1 Diskrete Fourier Transformation. 2 Definition der Diskreten Fourier Transformation (DFT)

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1 Diskrete Fourier Transormation Das Ausgangssignal eines nachrichtentechnischen Systems oder Verarbeitungsblocks lässt sich im Zeitbereich bei Kenntnis der Impulsantwort h(n) mit Hile der diskreten Faltung bestimmen. Das Verhalten und die Eigenschaten des Übertragungssystems oder achrichtenverarbeitungsblocks lassen sich allerdings häuig einacher und anschaulicher im Spektralbereich beschreiben. Beispielsweise lässt sich ein digitales Filter im Spektralbereich als multiplikative Verknüpung des Spektrums des Eingangssignals mit der Übertragungsunktion des Filters darstellen. Dazu wird im Folgenden die diskrete Fourier Transormation (DFT) eingeührt, mit deren Hile die Abtastwerte eines Zeitsignals in den Spektralbereich transormiert und dort analysiert werden können. Die Eigenschaten der DFT und die Berücksichtigung dieser Eigenschaten bei der Spektralanalyse eines Signalabschnitts werden vorgestellt. Abschließend wird die Verwendung der Fourier Transormation zur Beschreibung nachrichtentechnischer Übertragungssysteme dargestellt. Deinition der Diskreten Fourier Transormation (DFT) Die Fourier Transormation eines zeitkontinuierlichen Signals x(t) ist deiniert zu X ( ) = x( t) e j π t dt = x( t) [ cos( π t) j sin( π t) ]dt Der komplexe Wert X() des Fourier Spektrums bei der Frequenz ergibt sich dabei als Integral über das Produkt des Signals x(t) und einer Cosinus- bzw. Sinusunktion mit der Frequenz. Wendet man die Fourier Transormation au ein zeitdiskretes Signal x(n) an, wobei man zur praktischen Realisierung die Integration au einen zeitlich begrenzten Abschnitt von Abtastwerten mit der zeitlichen Länge T begrenzt, so erhält man die Deinition der Diskreten j π k n Fourier Transormation (DFT): X ( k ) = x( n) e ür k =,,..., n= Das Integral geht dabei in eine Summe über die betrachteten Abtastwerte über. Die zeitliche Beschränkung au einen Signalabschnitt der Länge T bedingt, dass das Spektrum X() exakt nur ür die Frequenzen berechnet werden kann, bei denen genau eine oder mehrere Perioden des Cosinus oder Sinus in den Abschnitt passen. Diese Frequenzen ergeben sich zu k = k = k a mit k =,,..., T H. Günter Hirsch Version: pa Seite (6)

2 Als Ergebnis der DFT ergeben sich somit komplexe Werte, die ein sogenanntes Linienspektrum bei den Frequenzen = Hz, a, a, 3 a k, L deinieren. Somit können mit der DFT exakt eigentlich nur Signale analysiert werden, die abgesehen von einem möglichen Gleichanteil ( = Hz) nur Frequenzanteile bei a und bei Vielachen dieser Frequenz besitzen. Dies sind periodische Signale, bei denen exakt eine oder mehrere Perioden in dem zu analysierenden Signalabschnitt liegen. Beispielhat ist in Bild das Ergebnis der Analyse von Perioden eines periodischen Signals, die durch = Abtastwerte repräsentiert werden, dargestellt. x(n) n Re{X(k)} Im{X(k)} k k Bild : Ergebnis der DFT von Abtastwerten x(n) eines periodischen Signals H. Günter Hirsch Version: pa Seite (6)

