Digitale Signal Verarbeitung

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1 Helmut Roderer / Alfred Pecher Digitale Signal Verarbeitung Eine Einführung mit Demonstrationsbeispielen und Programm-CD Vogel Buchverlag

2 Inhaltsverzeichnis Signale Einführung Klassifizierung von Signalen Grundoperationen an Signalen Spiegelung und Verschiebung von Signalen Zerlegung von Signalen Zeitdiskrete determinierte Signale '.'..' 6 ' Zahlenfolge Zeitreihe Zeitdiskretes Signal Deltafunktion Darstellung von Zeitreihen durch zeitdiskrete Signale Deltaabtastung von zeitkontinuierlichen Signalen Stochastische zeitdiskrete Signale Beschreibung von Zufallssignalen Elementarereignis Vektorielle Zufallssignale Verteilungsfunktion und Dichtefunktion Erwartungswerte Physikalische Darstellung eines zeitdiskreten Signals Verarbeitung von Zeitreihen Faltung 20 III

3 "1.8.1 Definition und Eigenschaften der Faltung Grafische Interpretation der Faltung Faltung mit Distributionen. -' Diskrete Faltung Faltung zeitkontinuierlicher zeitbegrenzter Signale Zyklische diskrete Faltung Diskrete Faltung und z-transformation Aufgaben Laplace- und Z-Transformation Laplacetransformation ~ Z-Transformation Zusammenstellung von Transformationspaaren 32 Fouriertransformation Rechenregeln der Fouriertransformation Wichtige Fouriertransformationspaare Fouriertransformierte kausaler Signale Diskrete Fouriertransformation ' Ermittlung der Fouriertransformierten Fouriertransformierte zeitdiskreter Signale Fouriertransformierte periodischer Signale Fouriertransformierte zeitbegrenzter Signale Fouriertransformierte sehr langer Signale Fouriertransformierte zeitkontinuierlicher Signale Fouriertransformierte zeitbegrenzter Signale Fouriertransformierte periodischer Signale Fourierreihen Die Beziehung der Fouriertransformation zur Laplacetransformation Parsevalsche Theoreme.. _ Aperiodische zeitkontinuierliche Signale Aperiodische zeitdiskrete Signale ^ ' Periodische zeitkontinuierliche Signale Periodische zeitdiskrete Signale Leckeffekt bei der DFT Nichtstationäre Signale Einführung...:.' Kurzzeitspektren. ; Aufgaben. 54 IV

4 3 Approximation von Signalen i Einführung Herleitung der Least-Square-Methode Approximation und Interpolation Anwendungsbeispiele Approximation mit beliebigen Funktionen Regressionspolynome Interpolation Verstärkungsmessung Approximation mit orthogonalen Signalen Diskrete Fouriertransformation Diskrete Cosinustransformation, DCT Approximation mit Haarfunktionen 76 4 Systeme Systembeschreibung Aufteilung und Zusammenfassung Klassifizierung von Systemen...' Systemsimulation Mathematische Systembeschreibung Allgemeines Lineare und zeitinvariante Systeme Einteilung der LTI-Systeme Systembeschreibung mit Testsignalen Gewichtsfunktion und Übertragungsfunktion Übertragungsstabilität Sprungantwort 88' Frequenzgang Frequenzgang von zeitkontinuierlichen Systemen Frequenzgang von zeitdiskreten Systemen Messung von Frequenzgängen Eigenschaften kausaler Systeme Weitere Begriffe zum Frequenzgang Verknüpfung von LTI-Systemen Reihen-oder Kaskadenschaltung, Inverses System Parallelschaltung, Komplementärsystem Kreisschaltung 95 V

5 5 Differenzengleichungssysteme Gewichtsfunktion und Sprungantwort Z-Übertragungsfunktion Frequenzgang. / Übertragungsstabilität Stabilitätskriterium im z-bereich für Differenzengleichungssysteme Praktische Ausführung der Stabilitätsprüfung Typen zeitdiskreter Systeme...^ Aufgaben...' Differentialgleichungssysteme Einführung Lineare Differentialgleichungssysteme Nichtlineare Differentialgleichungssysteme Untersuchung von Systemen im Zeitbereich Anwendung der Laplacetransformation Lösung von Differentialgleichungen mit der Laplacetransformation Laplace-Übertragungsfunktion Frequenzgang Sprungantwort Übertragungsstabilität ' Numerische Berechnung der Systemantwort auf beliebige Eingangssignale Aufgaben Anregungsinvariante Approximation ^ Lösungsansatz Impulsinvariante Approximation Sprunginvariante Approximation Weitere Approximationsformen,..., ;2 Übertragungsfunktion der sprunginvarianten Approximation Numerische Berechnung der sprunginvarianten Approximation Aufgaben 133 N 129 VI

