgenden Signalflussbild dargestellte dynamische System ein Zustandsraummodell K
Aufgaben Aufgabe : Stellen Sie für das im folgenden Signalflussbild dargestellte dnamische Sstem ein Zustandsraummodell auf. u 2 7 5 Aufgabe 2: Wir betrachten das folgende Regelsstem vierter Ordnung: r
Mehr36 2 Lineare Algebra
6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so
MehrLösungshinweise zur Klausur
Höhere Mathematik 1 und 4..14 Lösungshinweise zur Klausur für Studierende der Fachrichtungen el, kyb,mecha,phys Aufgabe 1 Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind.
MehrMC-Serie 11: Eigenwerte
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung
MehrKomplexe Zahlen. Darstellung
Komplexe Zahlen Die Zahlenmengen, mit denen wir bis jetzt gearbeitet haben lassen sich zusammenfassen als N Z Q R Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich der Operation des Addierens. Das heisst
Mehr4. Standardübertragungsglieder
4. PT-Glied : Verzögerungsglied. Ordnung 4. P-Glied : Proportionalglied 4.3 I-Glied: Integrator 4.4 D-Glied: Differenzierer (ideal/real) 4.5 PT-Glied: Verzögerungsglied. Ordnung 4.6 Totzeitglied Campus
Mehr1 Bestimmung der inversen Matrix
Inhaltsverzeichnis 1 Bestimmung der inversen Matrix Die inverse Matrix A 1 zu einer Matrix A kann nur bestimmt werden, wenn die Determinante der Matrix A von Null verschieden ist. Im folgenden wird die
MehrName: Vorname(n): Matrikelnummer: Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Punkte aus Übungsmitarbeit Gesamtpunktanzahl
Universität des Saarlandes, Lehrstuhl für Systemtheorie und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG aus SYSTEMTHEORIE UND REGELUNGSTECHNIK I am 28.7.26 Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe 2 3
Mehr5.2 Rechnen mit Matrizen
52 Rechnen mit Matrizen 52 Rechnen mit Matrizen 97 Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij
MehrKlausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung
INSTITUT FÜR INFORMATIONSVERARBEITUNG UNIVERSITÄT HANNOVER Appelstraße 9A 067 Hannover Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung Datum: 0.08.007 Uhrzeit: 09:00 Uhr Zeitdauer: Stunden Hilfsmittel:
MehrMartin Meyer. Signalverarbeitung. Analoge und digitale Signale, Systeme und Filter 5. Auflage STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER
Martin Meyer Signalverarbeitung Analoge und digitale Signale, Systeme und Filter 5. Auflage STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER VII 1 Einführung 1 1.1 Das Konzept der Systemtheorie 1 1.2 Übersicht über die Methoden
MehrET-Praktikumsbericht 3. Semester I (Versuch 4, Zeit-/Frequenzverhalten von Vierpolen) Inhaltsverzeichnis 1 Der RC-Tiefpass Messung bei konstante
Praktikumsbericht Elektrotechnik 3.Semester Versuch 4, Vierpole 7. November Niels-Peter de Witt Matrikelnr. 8391 Helge Janicke Matrikelnr. 83973 1 ET-Praktikumsbericht 3. Semester I (Versuch 4, Zeit-/Frequenzverhalten
MehrÜbung 6: Analyse LTD-Systeme
ZHAW, DSV, FS2009, Übung 6: Analyse LTD-Systeme Aufgabe : Pol-Nullstellendarstellung, UTF und Differenzengleichung. Die folgenden Pol-Nullstellen-Darstellungen charakterisieren verschiedene LTD- Systeme,
MehrDiskrete Folgen, z-ebene, einfache digitale Filter
apitel 1 Diskrete Folgen, z-ebene, einfache digitale Filter 1.1 Periodische Folgen Zeitkoninuierliche Signale sind für jede Frequenz periodisch, zeitdiskrete Signale nur dann, wenn ω ein rationales Vielfaches
MehrMatrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
MehrTheorie digitaler Systeme
Theorie digitaler Systeme Vorlesung 2: Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann Einführung Frequenzgang zeitkontinuierlicher Systeme beschreibt die Änderung eines Spektrums bei
MehrBerechnung der Determinante
Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,
Mehrm 1 Die Bewegung der drei Kugeln wird beschrieben durch das folgende Differentialgleichungssystem x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) k 12 k 12 k 12 k k 23
Kapitel 5 Eigenwerte 5. Definition und Beispiele Wir sehen uns ein System dreier schwingender Kugeln der Massen m, m und m 3 an, die durch Federn aneinander gekoppelt sein sollen. m k m k 3 m 3 x ( t x
MehrEigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren Siehe Analysis (von der Hude, Folie 20: Definition 2.3. Ein Vektor x R n heißt Eigenvektor der quadratischen n n-matrix A zum Eigenwert λ R, wenn gilt Ax = λx Die Eigenwerte
MehrLösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Sommer 4 Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. [ Punkte] Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in
MehrLineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
MehrLineare Algebra und Geometrie II, Übungen
Lineare Algebra und Geometrie II, Übungen Gruppe (9 9 45 ) Sei A 2 Bestimmen Sie A und A Finden Sie weiters Vektoren u, v R 2 mit u und Au A, beziehungsweise v und Av A Zunächst die Berechnung der Norm
MehrSystemtheorie Teil B
d + d + c d + c uk d + + yk d + c d + c Systemtheorie Teil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner Inhalt 8 Musterlösung Frequengang eitdiskreter Systeme...
