Grundlagen der Signalverarbeitung

Transkript

1 Grundlagen der Signalverarbeitung Zeitdiskrete Signale Wintersemester 6/7

2 Kontinuierliche und diskrete Signale wertkontinuierlich wertdiskret Signal Signal Signal Signal zeitdiskret zeitkontinuierlich Zeit Zeit Zeit Zeit 2 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

3 Diskretisierung und Rekonstruktion System zur Digitalen Verarbeitung kontinuierlicher Signale u(t) u[k] t analoger Tiefpass t Sample & Hold t A/D t y(t) y[k] t analoger Tiefpass t D/A t Algorithmus Foto: Wikipedia 3 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

4 Quantisierung Quantisierung des Eingangssignals u in Q Stufen q u u u u u u u u u Spannungsbereich u min u < umax Spannungsintervall Δu = u max u min 2 Q Diskreter Wert q = u u min Δu u min Δu umax Diskrete Spannungswerte u q = u min + Δu q Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

5 Beispiel zur Quantisierung u t = 2 sin π t, T A =,s, 2,5V u < 2,5V, Quantisierung mit Q = Sample & Hold u / V Zeit / s Wegen der groben Quantisierung wird Fehler groß! 5 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

6 Beispiel zur Quantisierung u t = 2 sin π t, T A =,s, 2,5V u < 2,5V, Extrembeispiel: Q = Quantisierung mit Q =8 2.5 Diskretisiertes Signal, T A =,s, Q = 2.5 Diskretisiertes Signal, T A =,s, Q = u / V u / V Zeit / s Zeit / s Quantisierungsfehler vernachlässigbar! 6 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

7 Aliasing Diskretisierung des sinusförmigen Signals y t = sin 2π 9 4 t y Abtastung mit T A =,8s f A = 5 4 Hz t Weitere Signale y t = sin 2π t y t = sin 2π 4 t Abtastwerte können Sinussignale verschiedener Frequenzen repräsentieren! 7 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

8 Stroboskopeffekt Abtastung eines drehenden Rades mit f A = 24 Hz Raddrehzahl Bild Bild 2 Bild 3 f R = Hz Δφ = 5 f R = 24 Hz Δφ = 36 8 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

9 Stroboskopeffekt Abtastung eines drehenden Rades mit f A = 24 Hz Raddrehzahl Bild Bild 2 Bild 3 f R = 23 Hz Δφ = 345 f R = 25 Hz Δφ = Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

10 Fouriertransformation des Dirac-Kamms δ TA t = k= δ t k T A Δ TA ω = ω A k= δ ω k ω A, ω A = 2π T A Abstand T A der Impulse im Zeitbereich wird immer größer T A Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

11 Spektrum des abgetasteten Signals Maximale Kreisfrequenz 2πfmax von y(t) kleiner als ω A /2 Y(ω) Y ω T A 2ω A ω A 2πfmax ω A 2ω A ω Maximale Kreisfrequenz 2πfmax von y(t) größer als ω A /2 Y(ω) Y ω T A 2ω A ω A ω A 2ω A ω 2πfmax Wiederholte Spektren überlappen sich Aliasing Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

12 Rekonstruktion Frequenzbereich Ausschneiden von Y(ω) durch Multiplikation mit Rechteckfenster = Filterung mit idealem Tiefpass Y ω = T A Y ω rect ωa ω Zeitbereich Rücktransformation y t = T A y t F rect ωa ω y = y = 3 y 2 = 2.5 Ergebnis: sinc-rekonstruktion y t = k= y k sinc t T A k y(t) Zeit / s 2 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

13 Konzept Diskrete Fouriertransformation Kontinuierliche Fouriertransformation y(t) Nichtperiodisches Signal t Y(ω) Kontinuierliches Spektrum ω 3 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

14 Konzept Diskrete Fouriertransformation Discrete Time Fourier Transform (DTFT): Abtastung im Zeitbereich y(t) Diskretes Signal t implizit periodisch fortgesetzt Y(ω) Periodisches Spektrum ω 4 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

15 Konzept Diskrete Fouriertransformation Abtastung im Frequenzbereich implizit periodisch fortgesetzt y(t) Periodisches diskretes Signal t implizit periodisch fortgesetzt Y(ω) Periodisches diskretes Spektrum ω 5 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

16 Konzept Diskrete Fouriertransformation Diskrete Fouriertransformation (DFT) y(t) N y[k] = N n= Y[n] e j2π N kn t Y(ω) N Y[n] = y[k] e j2π N kn k= nicht symmetrisch zu ω = 6 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand ω Δω = 2π NT A