3 . Übungsaugabe Es wird angenommen, dass die in Bild dargestellten Abtastwerte aus der Abtastung eines analogen Signals mit a = = Hz resultieren. T Welche Länge besitzt der Signalabschnitt: T = K ms Welche Grundrequenz ergibt sich aus dieser zeitlichen Länge: = T a = K Bei welchen Frequenzen werden mit der DFT die Werte X(k) bestimmt: k = { K Hz, K Hz, K Hz, L, K Hz} Bei welchen Frequenzen ergibt sich ür den Realteil ein Wert ungleich ull:.. Hz,.. Hz Bei welchen Frequenzen ergibt sich ür den Imaginärteil ein Wert ungleich ull:.. Hz,.. Hz Bis zu welcher Frequenz dar das analoge Signal nach dem Abtasttheorem nur Frequenzanteile beinhalten:.. Hz Welchem Index k entspricht diese Frequenz: k = Hz 3 Eigenschaten der DFT Dem zuvor betrachteten Beispiel kann man entnehmen, dass mit der DFT auch Spektralkomponenten oberhalb der halben Abtastrequenz bestimmt werden. Dabei bestimmt man die Komponenten der ersten spektralen Wiederholung des analogen TP Spektrums. Daraus ergibt sich die in Bild zu sehende Symmetrie der Ausgangswerte der DFT bezüglich des Frequenzwerts bei k = /, der der halben Abtastrequenz entspricht. Es gilt die olgende Beziehung zwischen den Spektralwerten unterhalb und oberhalb von gerade : ungerade : X a : ( + l) = X ( l) mit l =,,..., X ( + l) = X ( l) mit l =, 3,..., Die Spektralwerte oberhalb von a nehmen dabei den konjugiert komplexen Wert der zugehörigen Frequenzkomponente unterhalb von a an. In dem in Bild dargestellten Beispiel nehmen daher die Realteile bei den Indices k = 8 = 8 = und bei k = + 8 = + 8 = 8 den betrags- und vorzeichenmäßig gleichen Wert an, die Imaginärteile bei k = 4 = 4 = 6 H. Günter Hirsch Version: pa Seite 3 (6)

4 und bei k = + 4 = + 4 = 4 den betragsmäßig gleichen Wert mit jedoch unterschiedlichem Vorzeichen an. Spaltet man den Exponentialterm in der Deinition der DFT in die Summe aus Cosinus und Sinus au X ( k ) = x( n) [ cos( k n ) j sin( π k n )] n= π, so kann man dem entnehmen, dass sich die Realteile aus der Multiplikation mit Cosinusunktionen und die Imaginärteile aus der Multiplikation mit Sinustermen ergeben. Daraus kann man ableiten, dass die Realteile cosinusörmige Anteile und die Imaginärteile sinusörmige Anteile im Signalverlau repräsentieren. Dies wird auch deutlich, wenn man die inverse Diskrete Fourier Transormation (IDFT) anwendet, deren Deinition nachstehend gegeben ist. x( n) = k = X ( k) [ cos( π k n ) + j sin( π k n )] ür n =,,..., 3. Übungsaugabe Bei welcher Frequenz besitzt das analoge Signal x(t), aus dessen Abtastung die in Bild dargestellten Abtastwerte hervorgegangen sind, einen Cosinusanteil:.. Hz Bei welcher Frequenz besitzt das analoge Signal, aus dessen Abtastung die in Bild dargestellten Abtastwerte hervorgegangen sind, einen Sinusanteil:.. Hz Geben Sie die Werte von X(k), die Bild entnommen werden können, als komplexe Zahlenwerte an. Berechnen Sie mit den Werten von X(k) die IDFT zur Bestimmung von x(n). (Hinweis: ( ϕ ) = cos( π ϕ ) sin( ϕ ) = sin( π ϕ ) cos und ) Geben Sie das analoge Signal x(t) in der Form x( t) A cos( π t) + B sin( π t) = an. 3. Experimentelle Augabe Erzeugen Sie in der graphischen Oberläche des Signalgenerators ür eine Abtastrequenz von a = Hz die Abtastwerte des analogen Signals x(t), das Sie in der vorhergehenden Augabe bestimmt haben. Vergleichen Sie die Abtastwerte mit den in Bild dargestellten Werten. H. Günter Hirsch Version: pa Seite 4 (6)

