Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 10 - Diskrete Fouriertransformation

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1 Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 10 - Diskrete Fouriertransformation 23. Januar 2017 Siehe Skript Digitale Signalverarbeitung, Abschnitte 10.1 und 11, Kammeyer & Kroschel ( )

2 eues Thema in der DSV Signalverarbeitung im Frequenzbereich. eue Möglichkeiten: Schnelle, adaptive Algorithmen Effiziente Implementierung auf DSPs und PCs Methoden basieren auf diskreter Fouriertransformation (DFT).

3 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation Test von analogen und Implementierung von digitalen Kommunikationssystemen (z.b. OFDM - u.a. in DAB/DVBT) Analyse von MRT-, MEG- und EEG-Signalen Komprimierung von Audio- und Musiksignalen (z.b. mp3) und Verarbeitung (z.b. Equalizer) Entwurf von modellbasierten Regelungen Maschinelle Mustererkennung

4 Verhältnis zu anderen Fourier-Transformationen Digitale Signalverarbeitung, Figure Vorlesung : Vier 10 - Diskrete Klassen Fouriertransformation der Fourier-Transformation [3]

5 Gründe für diskrete Fouriertransformation Diskret im Zeit- und Frequenzbereich Endliche Datenmenge durch Diskretisierung Effiziente Algorithmen zur Berechnung und Invertierung Geeignet für Kurzzeitanalyse (Berechnung von Spektrogrammen )

6 DFT als abgetastetes Spektrum Die Signalfolge besteht aus Werten n {0, 1,..., 1}. Das Linienspektrum soll jetzt auch genau an äquidistanten Stützstellen berechnet werden, die dann die Abstände f = f A = 1 T besitzen. Dann ergeben sich folgende Frequenzstützstellen: (1) Ω n = 2π n f = 2π n, n = 0, 1,..., 1. (2) f A

7 DFT als abgetastetes Spektrum Einsetzen in V Ω n = 2π n, n = 0, 1,..., 1. (3) ( e jω) = DTFT {v(k)} = v(k)e jkω (4) k=0 ergibt zusammen mit der endlichen Signallänge : V (e jωn ) := V (n) = k=0 2πn jk v(k)e. (5)

8 DFT als abgetastetes Spektrum V (n) = k=0 2πn jk v(k)e (6) kann mit der Abkürzung W = e j 2π ergibt das DFT-Transformationspaar: geschrieben werden. Das Definition DFT V (n) = DFT {v(k)} = v(k) = IDFT {V (n)} = 1 k=0 n=0 v(k)w kn, (7) V (n)w kn. (8)

9 DFT als abgetastetes Spektrum Zum Beweis der Beziehung für die IDFT wird (7) in (8) eingesetzt: v(k) = 1 n=0 [ l=0 v(l)w ln ] W kn = v(l) 1 l=0 n=0 Hierfür wurde die Summenorthogonalität der komplexen Drehoperatoren W benutzt: 1 n=0 W n(l k) = 1 n=0 e j 2π n(l k) = δ(l k). W n(l k) = v(k).

10 Matrixdarstellung der DFT Matrixdarstellung der DFT Aus den drei Definitionen Spalten-Vektor der DFT-Spektralwerte V = [V (0),..., V (n),..., V ( 1)] T Spalten-Vektor der Signalfolge v = [v(0),..., v(k),..., v( 1)] T DFT-Matrix [W ]: [W ] lm = W lm ; l, m = 0, 1, 2,..., 1. (l ist die Zeilennummer, m die Spaltennummer) folgt: V = W v (9)

11 Matrixdarstellung der DFT DFT-Spektralanalyse: Vorgehensweise

12 Matrixdarstellung der DFT Matrixdarstellung der DFT Definitionsgemäß ([W ] lm = W lm ) ist W symmetrisch, so dass für die transjugierte 1 DFT-Matrix gilt: W = W T = W. (10) 1 konjugiert komplexe, transponierte

13 Matrixdarstellung der DFT Matrixdarstellung der DFT Für die DFT-Matrix gilt: mit I als x Einheitsmatrix. Für die Inverse folgt W W = I (11) W 1 = 1 W = 1 W. (12)

14 Matrixdarstellung der DFT Matrixdarstellung der DFT Damit ergibt sich die IDFT aus (9): v = W 1 V = 1 W V. (13) Aus dem Vergleich des DFT-Transformationspaares in Matrixdarstellung (9) und (13) wird klar, dass sich Hin- und Rücktransformation im Wesentlichen mit demselben Verfahren berechnen lassen, was nützlich ist.

