Inhaltsverzeichnis. vii

Transkript

1 1 Einführung Signale im Kommunikationsprozess Signalverarbeitung als Disziplin Elementare Beschreibung von Signalen Klassen von Signalen Notation Dimensionen. Maße und Pegel Beispiel: Sprachsignal Signale als Realisierungen stochastischer Prozesse Vorbemerkung zur mathematischen Modellierung Stochastische Prozesse Ebenen der Determiniertheit Signal und System. Parametrische Signalmodelle Strukturmodellierung von Signalen Aufbau des Buches Hinweise auf weiterführende Literatur Literatur Beschreibung von Signalen im Zeitbereich Signaloperationen Operationen auf Signalmengen Allgemeines Signalräume, Skalarprodukt und Norm Interpretation der Norm. Energie- und Leistungssignale Abtastung Modellvorstellung Der Dirac-Impuls als Distribution Impulsfläche und weitere Besonderheiten Faltung Linearität zeitkontinuierlicher Systeme Systemreaktion linearer zeitinvarianter Systeme vii

2 viii Inhaltsverzeichnis Regeln der Faltungsoperation Signalverschiebung Systemreaktion bei harmonischer Anregung Diskrete Faltung Reihendarstellungen von Signalen Signalinterpolation und -approximation Reihenentwicklung nach orthogonalen Funktionen Ansatz Approximationsfehler (reelle Aufbaufunktionen) Approximationsfehler (komplexe Aufbaufunktionen).. 44 Energiebeziehung Anwendung auf zeitdiskrete Signale Lagrangesche Interpolation Einführendes Beispiel Interpolationsformel Orthogonalität Samplingreihe und Signalrekonstruktion Lagrangesche Interpolation bei äquidistanten Abtastwerten Spaltfunktion als Aufbaufunktion Abtastbedingung Tiefpass-Rekonstruktion Eigenschaften der Samplingreihe Samplingreihe als Orthogonalreihe Folgerung: Energie zeitdiskreter Signale Samplingreihe als Faltungsprodukt Samplingreihe für periodische Signale Folgerung: Energie zeitdiskreter periodischer Signale Statistische Signalbeschreibung Verteilungs- und Dichtefunktionen Eindimensionale Zufallsgrößen Mehrdimensionale Zufallsgrößen Stochastische Prozesse Stationäre stochastische Prozesse Mittelwerte. Ergodizität Mittelwerte von Zufallsgrößen Mittelwerte von Prozessen Zeitliche Mittelwerte von Realisierungen Ergodizität Messtechnische Aspekte ergodischer Prozesse Korrelationsrechnung Abhängigkeit von Zufallsgrößen Kovarianz- und Autokorrelationsfunktion AKF einzelner Signale (Realisierungen) AKF einer Cosinus- bzw. Sinusfunktion... 83

3 ix Kreuzkorrelationsfunktion Systemreaktion linearer zeitinvarianter Systeme Korrelationsfunktion von Energiesignalen Gauss- oder Normalverteilung Eindimensionale Normalverteilung Mehrdimensionale Normalverteilung Normalverteilte stochastische Prozesse Nulldurchgangs-Analyse Nulldurchgangs-Dichte Zusammenhang zur Dichtefunktion Nulldurchgangs-Histogramm Praktische Ausführung Literatur Beschreibung von Signalen im Frequenzbereich Einführung Entstehung und Bedeutung der Spektralanalyse Aufbau des Kapitels Fourier-Analyse periodischer Funktionen Reelle Fourier-Reihe Komplexe Fourier-Reihe Betrags- und Phasenspektrum. Beispiele Betrags- und Phasenspektrum Beispiel 1: Rechteckimpulsfolge Beispiel 2: Kammfunktion Autokorrelationsfunktion einer Fourier-Reihe Anwendung auf abgetastete periodische Funktionen (DFT) Transformationsgleichungen Weitere Eigenschaften der DFT Beispiel 1: Rechteckimpulsfolge Beispiel 2: Vokalspektren Anwendung auf bandbegrenzte periodische Funktionen 125 Periodische Signale mit bandbegrenztem Spektrum Beweis des Abtasttheorems für periodische Signale Modifikation für geradzahlige Werte von N Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Historische Vorbemerkung Ansatz der FFT DIT- und DIF-Algorithmus Praktische Anwendung der DFT/FFT Folgen der endlichen Abtastwertezahl. Fensterung Lattenzauneffekt Zero padding Fourier-Analyse nichtperiodischer Funktionen