5 Analysieren Sie die Abtastwerte in der graphischen Oberläche zur Darstellung der DFT Eigenschaten. Es sollten sich der Real- und der Imaginärteil des Spektrums wie in Bild ergeben. 3.3 Übungsaugabe 3 Das Ergebnis der DFT (Diskreten Fourier Transormation) von 64 Abtastwerten eines zeitdiskreten Signals x(n) ist in der nachstehenden Darstellung als Real- und Imaginärteil ür die DFT Indices zwischen und 3 zu sehen. Re{X(k)} Index k Im{X(k)} Index k Bild : Real- und Imaginärteil eines unvollständigen DFT Spektrums Ergänzen Sie die Darstellung des DFT Spektrums um die ehlenden Werte im Bereich der DFT Indices von 33 bis 63. Geben Sie die zugehörigen Werte der DFT Indices an. Das Signal x(n) ist aus der Abtastung eines analogen Signals x(t), das aus einer Summe von Cosinus- und Sinusschwingungen besteht, hervorgegangen. Die Abtastung erolgte mit einer Frequenz von 64 Hz. Geben Sie an, bei welchen Frequenzen Cosinusschwingungen und bei welchen Frequenzen Sinusschwingungen vorhanden sind. Geben Sie einen Ausdruck zur Beschreibung des analogen Signals x(t) in mathematischer Form an. (Hinweis: ehmen Sie ür die Amplituden der Cosinus- und Sinusschwingungen den Wert an.) H. Günter Hirsch Version: pa Seite 5 (6)

6 3.4 Experimentelle Augabe Erzeugen Sie in der graphischen Oberläche des Signalgenerators die 64 Abtastwerte des analogen Signals x(t), das Sie in der vorhergehenden Augabe bestimmt haben, bei einer Abtastrequenz von a = 64 Hz. Analysieren Sie die Abtastwerte in der graphischen Oberläche zur Darstellung der DFT Eigenschaten. Es sollten sich der Real- und der Imaginärteil des Spektrums wie in Bild ergeben. 3.5 Experimentelle Augabe 3 Welche zeitliche Länge besitzt der Abschnitt eines Sinussignals mit einer Frequenz von Hz, der zwei Perioden des Sinus beinhaltet:. ms Generieren Sie mit dem Signalgenerator die zwei Perioden des Sinussignals bei einer Abtastrequenz von Hz. Analysieren Sie den Signalabschnitt in der graphischen Oberläche zur Darstellung der DFT Eigenschaten. Betrachten Sie im Folgenden die Rücktransormation mit Hile der IDFT. Ändern Sie dazu den Arbeitsmodus der graphischen Oberläche von DFT au IDFT mit Hile des entsprechenden Auswahlmenüs. Durch Anklicken und Festhalten der Maustaste können in diesem Betriebsmodus nun einzelne Komponenten des Betrags- und Phasenspektrums oder des Real- und Imaginärteils verändert werden. Ändern Sie die Phase der Hz DFT-Komponente, so dass sich die Signale sin, +cos und cos ergeben? Welche Amplitudenwerte ür Real- und Imaginärteil treten dabei au: Signal: +sin Betrag: Phase: Realteil: Imaginärteil: Signal: -sin Betrag: Phase: Realteil: Imaginärteil: Signal: +cos Betrag: Phase: Realteil: Imaginärteil: Signal: -cos Betrag: Phase: Realteil: Imaginärteil: 3.6 Experimentelle Augabe 4 Laden Sie in der graphischen Oberläche zur Darstellung der DFT Eigenschaten das Signal rect_phas9.wav. Stellen Sie Real- und Imaginärteil dieses Signals dar. Leiten Sie daraus die Fourier-Reihe ür ein Rechtecksignal ab: [ cos( L ] x( t) = A π t) Hinweis: Der Wert von A soll nicht angegeben werden, sondern nur das relative Verhältnis der Amplituden der Oberwellen zur Amplitude der Grundschwingung. H. Günter Hirsch Version: pa Seite 6 (6)