15 Periodizität des Zeitsignals Die DFT V (n) = k=0 entspricht einer Abtastung der DTFT V ( e jω) = v(k)e j 2π kn (14) v(k)e jkω, (15) k=0 im Frequenzbereich. Aus der Abtastung im Frequenzbereich mit dem Deltakamm δ 2π wird wegen IDTFT(X (e jω ) Y (e jω )) = x(k) y(k) (16) eine Faltung von v(k) mit dem Deltakamm δ im Zeitbereich.

16 Periodizität des Zeitsignals Also wird das Signal v(k), k = 0, 1,..., 1, zu einer Periode des zeitlich unbegrenzten, nichtkausalen, periodischen Signals v p (k) = v((k) ), k =... 1, 0, 1,... (17) Diese kurze Schreibweise benutzt die Modulo-Arithmetik: (k) = k mod {0, 1,..., 1} k Z. (18)

17 Periodizität des Zeitsignals Die Zusammenhänge sind hier für = 5 gezeigt [2]: Figure : Periodizität von diskretem Signal v(k) und zugehörigem DFT-Spektrum V (n). Hieraus wird klar, dass das Spektrum einer langen Folge mit M > nur dann mit der DFT der Länge korrekt berechnet wird, wenn es -periodisch ist.

18 Faltung Bisher wurde die lineare (aperiodische) Faltung behandelt: y lin (k) = v 1 (k) v 2 (k) = ν=0 v 1 (ν)v 2 (k ν) zt V 1 (z) V 2 (z), wobei sich die Länge des Faltungsprodukts = M 1 + M 2 1 aus den Längen M i der Einzelsignale v i (k) ergibt.

19 Faltung Ähnlich gilt für die DFT mit der zyklischen bzw. periodischen Faltung (Faltung periodischer Signale gleicher Periode, wobei das Ergebnis wieder -periodisch ist [1]): Faltungssatz der DFT y ((k) ) = v 1 (k) v 2 (k) = ν=0 v 1 (ν)v 2 ((k ν) ) DFT V 1 (n) V 2 (n) (19) So wie die lineare Faltung ist die zyklische Faltung eine lineare Operation, sie ist kommutativ und assoziativ.

20 Faltung Zyklische und lineare Faltung sind hier gegenübergestellt. ur die grau hinterlegten Werte der beiden Ergebnisse der Faltungsoperationen sind identisch: Figure : Vergleich von linearer und zyklischer Faltung: M 1 = M 2 = 4 [2]

21 Faltung (a) linear (b) zyklisch Figure : Lineare und zyklische Faltung: M 1 = M 2 = 4 [2]

22 Faltung Wie kann die zyklische Faltung zur Berechnung der bei LTI-Systemen interessierenden linearen Faltung verwendet werden? Dazu setzt man zwei Signale (bzw. Signal und Impulsantwort) endlicher Länge M 1 und M 2 voraus. Das Ergebnis der linearen Faltung hat die Länge = M 1 + M 2 1. Also müssen beide Signale durch Anfügen von ullen auf die gemeinsame Länge verlängert werden. Das Ergebnis der zyklischen Faltung der Länge mit diesen so modifizierten Signalen ist identisch mit dem der linearen Faltung: Abb. 6.

