Differentialgleichungen für Ingenieure Lösung Klausur Juli

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1 Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 0 Dozentin Dr Penn-Karras Assistentin Dr C Papenfuß Differentialgleichungen für Ingenieure Lösung Klausur Juli Rechenteil Aufgabe 8 Punkte Gleichung: x = 0 oder y = Für x = 0: Gleichung 3y = 0 = y = 0, Für y = : Gleichung x 3x = 0 = x = 3 oder x = Gleichgewichtslagen sind 0, 0, 3, und, ẋ xy + x y + x = = J x, y = ẏ x + xy 3x 3y x + y 3 x 3 0 J 0, 0 = hat die Eigenwerte λ =, λ = Wegen λ > 0 ist die Gleichgewichtslage 0, 0 instabil J 3, = : 0 = λ 6 = 0, = λ, = ± 6 Wegen λ = 6 > 0 ist die Gleichgewichtslage 3, instabil 0 J, = : λ = λ + λ + = 0, = λ, = ± = ± i Re λ = Re λ = < 0 = die Gleichgewichtslage, ist asymptotisch stabil

2 Aufgabe 0 Punkte Anwenden der Laplacetransformation auf die DGL liefert mit L[x]s =: Xs, L[ẍ]s = s L[x]s sx0 ẋ0 = s Xs, L[ẋ]s = sl[x]s x0 = sxs L[t e t ]s = L[t ]s = s 3 s X sxs + Xs = e s + Xs s + = + e s + X = = s 3, s 3, s s + + e s s s + + s 3 s s +, s + e s s + s 5 Rücktransformation ergibt X = s + e s s + s 5, X = L[t]s + e s L[t]s + 4! L[t4 ]s, X = L[te t ]s + e s L[te t ]s + L[t4 e t ]s, X = L[te t ]s + L[u tt e t ]s + L[t4 e t ]s, Die Lösung des AWPs ist xt = te t + u tt e t + t4 e t

3 3 Aufgabe Punkte a Der Produktansatz ux, t = XxT t liefert 4XxT t = X xt t, also 4 T t T t = X x Xx = λ, mit einer Zahl λ R Wir lösen zuerst die DGL in Xx: und unterscheiden dann drei Fälle für λ: a λ > 0 liefert keine periodischen Lösungen b λ = 0: Periodisch ist nur Die DGL für T t lautet in dem Fall und die Lösung der PDGL c λ < 0: Es ergeben sich die Lösungen und X x λxx = 0 3 Xx = C T t = 0 T t = C t + C 3 ux, t = C C t + C 3 X x Xx = λ x x Xx = A cos + B sin T t = C cos t 4T t = λt t + D sin t und die Lösung der PDGL x x ux, t = A cos + B sin C cos t + D sin t b u0, t = u, t = 0 t X0 = X = 0 Fall λ = 0: X0 = C = 0, 3

4 Es bleibt nur die triviale Lösung Fall λ < 0: X0 = A cos 0 + B sin 0 = A = 0 X = A cos + B sin = B sin = 0 B 0, da sonst nur die triviale Lösung bleibt Die Nullstellen des Sinus sind nπ, n Z Es ist = n π, n N weil stets nicht-negativ ist, sind nur positive ganze Zahlen n zugelassen λ ist also einer der Werte λ n = n π n N X n x = B n sin n π x Für ein festes n setzen wir λ n für λ in die Gleichung für T t T n t = C n cos n π + D n sin n π und erhalten als Lösungen der PDGL u n x, t = B n sin n π x C n cos n π Daraus die allgemeine Lösung mit Superposition ux, t = n= c Auswerten der Anfangsbedingungen + D n sin n π B n sin n π x C n cos n π + D n sin n π u t x, 0 = 0 T n0 = 0 0 = C n sin n π D n cos n π 4 0 n π 4 0 = D n T n t = C n cos n π ux, t = B n sin n π x C n cos n π n= Die andere Anfangsbedingung liefert: ux, 0 = 3 sin πx = n= B n sin n π x C n cos n π 4 0 = Für die Koeffizienten B n C n bekommen wir B 4 C 4 = 3, B n C n = 0 sonst Die Lösung ux, t des RAWP lautet ux, t = 3 sin 4 π x cos 4 π = 3 sin πx cos πt n= B n sin n π x C n 4

5 Verständnisteil 4 Aufgabe Punkte a Aus der Lösung y t = t schließt man, daß λ = λ = 0 ein doppelter Eigenwert ist Aus der Lösung y t = cos t schließt man, daß λ 3 = i ein weiterer Eigenwert ist Damit muß auch λ 4 = i ein Eigenwert sein Damit lautet das charakteristische Polynom: Eine DGl dazu ist P λ = λ λ + i λ i = λ λ + = λ 4 + λ y + y = 0 b y t =, y t = t, y 3 t = sin t und y = cos t bilden ein Fundamentalsystem c Es liegt Resonanz mit doppelter Nullstelle λ = 0 vor Der Ansatz lautet y p t = At 5 Aufgabe 9 Punkte a A = deta λi = det λ λ = λ + λ + = 0 λ, = ± i Der Fixpunkt ist asymptotisch stabil, da beide Realteile negativ sind Bei konjugiert komplexen Eigenwerten sind die Lösungen Spiralen, also A b A = 3 3 deta λi = det λ 3 3 λ = λ λ 8 = 0 λ, = ± + 8 = ± 3 λ = 4, λ = Der Fixpunkt ist instabil Es gibt eine stabile und eine instabile Richtung, dh D 5

6 c A = 4 7 deta λi = det λ 4 7 λ = λ 7 λ + 4 = λ + 9λ + 8 = 0 λ, = 9 8 ± 4 8 = 9 ± 3 λ = 3, λ = 6 Zwei reelle negative Eigenwerte, der Fixpunkt ist asymptotisch stabil: B 6 Aufgabe 9 Punkte a Eine Lösung ist e λ t v = e +it i = e t cost + i sint i = e t cost + i sint e t i cost sint Ein reelles Fundamentalsystem findet man, indem man Real- und Imaginärteil bildet: y t = e t cost, y t = e t sint sint cost b Anwenden der Laplacetransformation und Faltungssatz liefert mit L[ft]s =: F s t ft = tft L[t ft]s = L[t]sL[ft]s = L[tft]s = F s s F s = F s F s F s = s ln F s = s + C F s = Ce s 6