4 x Inhaltsverzeichnis Die Fourier-Transformation Transformationsgleichungen Fourier-Integrierbarkeit. Laplace-Transformation Nutzung der Symmetrieeigenschaft Spektrale Amplitudendichte. Beispiele Betrags- und Phasenspektrum Beispiel 1: Rechteckimpuls und idealer Tiefpass Beispiel 2: Dirac-Impuls Beispiel 3: Cosinusfunktion. Verallgemeinerung Beispiel 4: Kammfunktion Beispiel 5: Sprungfunktion Anwendung auf Testsignale Anwendung auf abgetastete nichtperiodische Funktionen (DTFT) Transformationsgleichungen Frequenznormierung Betrags- und Phasenspektrum Beispiel 1: Rechteckimpuls Beispiel 2: Sprungfunktion Übergang zur z-transformation Anwendung auf bandbegrenzte nichtperiodische Funktionen Signale mit bandbegrenztem Spektrum Folgerungen aus der Abtastung Beweis des Abtasttheorems Zusammenhänge und Sätze Zusammenfassende Übersicht Zusammenhänge zwischen den Transformationen Nichtperiodische Signale Periodische Signale Periodische Fortsetzung im Zeitbereich Beispiel. Abtasttheorem im Frequenzbereich Periodische Fortsetzung von Abtastfolgen Zusammenfassung Sätze Übersicht Verschiebungssatz Faltungssatz Anwendungen des Faltungssatzes Systemreaktion im Frequenzbereich Faltung zweier Spaltfunktionen Fourier-Transformierte abgetasteter Signale Fensterfunktionen Gibbssches Phänomen Verhalten einer Fourier-Reihe an Sprungstellen

5 xi Berechnung der Approximationsfunktion Berechnung des Überschwingverhaltens Spektrale Leistung und Energie Periodische Signale. Parsevalsche Gleichung Nichtperiodische Signale. Plancherelsche Formel Verallgemeinerung. Anwendungsbeispiel Beziehungen mit Korrelationsfunktionen Fourier-Analyse von stationären Zufallssignalen Leistungsdichte- und Leistungsspektrum Übertragungsverhalten linearer zeitinvarianter Systeme 198 Wiener-Chinčin-Theorem Eigenschaften des Leistungsdichtespektrums Schätzung des Leistungsdichtespektrums Schätzung des Leistungsspektrums (Periodogramm) Rauschsignale Weißes Rauschen Weißes Bandpassrauschen /f n -Rauschen Rosa Bandpassrauschen Literatur Einführung in Digitalfilter Grundlagen Aufgabenstellung Einführendes Beispiel Entwicklungsablauf z-transformation Abbildung der komplexen Frequenzebene z-transformation als Laurent-Reihe Ein- und zweiseitige z-transformation Berechnung von z-transformierten Berechnung mit Hilfe von Summenformeln Fortsetzung von DTFT-Transformierten Rücktransformation Entwurf digitaler Filter Definition der Filterparameter Filtertypen Tiefpass-Toleranzschema. Čebyšev-Polynome Übertragungsfunktion des Analogfilters Standard-Tiefpassapproximation Transformation in andere Filtertypen Übertragungsfunktion des Digitalfilters Transformation der Übertragungsfunktionen Beispiel 1: Tiefpass 1. Ordnung Abbildungseigenschaften der Bilineartransformation.. 234

6 xii Inhaltsverzeichnis Beispiel 2: Vorgegebenes Toleranzschema Filterentwurf im Zeitbereich Transformation von Partialbruchzerlegungen Realisierung digitaler Filter Signalflussdiagramme digitaler Filter Darstellung der Übertragungsfunktion Nichtkanonische Direktform Kanonische Direktformen Biquadsektionen Spezielle Filterstrukturen Feedback-Anteil. AR-Filter Feedforward-Anteil. MA-Filter Kombination. ARMA-Filter Realisierung von FIR-Filtern mit Fensterverfahren Multiraten-Signalverarbeitung Abtastraten-Konvertierung Aufgabenstellung Verringerung um einen ganzzahligen Faktor Erhöhung um einen ganzzahligen Faktor Veränderung um ein rationales Verhältnis Digitale Zweikanal-Filterbank Aufgabenstellung Berechnung der Übertragungsfunktionen Verallgemeinerungen Literatur Analyse nichtstationärer Signale Nichtstationäre Signale Problem Einführendes Beispiel Lokalisation von Aufbaufunktionen Charakterisierung nichtstationärer Signale Realisierungen nichtstationärer Prozesse Momentanfrequenz Beispiel: Gleitsinus Quasistationäre Signale Quasistationarität und Kurzzeit-AKF Kurzzeit-AKF eines Sprachsignals Kurzzeit-Spektralanalyse Fensterung und Kurzzeitspektrum Zeitfensterung Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) Weitere Transformationsgleichungen Eigenschaften Darstellung des Kurzzeitspektrums (Spektrogramm).. 278

7 xiii Beschreibungsmöglichkeiten der Unschärfe Zeitgesetz der Nachrichtentechnik Standardabweichung eines Gauß-Impulses Klassische Form der Unschärferelation Unschärferelation der Informationstechnik Folgerungen Unzulänglichkeiten der STFT Alternativen zur STFT Filterbank-Analyse Filterbank-Strukturen Analyse-Filterbänke Kennwerte von Filterbank-Kanälen Ausführungen von Analyse-Filterbänken Konstante absolute Bandbreite Konstante relative Bandbreite Frequenzgruppen-Filterbänke Wavelet-Transformation Aufbaufunktionen und Transformationsgleichungen Wavelets als Aufbaufunktionen Transformationsgleichungen Zeit-Frequenz-Auflösung Praktische Durchführung der WT Diskrete Wavelet-Transformation (DWT) Interpretation durch Detailsignale Zwei-Skalen-Relation und Filterstruktur Erzeugung von Wavelets Erzeugung über Filterkoeffizienten Beispiel: Daubechies-Wavelets Erzeugung aus Verteilungsdichtefunktionen Das Skalogramm Skalogramme von Testfunktionen Beispiel Literatur Analytische Signale Spektralanalyse komplexwertiger Signale Fourier-Transformation komplexwertiger Signale Zuordnungssatz Analytische Signale. Hilbert-Transformation Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel Hilbert-Transformierte Transformationsgleichung Berechnung im Frequenzbereich Besonderheiten kausaler Signale Anwendung auf zeitdiskrete Signale

8 xiv Inhaltsverzeichnis 6.3 Anwendungen Realisierbare Übertragungsfunktionen Zeitkontinuierliche Systeme Zeitdiskrete Systeme Berechnung von Fourier-Transformierten Berechnung von Hüllkurven Abtasttheorem für Bandpass-Signale Bandpass- und Tiefpass-Signal Samplingreihe Gewinnung der Quadratursignale Literatur Modellierung von Signalen Leistungsspektrum und Cepstrum Komplexes Cepstrum Motivation und Begriffsbildung Das komplexe Cepstrum Reelles Cepstrum Cepstrum zeitkontinuierlicher Signale Cepstrum zeitdiskreter Signale Anwendungsbeispiele Modellierung stationärer Signale Synthese- und Analysefilter MA- und AR-Modell Optimale Signalverarbeitung Optimalfiltertheorie Aufgabe Wiener-Hopfsche Integralgleichung Lösung der Integralgleichung Anwendung auf zeitdiskrete Signale Vorhersagefilter (Prädiktoren) Motivation Prädiktion zeitkontinuierlicher Signale Prädiktion zeitdiskreter Signale Anwendung zur Schätzung von Modellparametern Zusammenhang zum Cepstrum Prädiktionsfehler. Spektrale Flachheit Anwendung der linearen Prädiktion auf nichtstationäre Signale Linear Prediction Coding (LPC) Quasistationärer Ansatz Einführendes Beispiel Modellspektrum Fehler- und Anregungssignal Anwendungen Überblick

9 xv Redundanzarme Signalcodierung Praktische Berechnung der Prädiktorkoeffizienten Kovarianzmethode Autokorrelationsmethode Levinson-Durbin-Rekursion Bedeutung der PARCOR-Koeffizienten Literatur Index