Aufgabe 2.1 Gegeben seien zwei voneinander statistisch unabhängige Gauß-Prozesse s(t) und g(t) mit den zeitunabhängigen Verteilungsdichtefunktionen

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1 Aufgabe 2. Gegeben seien zwei voneinander statistisch unabhängige Gauß-Prozesse s(t) und g(t) mit den zeitunabhängigen Verteilungsdichtefunktionen p s (x) = 2πσ 2 s e x2 2σ 2 s, p g (y) = e y 2 2σ g 2. 2πσg 2 a) Berechnen Sie die Verteilungsdichtefunktion p sg (x, y) des Verbundprozesses. Im Folgenden gelte σ 2 s = σ 2 g = σ 2. b) Skizzieren Sie in der x-y-ebene Linien mit konstanter Verteilungsdichte, d. h. p sg (x, y) = konst. Kennzeichnen Sie die Linie besonders, die durch den Punkt x = σ, y = 0 geht. In welcher Weise würden sich die Linien konstanter Verteilungsdichte bei σ 2 s σ 2 g ändern? c) Zeichnen Sie in das Bild nach b) die Gerade x = σ ein. Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt der Verbundprozess Werte x, y an, die rechts von der Geraden x = σ liegen. Ändert sich etwas an der berechneten Wahrscheinlichkeit, wenn die Gerade im x-y-koordinatensystem in ihrer Lage verdreht wird? d) Gegeben sei nun eine Binärübertragung mit den Elementarsignalen e 0 (t) und e (t), die zu der folgenden Konstellation im Raum der Signalvektoren auf der Empfangsseite führt (s. Abb.0.). F e (t) e 0 (t) Linien konstanter Verbunddichte, Gauß-Prozess F 0 Abb. 0.. Zu Aufgabe 2. d) Wie groß ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei dieser Übertragung?

2 2 Aufgabe 2.2 Für eine Binärübertragung sollen zwei orthogonale Elementarsignale e 0 (t) und e (t) mit gleicher Energie E s und Dauer T S verwendet werden. a) Die zwei Elementarsignale e 0 (t) und e (t) können als Basis eines Unterraums des Signalraums $ aufgefasst werden. Zeichnen Sie den zugehörigen zweidimensionalen Raum der Signalvektoren. Die Elementarsignale werden nun wie folgt über einen Kanal übertragen: e 0 (t) oder e (t) WGR, N o n(t) + Kanal TP f g Empfangs-TP; idealer TP mit Grenzfrequenz f g weitere Verarbeitung, Entscheidung gatf = e 0 atf + n e atf g t oder a f = e atf + n e atf Die Grenzfrequenz f g des idealen Tiefpasses sei so groß gewählt, dass e 0 (t) und e (t) näherungsweise unverändert durchgelassen werden. b) Berechnen Sie die Rauschleistung n 2 e(t)= n 2 e(t) am Ausgang des Empfangs- TP-Filters. c) Beschreiben Sie die zum Ausgangsprozess des Empfangs-TP-Filters gehörige Verteilungsdichtefunktion (Form, Mittelwert, Streuung), wenn kein Elementarsignal gesendet wird. Am Ausgang des Empfangs-TP-Filters werde nun ein Beobachtungsintervall der Dauer T S angenommen, in dem sich e 0 (t) oder e (t) befindet. d) Ausschnitte ( Beobachtungsintervalle ) von Musterfunktionen des Zufallsprozesses n e (t) werden in Musterwerte eines Zufallsvektors in dem betrachteten zweidimensionalen Raum der Signalvektoren (s. a)) projiziert ( Rauschmustervektoren ). Zeichnen Sie in den Raum der Signalvektoren mögliche, durch n e (t) Beobachtungsintervall definierte, Rauschmustervektoren ein. Skizzieren Sie Linien, auf denen mit gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte jeweils Endpunkte von Rauschmustervektoren liegen können (schwierig).