6 8 Zustandsdarstellung von Systemen, Darstellung für zeitkontinuierliche Systeme Ermittlung der Übertragungsfunktion Übertragungsfunktion für SISO-Systeme Übertragungsfunktionen für MIMO-Systeme Ermittlung der Zustandsdarstellung aus der Übertragungsfunktion Ermittlung der Regelungsnormalform Ermittlung der Beobachtungsnormalform Ermittlung der Jordanschen Normalform Zustandsdarstellung zeitdiskreter Systeme Ermittlung der Übertragungsfunktion Diskretisierung der Zustandsdarstellung zeitkontinuierlicher Systeme Matlab-Funktionen Verknüpfung von Systemen Verknüpfung zeitkontinuierlicher Systeme Zusammenfassung Reihenschaltung Parallelschaltung Kreisschaltung Verknüpfung zeitdiskreter Systeme Aufgaben Abtastung und Rekonstruktion von Signalen Abtastung Rekonstruktion Ideale Rekonstruktion Reale Rekonstruktion Möglichkeiten zur Verbesserung der realen Rekonstruktion Pulsamplitudenmodulation Aufgaben... \. 165 VII

7 10 Spezielle zeitdiskrete Systeme Phasenlineare Systeme FIR-Systeme \ IIR-Systeme Nullstellenverteilung für phasenlineare FIR-Systeme Multiplikation von Spiegel- und Antispiegelpolynomen Elementare Spiegel- und Antispiegelpolynome Reverse FIR-Systeme Einführung Definition des reversen FIR-Systems Ausblicke Allpässe und Minimalphasensysteme : Allpässe Inverse oder Minimalphasensysteme Filter Ideale Filter FIR-Filter Ideale FIR-Tiefpässe Realisierbare FIR-Tiefpässe FIR-Tiefpass mit Rechteckfenster FIR-Tiefpass mit Cosinusfenstern FIR-Tiefpässe mit anderen Fensterfunktionen FIR-Hochpässe FIR-Bandpässe und FIR-Bandsperren... f Entwurf von FIR-Filtern mit der LS-Methode Weitere Entwurfsmethoden für FIR-Filter IIR-Filter 193, Entwurfsmethode Ausgleich der Phasenverzerrung bei IIR-Filtern Aufgaben 197 VIII

8 10.5 Online-Integration von Signalen Einschrittige Integrationsalgorithmen Mehrschrittverfahren Zweischrittverfahren Dreischrittverfahren Aufgaben Differentiationsalgorithmen Algorithmen aus Stützpolynomen FIR-Differenzierer Signalinterpolatoren Offline-Interpolation Konstruktion eines Interpolationspolynoms Offline-Interpolation mit Intervall-Polynomen Whittaker-Interpolation Online-Interpolation Lineare Interpolation Filterung mit FIR-Tiefpass Aufgaben Algorithmen zur Signalglättung Gleitender Mittelwert Glättung mit FIR-Tiefpass DFT-Glättung 231" Nichtlineare Glättungsfilter Medianfilter Entfernung von Ausreißern Algorithmen zur Hilberttransformation Offline-Hilberttransformation von Signalen Online-Hilberttransformation Goertzel-Algorithmus Zufallszahlengeneratoren. 240 IX

9 Generator für gleichverteilte Zufallszahlen Generatoren mit vorgebbaren Dichtefunktionen Zufallszahlengenerator für Poisson-Verteilung Zufallszahlen mit Binominal-Verteilung Zufallszahlengenerator für Normal Verteilung Generator für Pseudo-Rausch-Binär-Signal Herleitung des PRB-Signals Numerische Erzeugung des PRB-Signals Die z-übertragungsfunktion des PRBS-Generators Generator für gewichtete Binärfolgen Einstellen von Systemen in endlicher Zeit, Einstellen von zeitdiskreten Systemen in endlicher Zeit Einstellen von FIR-Systemen Einstellen von IIR-Systemen Einstellen von zeitkontinuierlichen Systemen in kürzester Zeit Aufgaben Systemidentifikation Schätzung von z-übertragungsfunktionen Parameterermittlung im Zeitbereich Schätzung der z-übertragungsfunktion aus Frequenzgang Frequenzanalyse bei Mehrtonsignalen Rekursive Systemidentifikation Nichtrekursiver Algorithmus Rekursiver Algorithmus 264 X