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrFiltertypen Filter 1. Ordnung Filter 2. Ordnung Weitere Filter Idee für unser Projekt. Filter. 3. November Mateusz Grzeszkowski
typen. Ordnung 2. Ordnung Weitere Idee für unser Projekt 3. November 2009 Mateusz Grzeszkowski / 24 Mateusz Grzeszkowski 3. November 2009 typen. Ordnung 2. Ordnung Weitere Idee für unser Projekt Motivation
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
MehrProf. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A =
Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung 7..7 Aufgabe ( Punkte) (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix A mit 3 3 A = 3 Ist die Matrix A diagonalisierbar? (b) Die Matrix A
MehrSkript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 29. April 2011
Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 29. April 2011 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +
MehrMuster zu Kurztest Nr. 2 Fach EK 2
Muster zu Kurztest Nr. Fach EK Auswahl von Aufgaben Prüfung Thema: OpAmp Nichtidealitäten und Filter, 3 Aufgaben, 45 Min. Aufgabe : Einfluss von Offset-Spannung und Biasstrom 9 Punkte Ein Opamp mit I Bias
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Spender A B AB 0 Empfänger A B AB 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 verträglich 0 unverträglich Modul 210 Koordinatensysteme. Matrizen Lernumgebung Hans
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie
Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie ominik Schillo Universität des Saarlandes 7 Vorlesung, 007 (Stand: 007, 4: Uhr) Notation Seien A R n n sowie b R n und betrachte das LGS
MehrBetrachtetes Systemmodell
Betrachtetes Systemmodell Wir betrachten ein lineares zeitinvariantes System mit der Impulsantwort h(t), an dessen Eingang das Signal x(t) anliegt. Das Ausgangssignal y(t) ergibt sich dann als das Faltungsprodukt
Mehr6.2 Rechnen mit Matrizen
62 Rechnen mit Matrizen 62 Rechnen mit Matrizen 103 Für Matrizen desselben Typs ist eine Addition erklärt, und zwar durch Addition jeweils entsprechender Einträge Sind genauer A = (a ij ) und B = (b ij
MehrZusammenfassung und Beispiellösungen. zur Linearen Algebra
Zusammenfassung und Beispiellösungen zur Linearen Algebra Inhaltsverzeichnis TI Taschenrechner Funktionen für Matrizen... n*m Matrix... Diagonal und Dreiecksmatrix... Transponierte der Matrix A (AT)...
MehrDeterminante und Inverse
Vorzeigeaufgaben: Determinante und Inverse Bestimmen Sie für welche a R die folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Sie deren Inverse: A = a cos(x) sin(x) a sin(x) cos(x) Bestimmen Sie ob folgende
MehrDeterminante. Die Determinante. einer quadratischen Matrix A mit Spalten a j kann durch folgende Eigenschaften definiert werden.
Determinante Die Determinante det A = det(a 1,..., a n ) einer quadratischen Matrix A mit Spalten a j kann durch folgende Eigenschaften definiert werden. Multilineariät: det(..., αa j + βb j,...) = α det(...,
Mehr45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
MehrMatrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A.
Matrizenrechnung Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij i = 1,..., n i ; j = 1,..., m in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. a 11 a 12... a ij... a 1m a 21 a 22.........
Mehr