2. Übung: Lineare dynamische Systeme

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1 2. Übung: Lineare dynamische Systeme Aufgabe 2.. Gegeben sind die beiden autonomen Systeme und x (2.) {{ A 2 2 x. (2.2) {{ A 2 Berechnen Sie die regulären Zustandstransformationen x = V z und x = V 2 z, die die Systeme (2.) und (2.2) in die Jordansche Normalform transformieren. Geben Sie außerdem die Matrizen A und A 2 in Jordanscher Normalform an. Lösung von Aufgabe 2.. Sowohl die Matrix A als auch A 2 haben die Eigenwerte λ = mit der algebraischen Vielfachheit n = 2 und λ 2 = 2 mit der algebraischen Vielfachheit n 2 =. Für die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ der Matrix A 2 gilt = g < n, so dass hier ein Hauptvektor berechnet werden muss, um die Transformationsmatrix auf Jordansche Normalform zu erhalten. Die Transformationsmatrizen können zum Beispiel wie folgt gewählt werden V =, V 2 = 2 Die Jordanschen Normalformen der Matrizen A und A 2 ergeben sich dann zu à =, à 2 =

2 2. Übung: Lineare dynamische Systeme Seite 8 Aufgabe 2.2. Gegeben ist das Modell eines linearen Feder-Masse-Dämpfer-Systems ẋ = y = k m d m x x + m u, x() = x (2.3) mit der Federsteifigkeit k, der Dämpfungskonstante d, der Masse m und u = F als Kraft auf die Masse. Für die Parameter gilt m = 2, d = 4 und k = 6. Berechnen Sie die reguläre Zustandstransformation x = Vz, die das System (2.3) in die reelle Jordansche Normalform transformiert und geben Sie das entsprechende transformierte System an. Lösung von Aufgabe 2.2. Die Transformationsmatrix lautet beispielsweise 2 V =. 3 Das System ergibt sich dann in reeller Jordanscher Normalform zu mit ż = V {{ AV z + V {{ b u à b y = c T {{ V z c T 2 à = 2 b = c T = 2. Hinweis: Bei einer anderen Wahl der Transformationsmatrix (die Eigenvektoren sind nicht eindeutig) können b und c T eine andere Gestalt annehmen.

3 2. Übung: Lineare dynamische Systeme Seite 9 Aufgabe 2.3. Berechnen Sie die Transitionsmatrizen Φ der Systeme (2.), (2.2) und (2.3). Berechnen Sie die Lösung x(t) des Systems ẋ = A x + u (2.4) mit A aus (2.) für die Eingangsgröße u(t) = + t und dem Anfangswert x = T. T Geben Sie die Lösung x(t) des Systems (2.3) für den Fall u =, x = sowie die Parameterwerte m = 2, d = 4 und k = 6 an. Zeichnen Sie den jeweiligen Lösungsverlauf im Zustandsraum mit Maple. Lösung von Aufgabe 2.3. Die Transitionsmatrix des Systems (2.) lautet e t Φ(t) = e t e 2t + e t e 2t Die Transitionsmatrix des Systems (2.2) lautet e t 2te t 2te t Φ(t) = e t e 2t + e t e 2t Die Lösung x(t) des Systems (2.4) für u(t) = + t und x = x(t) = 7 4 e2t + 3e t 2 t e2t 2 t 3 4 T folgt zu Die Transitionsmatrix des linearen Feder-Masse-Dämpfer-Systems lautet Φ(t) = e t 2 cos( 2t) + 2 sin( 2t) 2 sin( 2t) sin( 2t) 2 cos( 2t) 2 sin( 2t) und die Lösung ergibt sich für die gegebenen Parameterwerte sowie u = und T x = zu x (t) = e t 2 cos( 2t) + 2 sin( 2t) x 2 (t) sin(. 2t)

4 2. Übung: Lineare dynamische Systeme Seite Als Hilfsmittel für die Darstellung der Lösung im Zustandsraum bietet sich der Maple-Befehl DEplot aus dem Paket DEtools an. Aufgabe 2.4. Gegeben ist das folgende lineare System 3 4 ẋ = x + u, x() = x 2 y = x. (2.5) Berechnen Sie die Transitionsmatrix Φ des Systems (2.5) mit Hilfe der Laplacetransformation. Berechnen Sie den Verlauf des Ausgangs y für die Anfangsbedingung T x = und die Stellgröße u = exp(t). Interpretieren Sie das Ergebnis anhand der Übertragungsfunktion G(s) = ŷ(s) û(s). Hinweis: Die Inverse einer (regulären) Matrix läßt sich relativ einfach über die Adjunkte adj(a) berechnen. Es gilt dann A = adj(a) det(a), wobei für die Einträge der Adjunkten gilt adj(a) j,i = ( ) i+j M ij, mit M ij dem Wert der Unterdeterminanten, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von A entsteht. Es ist nicht notwendig, den Verlauf des gesamten Zustandes zu berechnen. Lösung von Aufgabe 2.4. Die Transitionsmatrix lautet cos(2t) sin(2t) 2 sin(2t) Φ(t) = e t. sin(2t) cos(2t) + sin(2t) Für den Verlauf des Ausgangs bei der gegebenen Eingangsgröße erhält man y(t) = e t sin(t) cos(t) = 2 e t sin(2t). Aufgabe 2.5. Welche der folgenden Systeme sind asymptotisch stabil? ẋ = x (2.6) 5 4 x (2.7)

5 2. Übung: Lineare dynamische Systeme Seite Begründen Sie jeweils Ihre Aussage. Was muss für die Parameterwerte des Systems (2.3) gelten, damit es asymptotisch stabil ist? Lösung von Aufgabe 2.5. Das System ẋ = x ist nicht asymptotisch stabil (positiver Eigenwert), (2.7) ist asymptotisch stabil. Die Eigenwerte des linearen Feder-Masse-Dämpfer-Systems lauten mit k = k m und d = d m λ,2 = d 2 ± I 4k d 2, 2 weshalb d > und k > für asymptotische Stabilität gelten muss.