23 Faltung Figure : Zyklische und lineare Faltung von zwei Folgen der Länge M 1 = 33, M 2 = 24, v i (k): v i (k) mit Zero-Padding [4]

24 Faltung Zur Herleitung der zyklischen Faltungsbeziehung (19) wird die IDFT verwendet: IDFT {V 1 (n) V 2 (n)} = 1 = 1 v 1 (p)w pn = n=0 p=0 q=0 p=0 v 1 (p)v 2 (q) 1 n=0 n=0 q=0 V 1 (n)v 2 (n)w kn v 2 (q)w qn W (k p q)n. W kn

25 Faltung Weil wegen der Summenorthogonalität der Drehfaktoren (11) für i Z { 1 für k = i + p + q, 1 n=0 W (k p q)n = δ((k p q) ) = 0 für k i + p + q, gilt, kann in (20) p = (k q) oder q = (k p) eingesetzt und eine der Summationen eliminiert werden. Daraus folgt: V 1 (n) V 2 (n) DFT p=0 v 1 (p)v 2 ((k p) ) = q=0 v 1 ((k q) )v 2 (q).

26 Multiplikation, Linearität, Verschiebung, Energieerhaltung Multiplikationssatz Die Herleitung des Multiplikationssatzes entspricht der der zyklischen Faltung, man muss nur Frequenz- und Zeitbereich vertauschen. Ergebnis: Multiplikationssatz der DFT v 1 (k) v 2 (k) DFT 1 = 1 p=0 V 1 (p)v 2 ((n p) ) q=0 V 1 ((n q) )V 2 (q) = 1 V 1(n) V 2 (n)

27 Multiplikation, Linearität, Verschiebung, Energieerhaltung Eigenschaften Linearität Entsprechend der Definition als Matrixmultiplikation ist die DFT linear. Zyklische Verschiebung Verschiebt man ein Signal v(k) der Länge, um lt nach rechts (Verzögerung l < 0) oder nach links (l > 0), dann entspricht dies wegen (17) und (18) einer zyklischen Verschiebung.

28 Multiplikation, Linearität, Verschiebung, Energieerhaltung Zyklische Verschiebung Man kann schreiben v ((k + l) ) = v p (k + l). Weil v p (k + l) eine zweiseitige (nichtkausale) Folge repräsentiert, gilt der Verschiebungssatz der zt für zweiseitige Signale: Verschiebung um l Samples entspricht Multiplikation mit z l. Aus z l = e jlωn = e j 2π nl = W nl folgt Verschiebungssatz der DFT DFT {v ((k + l) )} = V (n)w nl

29 Multiplikation, Linearität, Verschiebung, Energieerhaltung Parsevalsche Beziehung der DFT Die Herleitung der Parsevalschen Beziehung geht am einfachsten mit der Matrixdarstellung der DFT. Es gilt mit (9) und (11): V 2 2 = V V = v W W v = v v = v 2 2. (20) Damit ergibt sich die Parsevalsche Beziehung in der üblichen Form: v 2 2 = k=0 v(k) 2 = 1 n=0 V (n) 2 = 1 V 2 2. (21) So kann die Energie bzw. Leistung über die l 2 -orm im Zeitbereich oder im Frequenzbereich berechnet werden.

30 Multiplikation, Linearität, Verschiebung, Energieerhaltung Lernziele Sie sollten die DFT und die inverse DFT von Signalen bestimmen können. Sie sollten den Multiplikationssatz und den Verschiebungssatz der DFT kennen, wissen, wie die zyklische Faltung von zwei Signalen berechnet wird, und wie man durch zero padding aus der zyklischen Faltung eine lineare Faltung machen kann. Sie sollten aus der Signalenergie im DFT-Bereich die Signalenergie im Zeitbereich berechnen können.

31 Multiplikation, Linearität, Verschiebung, Energieerhaltung Heinz Günther Göckler. Signale und Systeme. Skript zur Vorlesung Signale und Systeme, Ruhr-Universität Bochum, Karl Dirk Kammeyer and Kristian Kroschel. Digitale Signalverarbeitung. 5. Auflage, Stuttgart: Teubner, R. A. Roberts and C. T. Mullis. Digital Signal Processing. Reading/MA: Addison Wesley Publ. Co., Hans Wilhelm Schüßler. Digitale Signalverarbeitung, volume Auflage, Berlin: Springer, 1994.