7 Wechseln Sie in den IDFT Modus. Verändern Sie die Beträge und die Phasen, so dass aus dem Rechtecksignal ein Dreiecksignal wird. Die Fourier Reihe eines Dreiecksignals lässt sich beschreiben durch sin( π t) sin( π 3 t) sin( π 5 t) x( t) = A + + L 3 5 Beschränken Sie die Betrachtung au die ersten 4 Terme der Fourier Reihe. Geben Sie die eingestellten Werte ür Betrag und Phase ür die ersten 4 Komponenten an: Signalanteil: sin( π t) DFT-Index: Betrag: Phase: Signalanteil: sin( π 3 t) DFT-Index: Betrag: Phase: Signalanteil: sin( π 5 t) DFT-Index: Betrag: Phase: Signalanteil: sin( π 7 t) DFT-Index: Betrag: Phase: 4 Spektralanalyse mit Hile der DFT Setzt man die DFT zu einer Spektralanalyse ein, um dabei die Frequenzkomponenten eines analogen Signals zu bestimmen, so stellt man in der Regel nur die Komponenten des DFT a Spektrums im Bereich bis zur halben Abtastrequenz dar. Bei einem geraden Wert von sind dies die Komponenten bei den Indices k =,, L,. Da die DFT eigentlich nur zur Analyse von Signalabschnitten, die eine oder mehrere Perioden eines periodischen Signals beinhalten, angewendet werden kann, stellt sich die Frage, welches DFT Spektrum sich bei der Analyse des Signalabschnitts eines nichtperiodischen Signals oder des Abschnitts eines periodischen Signals, der kein ganzzahliges Vielaches einer Periode beinhaltet, ergibt. Beispielhat sind in Bild 3 die Abtastwerte eines Cosinussignals mit einer Frequenz von 6 Hz, das bei einer Frequenz von Hz abgetastet wurde, und das mit einer DFT analysierte Betragsspektrum dargestellt. H. Günter Hirsch Version: pa Seite 7 (6)

8 Bild 3.5: 6 Hz Cosinussignal und die Beträge der zugehörigen Fourier-Koeizienten Das DFT Spektrum vermittelt den Eindruck, dass das Signal Frequenzkomponenten bei Hz, 5 Hz und Vielachen von 5 Hz besitzt. Dies ist darau zurückzuühren, dass mit der DFT von Abtastwerten bei einer Abtastrequenz von a = Hz nur Komponenten bei den Frequenzen k a k = = { Hz, 5 Hz, Hz, L, 5 Hz} bestimmt werden können. Es wird oensichtlich, dass das DFT Spektrum nicht dem wirklichen Spektrum des analogen Signals entspricht. Die Bestimmung von Spektralkomponenten, die real nicht in dem Signal enthalten sind, wird als leakage (Leck-) Eekt bezeichnet. Zur Reduzierung der Fehler bei der Schätzung des Spektrums mit der DFT werden die Abtastwerte x(n) des zu analysierenden Signalabschnitts mit einer Fensterunktion w(n) multipliziert. Man berechnet die DFT der mit den Faktoren w(n) gewichteten Werte x(n): X j π k n ( k ) = x( n) w( n) e ür k =,,..., n= H. Günter Hirsch Version: pa Seite 8 (6)

9 Dabei gibt es verschiedene Fensterunktionen, die in den meisten Fällen nach den Personen, die sie eingeührt haben, benannt wurden: Hamming-Fenster, Hanning-Fenster, Blackman-Fenster, Kaiser- Fenster, Diesen Fensterunktionen ist gemeinsam, dass ihre Wichtungsaktoren ein zur Mitte des Fensters symmetrisches Aussehen annehmen, sie in der Mitte des Fensters den Wichtungsaktor und an den Rändern den Wert ull oder einen Wert nahe ull besitzen. 4. Übungsaugabe 4 Das Hammingenster lässt sich mathematisch beschreiben durch w ( n) =,54,46 cos( π n ) ür n =,, L, Berechnen Sie die Werte des Hamming-Fensters ür = und skizzieren Sie diese im nachstehenden Diagramm. n w(n) w(n) n H. Günter Hirsch Version: pa Seite 9 (6)

10 4. Experimentelle Augabe 5 Erzeugen Sie sich zur Visualisierung einiger Fensterunktionen in der Oberläche des Signalgenerators Abtastwerte, die den Wert besitzen. Übernehmen Sie die Werte in der Oberläche DFT Eigenschaten. Wählen Sie im Auswahlmenü das Hanning- und anschließend das Bartlett-Fenster aus. Skizzieren Sie in den nachstehenden Diagrammen das Aussehen der beiden Fensterunktionen. Hanning-Fenster Bartlett-Fenster w(n).5.6 w(n) n n 4.3 Experimentelle Augabe 6 Erzeugen Sie im Signalgenerator 4 Abtastwerte eines Sinussignals mit der Frequenz 6 Hz bei einer Abtastrequenz von a = Hz. Analysieren Sie diese Werte in der Oberläche DFT Eigenschaten. Drucken Sie die Ergebnisse einer Analyse bei Verwendung eines Rechteck- Fensters und bei Verwendung eines Hanning-Fensters aus. Skizzieren Sie mit einer vertikalen Linie die Position der Frequenz des Sinussignals. Eine eiziente Berechnung der DFT ist möglich, wenn man Signalabschnitte, die k Abtastwerte beinhalten, analysiert. Diese recheneiziente Realisierung der DFT bezeichnet man als Fast Fourier Transormation (FFT). Der Rechenauwand einer DFT ergibt sich im Wesentlichen aus der Anzahl der durchzuührenden Multiplikationen. Zur Bestimmung der Werte X ( k) = x( n) [ cos( k n ) j sin( π k n )] n= π ür k werden Multiplikationen zur Bestimmung der Realteile (Multiplikationen von x(n) mit den H. Günter Hirsch Version: pa Seite (6)

11 Cosinusunktionen) und Multiplikationen zur Bestimmung der Imaginärteile (Multiplikationen von x(n) mit den Sinusunktionen) benötigt. Bei einer Beschränkung au Signalabschnitte, die k Abtastwerte beinhalten, nehmen die Abtastwerte der Cosinus- und Sinusunktionen an mehreren Stellen den gleichen Wert an, so dass bei einer vorherigen Addition der Abtastwerte x(n) an diesen Stellen die Anzahl der Multiplikationen deutlich reduziert werden kann. Konkret lässt sich die Anzahl von Multiplikationen au ld() reduzieren. Beispielsweise lässt sich so die Anzahl der Multiplikationen bei einer 56 Punkte FFT von = = au 8 8 = = 48 reduzieren. Möchte man einen Signalabschnitt, der weniger als k Abtastwerte beinhaltet, in Form einer FFT analysieren, so kann man entsprechend viele ullen anügen bis zum Erreichen der Länge von k. Diese Vorgehensweise bezeichnet man als zero padding. Dabei ergibt sich auch eine größere Anzahl von Spektralwerten, so dass sich eine höhere Aulösung des Spektrums einstellt. 4.4 Übungsaugabe 5 Im welchem Frequenzabstand bestimmt man die Spektralwerte, wenn man die =4 Abtastwerte eines mit a = Hz abgetasteten Signals mit einer DFT analysiert: =. Hz Im welchem Frequenzabstand bestimmt man die Spektralwerte, wenn man die =4 Abtastwerte mit einer FFT der Länge 6 durch Anhängen entsprechend vieler ullwerte analysiert: =. Hz Im welchem Frequenzabstand bestimmt man die Spektralwerte, wenn man die =4 Abtastwerte mit einer FFT der Länge 8 durch Anhängen entsprechend vieler ullwerte analysiert: =. Hz Zur Berechnung der DFT eines Signalabschnitts in Form einer FFT steht die graphische Oberläche FFT Analyse zur Verügung. Dabei kann aus einem Signal durch Verschieben eines roten Fensters mit der Maus ein Bereich aus einem Signal gewählt werden. Das logarithmierte Leistungsdichtespektrum (in db) wird im rechten Fenster dargestellt. Es können vergleichend die bei Auswahl verschiedener Fensterunktionen sich einstellenden Spektren verglichen werden. Bei Anklicken einer Spektralkomponente werden die Frequenz und der db Wert angezeigt. H. Günter Hirsch Version: pa Seite (6)