17 Diskrete Fouriertransformation Diskrete Fouriertransformation und rücktransformation DFT IDFT N Y[n] = y[k] e j2π N kn k= N y[k] = N Y[n] e j2π N kn n= Δω = 2π N T A Andere Schreibweise DFT IDFT N kn Y[n] = y[k] W N k= N y[k] = N kn Y[n] W N n= W N = e j2π N = N 7 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

18 Rechenregeln der Diskreten Fouriertransformation Zeitbereich Frequenzbereich Transformation N y[k] = N n= Y[n] e j2π N kn N Y n = y k e j2π N kn k= Auflösung t = k T A ω = n Δω = n 2π N T A Linearität a x k + b y[k] a X n + b Y[n] Periodizität x k = x[k + N] X n = X[n + N] Faltung N x k y[k] = x l y[k l] l= X n Y[n] Eindeutigkeit x k = y[k] X n = Y[n] 8 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

19 Cosinus, Transformation von zwei Perioden y t = cos 2πt T A = 8 N = 6 NT A = 2 Δω = 2π NT A = π y(t), y[k] Zeit / s 9 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

20 Cosinus, Transformation von zwei Perioden y t = cos 2πt T A = 8 N = 6 NT A = 2 Δω = 2π NT A = π 8 6 Re(Y( )) / (rad/s) Im(Y( )) / (rad/s) 2 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

21 Cosinus, Transformation von zwei Perioden Periodische Fortsetzung des Spektrums Verschieben der Frequenzen Re(Y( )) 4 2 Re(Y( )) / (rad/s) / (rad/s) Im(Y( )) 5 Im(Y( )) / (rad/s) / (rad/s) 2 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

22 Cosinus, ein Abtastwert mehr y t = cos 2πt T A = 8 N = 7 NT A = 2,25 Δω = 2π NT A = 6 7 π y(t), y[k] Zeit / s 22 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

23 Cosinus, ein Abtastwert mehr Diskrete Fouriertransformation Betragsspektrum 8 9 Re(Y( )) Im(Y( )) / (rad/s) 5 Y( ) / (rad/s) / (rad/s) 23 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

24 Cosinus, ein Abtastwert mehr y t = cos 2πt T A = N = 7 Periodische Fortsetzung des Zeitsignals NT A = 2,25 Δω = 2π NT A = 6 7 π y(t), y[k] Zeit / s 24 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

25 Einfluss des Rechteckfensters Cosinus-Signal y t = cos 2πt T A = 8 N = 6 NT A = 2 N = 7 NT A = 2,25 Signal Signal.5.5 y(t) y(t) Zeit / s Spektrum Zeit / s Spektrum Y( ) Y( ) / (rad/s) / (rad/s) Spektrum verschmiert Leckeffekt 25 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

26 Frequenzauflösung y t = cos 2πt T A = 8 N = 2 Δω = 2π NT A =,8π 2,5 Zeitsignal, N=2 7 Amplitudenspektrum, N= y(t), y[k] Y( ) y(t) y[k] Zeit / s / (rad/s) 26 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand Frequenzauflösung für die Analyse des Zeitsignals zu grob.

27 Frequenzauflösung y t = cos 2πt T A = 8 N = Δω = 2π NT A =,6π,5 Zeitsignal, N= 35 Amplitudenspektrum, N= y(t), y[k] Y( ) y(t) y[k] Zeit / s / (rad/s) Lange Messung erforderlich! Frequenzauflösung besser geeignet! 27 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

28 Frequenzauflösung, Zero-Padding y t = cos 2πt T A = 8 Zeitsignal mit Zero-Padding N = Δω = 2π =,6π,5 NT A (aufgefüllt) Diskrete Fouriertransformation Zero Padding N = 2 Werte y(t), y[k].4.2 Zero-Padding Zeit / s Kurze Messung, mit Nullen aufgefüllt. Y( ) / (rad/s) Verlauf für N = 2 interpoliert besser ablesbar 28 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand

29 Schnelle Fouriertransformation (FFT) Voraussetzung N ist Zweierpotenz: N = 2 k, k N Vergleich DFT - FFT 6 DFT: O (N 2 ) FFT: O (N log 2 (N)) Rechenschritte DFT: O N 2 FFT: O N log 2 N FFT berechnet die DFT exakt, keine Näherung! Rechenschritte N 29 Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand