Erarbeiten der Diskreten Fourier Transformation (GFT) unter Verwendung von Scilab zur Veranschaulichung

Transkript

1 Erarbeiten der Diskreten Fourier Transormation (GFT) unter Verwendung von Scilab zur Veranschaulichung 1. Das Prinzip verstehen 2. DFT beschreiben 3. DFT mit Scilab testen 4. Umsetzung der DFT ür einen Mikrocontroller in C++

2 1. Das Prinzip verstehen - Ein Bandpaßilter lieert nur eine hohe Ausgangsamplitude, wenn die Eingangsrequenz nahe der Durchlaßrequenz ist. Bandilter in = ilt ilt in > ilt ilt in < ilt ilt

3 1. Das Prinzip verstehen - Eine Transormation eines zeitlichen Signals in den Frequenzbereich kann man sich so vorstellen, dass die Reihe der Durchlaßamplituden vieler Bandpaßilter der Transormierten entspricht. Bandilter ilt1 in ilt2 ilt3

4 1. Das Prinzip verstehen - Ein Bandpaßilter läßt sich mit Hile von Phasendrehungen realisieren. Genau dieses Prinzip wird bei FT, DFT und FFT angewendet. Fourier Transormation Phasendrehungen lassen sich am besten in der komplexen Ebene darstellen. Da Scilab direkt mit komplexen Zahlen rechnen kann, wird Scilab zur Veranschaulichung verwendet. Um FFT au einem Mikrocontroller umsetzen zu können, muß man wieder zurück au die Darstellung mit Sinus und Cosinus gehen. Diskrete FT Fast FT ( ) cos im 90 o im im im im zeiger( ) e i 180 o 0 o re re re re re cos i sin 270 o

5 1. Das Prinzip verstehen ( ) e i Mit gedreht i e wird die Phase der Zeigerunktion um den Winkel α gedreht. Setzen wir α=90 o, so wird aus dem Realteil der Zeigerunktion, der vorher cosφ war dann sinφ. Wir probieren das mit Scilab aus:

6 1. Das Prinzip verstehen un sollen Zeitunktionen betrachtet werden und α nicht mehr konstant sein: 2 t 1 i21t i2 2t gedreht ( t) e e 2 2t Sind 1 und 2 gleich, so macht die zweite e-funktion immer die Phasendrehung der ersten rückgängig. Summiert man nun gedreht über mehrere Zeitpunkte ti au, so ergibt sich ein immer länger werdender Peil in einer esten Richtung. Für unterschiedliche 1 und 2 ergibt die gleiche Summation keinen so langen Peil. Hierdurch erhält man den angekündigten Bandpaßilter au Grundlage einer Phasendrehung ür das Zeitsignal U(t): ilterwert( ) t i U ( t i ) e i2t i

7 1. Das Prinzip verstehen Veranschaulichung mit Scilab: =

8 1. Das Prinzip verstehen Das Filtern unktioniert auch, wenn u(t) reellwertig ist:

9 2. DFT beschreiben Statt u(t) gibt es Samples im Abstand Δt: u u u u u(0t) u(1t ) u(2t) 1 u(( 1) t) Indem daür gesorgt wird, dass auch eine eindeutige Rücktransormation in den Zeitbereich möglich ist und die Einzelilter nicht au Frequenzen der anderen Filter reagieren (Orthogonalität), kann eine DFT ohne weitere Herleitung so angegeben werden: n G( ) T k n u( kt) e i2 n k

10 2. DFT beschreiben G( n T ) k 1 0 u( kt ) e i2 n k, n u(kt) n G( ) T e statischer Anteil i k n Die Amplituden des Zeitsignals wurden mit einer Samplingrate s =1/T augezeichnet. Es wurden Werte augezeichnet: k=0..-1 G sind komplexe Zahlen deren Beträge die Gewichte der in u vorkommenden Frequenzen sind. Es entstehen also Gewichte korrespondierend zur Anzahl der Samples und zur Samplerequenz: s, 1 s,..., 1 s 2 Phasendrehung in Abhängigkeit von k (k-ter Sample) und n (n-te Transormierte)

11 3. DFT mit Scilab testen 1 n G( T ) k 0 u( kt ) e i2 n k, n Um möglichst ganzzahlige Frequenzanteile zu bekommen, wird die Samplingrequenz s =120Hz=1*2*3*4*5Hz gewählt und =5. Wegen T=1/ s liegen die Messungen dann in zeitlichen Abständen von T=1/120s Für die Abtastzeitpunkte t k ergibt sich dann: t 0 =0/120s, t 1 =1/120s, t 2 =2/120s, t 3 =3/120s, t 4 =4/120s Für die sich ergebenden Frequenzanteile ergibt sich: 0 =(0/5)120Hz=0Hz, 1 =(1/5)120Hz=24Hz, 2 =(2/5)120Hz=48Hz 3 =(3/5)120Hz=72Hz, 4 =(4/5)120Hz=96Hz. Für u wird eine Sinus-Schwingung mit der Frequenz 48Hz benutzt, um bei der Transormierten ein vorhersehbares Ergebnis zu bekommen: u(t k )=sin(2π*48hz*t k )

12 3. DFT mit Scilab testen =5 =50 =500 Erhöhung der Abtastungen erhöhen die Trennschäre. G i ür i>/2 sind zu i</2 gespiegelt und machen physikalisch keinen Sinn. Hieraus resultiert das Shnnonsche Abtast-Theorem, nach dem maximal Frequenzen der halben Abtastrequenz in einem abgetasteten Signal erkannt werden können. Anmerkungen zur FFT: Wenn eine Zweierpotenz ist (64,128,256 ) tauchen viele Phasendrehungen und Produkte mit u wiederholt au und müssen seltenener neu berechnet werden. Dies macht man sich bei der FFT zunutze. Die Abhängigkeit des Rechenauwandes steigt bei der DFT mit der Anzahl der Abtastungen n mit O(n 2 ). Bei der FFT steigt sie mit O(n*logn)

13 Anmerkungen zu realen Tonsignalen Echte Tonsignale bestehen in der Regel aus einem Frequenzgemisch und liegen nicht in Phase mit den Phasendrehunktionen. Um trotzdem beriedigende Ergebnisse zu erhalten, werden die Ränder des augezeichneten Signals meistens mit so genannten Fenster-Funktionen weggedimmt. 4. Umsetzung der DFT ür einen Mikrocontroller in C++ Die Abtastrate ür Audio-CDs liegt bei 44100Hz. Dieser Wert setzt sich interessanterweise aus olgenden Primaktoren zusammen: = 2*2*3*3*5*5*7*7. Dies könnte eventuell daran liegen, dass sich so die Periode relativ vieler glatter Frequenzen mit einer relativ glatten Anzahl an Samples darstellen läßt (?) Jedenalls lassen sich durch variierende Auswahl einiger dieser Primaktoren leicht Frequenzen bilden, die harmonisch miteinander klingen, da jeweils zwei solcher Töne dann au das ganzzahlige Vielache eines gemeinsamen Grundtones zurückgeührt werden können. Sie sind dann Obertöne dieses Tones. Beispiel: 2*1*3*3*5*5=450Hz ist zweiter Oberton zu 150Hz 2*2*3*1*5*5=300Hz ist erster Oberton von 150Hz gemeinsamer Grundton: 2*1*3*1*5*5=150Hz

14 4. Umsetzung der DFT ür einen Mikrocontroller in C++ Idee: COACH-Fahrzeuge kommunizieren über ausgezeichnete zueinander harmonische Frequenzen. Jedes Fahrzeug hat seinen Ton. DFT horcht nur au die verwendeten Frequenzen Auswahl der Tonrequenzen: s = 2*2*3*3*5*5*7Hz = 6300Hz werden so gewählt, bleiben est dass Töne zwischen 200 und 3150Hz liegen. Es ergeben sich 11 brauchbare Frequenzen: n n 180 n G( s ) G( 6300Hz)

15 4. Umsetzung der DFT ür einen Mikrocontroller in C++