12 4.5 Experimentelle Augabe 7 Zur Visualisierung des Einlusses verschiedener Fensterunktion werden die auch in Augabe 6 verwendeten 4 Abtastwerte eines Sinussignals mit der Frequenz 6 Hz bei einer Abtastrequenz von a = Hz in der Oberläche FFT Analyse mit einer FFT Länge von 3 analysiert. Wählen Sie als. Fensterunktion Rechteck und als. Fensterunktion Hamming aus. Drucken Sie das Ergebnis aus. Wie lässt sich der Einluss des Hamming-Fensters in der unmittelbaren Umgebung der Frequenz von 6 Hz beschreiben: (Hinweis: Eigentlich sollte im Spektrum nur eine Linie bei 6 Hz autauchen.) Wie lässt sich der Einluss des Hamming-Fensters in größerer Enternung von der Frequenz von 6 Hz beschreiben: Experimentelle Augabe 8 Im Bereich der analogen Telephonie wird das Drücken einer Tasten als DTMF-Ton (Dual Tone Multi Frequency) übertragen. Eine Taste wird dabei als Signal codiert, das aus der additiven Überlagerung zweier Sinustöne mit unterschiedlicher Frequenz besteht. Die beiden Frequenzen ergeben sich aus der in der nachstehenden Matrix gegebenen Zuordnung. Frequenz des. Tons Frequenz des. Tons A B C 94 * # D Au der Empängerseite indet eine Spektralanalyse statt, um die beiden Frequenzen zu ermitteln und aus der Decodierung die Inormation über die gedrückte Taste zu erhalten. Laden Sie in der Oberläche FFT-Analyse das Signal dtm_telnr.wav, das eine Folge von DTMF Tönen als Codierung einer Teleonnummer beinhaltet. Analysieren Sie die einzelnen DTMF Töne mit einer FFT der Länge 5 und Verwendung eines Hanning-Fensters. Geben Sie die zugehörige Teleonnummer an: H. Günter Hirsch Version: pa Seite (6)

13 5 Beschreibung eines Systems im Frequenzbereich Kennt man die Impulsantwort h(n) eines nachrichtenverarbeitenden Systems, so kann man im Zeitbereich mit Hile der Faltung das Ausgangssignal y(n) ür ein beliebiges Eingangssignal x(n) bestimmen. Transormiert man das Signal x(n) und die Impulsantwort h(n) mit Hile einer Fourier Transormation in den Frequenzbereich, so ergibt sich das komplexe Spektrum Y(k) des Ausgangssignals aus der Multiplikation der beiden komplexen Spektren X(k) und H(k). Die Faltung geht somit bei einer Fourier Transormation in eine Multiplikation über. x(n) h(n) y( n) = x( n) h( n) X(k) H(k) Y ( k) = X ( k) H ( k) Die Fourier Transormierte H(k) der Impulsantwort h(n) bezeichnet man als Übertragungsunktion. Häuig betrachtet man zunächst nur den Betrag H(k) der Übertragungsunktion, um das prinzipielle Verhalten eines Filters zu analysieren. Man bezeichnet den Betrag H(k) als Amplitudengang oder als Frequenzgang. 5. Experimentelle Augabe 9 In einer Übungsaugabe zur Faltung wurde bereits das File Si_5.wav verwendet, das die Abtastwerte der Impulsantwort eines Tiepasses beinhaltet. Laden Sie die Abtastwerte des TP in der graphischen Oberläche Frequenzgang einer Impulsantwort (unter Digitale Filter ). Skizzieren Sie den Frequenzgang im nachstehenden Diagramm. H TP () +,5 Laden Sie in der graphischen Oberläche zur FFT-Analyse das Sprachsignal artos_oenrohr_8k.wav. Analysieren Sie mit einer FFT der Länge 496 den Signalabschnitt am Beginn des Sprachsignals. Drucken Sie das Ergebnis aus. g a,5 H. Günter Hirsch Version: pa Seite 3 (6)