10 13 Korrelationsfunktion und spektrale Leistungsdichte ' Korrelationskoeffizient Korrelationsfunktionen Autokorrelationsfunktion Definition und Eigenschaften Interpretation Autokovarianzfunktion Kreuzkorrelationsfunktion Kreuzkovarianzfunktionen Rechenregeln für Korrelationsfunktionen Korrelationsfunktionen periodischer zeitdiskreter Signale Numerische Berechnung von Korrelationsfunktionen Spektrale Leistungsdichte Definition, Numerische Berechnung Spektrale Kreuzleistungsdichte Leistungsdichten und Frequenzgang Weißes und farbiges Rauschen Aufgaben Systemsimulation mit Simulink Einführung ' Simulation zeitdiskreter Systeme Sinus-Cosinus-Generator Generator für Pseudo-Rausch-Binär-Signale (PRBS) IIR-Algorithmus Messung von Amplitude und Frequenz harmonischer Signale Phasenschieber Rekursive Parameterschätzung Simulation zeitkontinuierlicher Systeme.\ Simulation eines Fliehkraftpendels Simulation einer Verladebrücke Simulation der Reibung Simulation von Flüssigkeitsbehältern Simulation eines Gleichstrommotors Mathieu-Differentialgleichung Simulationsbeispiel aus der Populationsdynamik 314 XI

11 15 Digitale Regelung Vorbemerkung Einführung in die Regelungsaufgabe Grundzüge der digitalen Regelung ; Kompensationsregler Aufgabenstellung Ermittlung des Reglers Auswahl des Führungsverhaltens Bestimmung der Regler Störverhalten* Numerische Implementierung Regelung mit endlicher Einstellzeit Aufgabenstellung / Ermittlung der Tastzeit..'...' Auslegung des Reglers Störverhalten Simulink-Simulation Zweipunktregelung Zweipunktregler Zeitoptimale Regelung von Strecken, Wurzelortskurve Aufgaben. ' Ermittlung von Signalparametern aus Messwerten Minimierung von Funktionen Lösungsansätze Simplexmethode zur Funktionsminimierung Ermittlung von Signalparametern 343 XII

12 17 Anhang 1: Darstellungen von Differenzengleichungssystemen Kanonische Darstellungen Erste kanonische Form Zweite kanonische Form Kaskadenform Parallelform Anhang 2: Berechnung der Systemantwort mit der Gewichtsfunktion Anhang 3: Fensterfunktionen Einführung Einige Fensterfunktionen Rechteckfenster Cosinusfenster Blackman-Fenster Dolph-Tschebycheff-Fenster Kaiser-Fenster...: Anhang 4: Transformation von Übertragungsfunktionen Vereinbarungen Transformation der Übertragungsfunktionen Wichtige Transformationen Anhang 5: Entwurf zeitkontinuierlicher Filter Festlegung des Toleranzschemas Transformation von Übertragungsfunktionen....x Ermittlung des Toleranzschemas des Normtiefpasses Entwurf zeitkontinuierlicher Normtiefpässe Einführung Definition der Normtiefpässe Transformation des Normtiefpasses in das gewünschte Filter 374 XIII

13 22 Anhang 6: Bilineare Transformation Definition der bilinearen Transformation Eigenschaften der bilinearen Transformation Bestimmung des Transformationsfaktors A Numerische Ausführung der bilinearen Transformation Transformationsmatrizen Inversion der bilinearen Transformation Beispiel Anhang 7: Der FFT-Algorithmus Anhang 8: Herleitung der Spline-Interpolation Anhang 9: Matrizen Definition der Matrix Rechenregeln Transposition einer Matrix Definition und Rechenregeln 395 " Orthogonale Matrizen Rechnen mit Transponierten Determinante einer Matrix Rang einer Matrix Inverse einer quadratischen Matrix Normen von Vektoren und quadratischen Matrizen Differentiation nach Vektoren Matrizenpolynome Eigenwerte und Eigenvektoren Spezielle Matrizen Literaturverzeichnis Zur beiliegenden CD Matlab-Dateien PDF-Dateien 408 Stichwörtverzeichnis 409 XIV