14 Skizzieren Sie in dem Ausdruck grob das Spektrum, das sich nach einer Filterung mit dem TP einstellen sollte. Laden Sie in der graphischen Oberläche zur Faltung das Sprachsignal artos_oenrohr_8k.wav sowie die Impulsantwort des TP. Führen Sie Faltung durch. Speichern Sie das geilterte Signal ab. Analysieren Sie den gleichen Signalabschnitt wie zuvor des geilterten Signal in der Oberläche zur FFT-Analyse. Überprüen Sie, ob das von Ihnen skizzierte Spektrum tatsächlich autritt. 6 Theoreme der Fourier Transormation Aus der Kenntnis der Beziehung x( t) = x( t) ( t) kann man ableiten, dass die Fourier Transormierte des Dirac Stoßes der Konstanten entsprechen muss. δ x( t) = x( t) δ ( t) X ( ) = X ( ) Des Weiteren gelten die olgenden Theoreme: Superposition: a x t) + a x ( t) a X ( ) + a X ( ) ( Die lineare Überlagerung von Zeitsignalen ührt zu einer ebenalls linearen Überlagerung der zugehörigen Spektren. Ähnlichkeitstheorem: x( b t) X ( ) b b Wird ein Zeitsignal beispielsweise gestaucht, so wird das zugehörige Spektrum gedehnt. Umgekehrt ührt eine Dehnung im Zeitbereich zu einer Stauchung im Spektrum. Verschiebungstheorem: x( t t ) X ( ) e j π t j π t Der Verschiebungsaktor e weist den Betrag au. Eine Multiplikation damit ührt somit zu keiner betragsmäßigen Veränderung, sondern nur zu einer Phasenverschiebung. Symmetrie: Fourier- und inverse Fourier Transormation unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen des Exponenten. Daraus lässt sich die olgende Symmetriebeziehung ableiten: x( t) X ( ) X ( t) x( ) H. Günter Hirsch Version: pa Seite 4 (6)

15 6. Übungsaugabe 6 Skizzieren Sie im nachstehenden Diagramm das Spektrum des Dirac Stoßes. δ(t) 6. Übungsaugabe 7 Zeit t Frequenz In der Übung zur Faltung wurde bereits die Impulsantwort des idealen TP vorgestellt, wie man es der nachstehenden Abbildung entnehmen kann. h TP (t) H TP () / g / g 3/ g t / g - g + g Skizzieren Sie in den nachstehenden Diagrammen den Verlau der Stoßantwort und der idealen TP- Charakteristik ür einen TP mit der Grenzrequenz von Hz. h TP (t) H TP () t/ms,5,5 5 /Hz Skizzieren Sie in den nachstehenden Diagrammen den Verlau der Stoßantwort und der idealen TP- Charakteristik ür einen TP mit der Grenzrequenz von 5 Hz. h TP (t) H TP () t/ms,5,5 5 /Hz Welches Theorem wird bei Vergleich der beiden Darstellungen veranschaulicht:.. H. Günter Hirsch Version: pa Seite 5 (6)

16 6.3 Übungsaugabe 8 Wenden Sie die Symmetriebeziehung, die ein Theorem der Fourier Transormation darstellt, an um den prinzipiellen Verlau des Spektrums eines Rechteckimpulses zu bestimmen und im nachstehenden Diagramm zu skizzieren. h(t) H() t h() H(t) t H. Günter Hirsch Version: pa Seite 6 (6)