3 e) Wie würde man im Raum der Signalvektoren zweckmäßig die Entscheidungsgrenze zwischen e 0 (t) gesendet und e (t) gesendet legen? Geben Sie ein zugehöriges Modellbild für den Empfänger an. Aufgabe 2.3 Bei einer Binärübertragung über einen AWGR-Kanal werden die folgenden beiden Elementarsignale verwendet: ( e 0 (t) = rect(t), e (t) = 2 rect 2t ). 2 a) Skizzieren Sie e 0 (t) und e (t). 3 e 0 (t) und e (t) liegen in einem Unterraum $ u des Signalraums $. Als Basis für $ u sollen folgende Signale gewählt werden (sgn = Signumfunktion): b 0 (t) = rect(t), b (t) = sgn(t) rect(t). b) Skizzieren Sie e 0 (t) und e (t) im Raum der Signalvektoren. Zeichnen Sie ebenfalls die optimale Entscheidungsgrenze zwischen e 0 (t) gesendet und e (t) gesendet ein. c) Geben Sie ein Blockbild zur Bestimmung der Koordinaten von e 0 (t) und e (t) an. Verwenden Sie hierzu LTI-Systeme und Abtaster. d) Skizzieren Sie das Blockbild eines Empfängers, der die optimale Trennlinie (s. b)) realisiert. e) e (t) soll nun so verändert werden, dass bei gleichbleibender Energie E e die Fehlerwahrscheinlichkeit minimiert wird. Wie lautet das neue Elementarsignal e (t)? Zeichnen Sie dieses e (t) in den Raum der Signalvektoren (s. b)) ein. Berechnen Sie die Vergrößerung der Distanz in Prozent bezogen auf die ursprüngliche Distanz. Aufgabe 2.4 Betrachtet werden sollen drei Arten von Binärübertragungen ( t. unipolar: e 0 (t) = 0; e (t) = e(t) = rect cos T S ) ( 2π t 2T S ) 2. orthogonal: e 0 (t) = e(t); e (t) e 0 (t); E e = E e0 = E e 3. bipolar: e 0 (t) = e(t); e (t) = e(t) a) Skizzieren Sie e(t). der orthogonalen Übertragung sollen im Folgenden als zwei Basisfunktionen des Signalraums verwendet werden. Die normierten Elementarsignale e0(t) Ee und e(t) Ee

4 4 b) Skizzieren Sie den so definierten zweidimensionalen Raum der Signalvektoren. Zeichnen Sie die Signalvektoren für die drei Arten von Binärübertragung ein. c) Berechnen Sie die drei Distanzen, die beim jeweiligen Verfahren für die Fehlerwahrscheinlichkeit maßgebend sind. d) Skizzieren Sie die drei auf das jeweilige Verfahren zugeschnittenen Blockbilder der Empfänger. Der AWGR-Kanal füge nun weißes Rauschen mit der Leistungsdichte N 0 = TS 2 hinzu. Im Raum der Signalvektoren kann dies so interpretiert werden, dass zum Signalvektor ein zufälliger Rauschvektor addiert wird. Die Verteilungsdichtefunktion der Endpunkte dieses Rauschvektors ist eine zweidimensionale Gauß-Verteilung: der zweidimensionalen Gauß-Verteilung Signalvektor e) Berechnen Sie das Verhältnis d2 σ in db (d ist die unter c) berechnete 2 Distanz), das für die Fehlerwahrscheinlichkeit beim jeweiligen Verfahren maßgebend ist. Welches Verfahren führt zur kleinsten Fehlerwahrscheinlichkeit? Aufgabe 2.5 Bei einer bipolaren Übertragung über einen AWGR-Kanal wird das Elementarsignal ( e(t) = a si π t ) mit a = V, T S = µs T S verwendet. Für die Leistungsdichte des WGR gilt: 7 V2 N 0 = 0 Hz a) Skizzieren Sie ein Blockbild der vollständigen Übertragung. b) Wie groß sind die Rauschleistungen am Eingang und am Ausgang des Empfangsfilters? c) Berechnen Sie das Signal-/Rauschleistungsverhältnis zum Abtastzeitpunkt (SNR a ). Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b ergibt sich bei optimaler Entscheidungsschwelle?

5 d) Angenommen werde nun, dass sich die Entscheidungsschwelle durch einen unerwünschten Offset um 20% verschiebe (Bezug: Sollabtastwert vor dem Entscheider, ohne Störungen). Dadurch erhöht sich die Wahrscheinlichkeit P 0, dass ein gesendetes Elementarsignal e(t) als e(t) erkannt wird. Wie viel mehr (in %) an Sendeleistung ist erforderlich, wenn die Bitfehlerwahrscheinlichkeit P 0 unverändert bleiben soll? Wie groß ist der neue Wert für a zu wählen? e) Geben Sie ein Blockbild der vollständigen Übertragung an, wenn das AWGR zu Null angenommen wird. Das Blockbild soll nur ein einziges LTI-System enthalten. Welche maximale Datenrate (in bit/s) ist möglich, wenn kein Eigennebensprechen auftreten darf? Aufgabe 2.6 Gegeben sei eine unipolare Übertragung über einen AWGR-Kanal, bei der das Elementarsignal ( ) t e(t) = rect T S verwendet wird. Betrachtet wird kontinuierliches Senden in Abstand kt S. Für die Zuordnung zwischen den zu übertragenden binären Quellsymbolen q(k) und den Elementarsignalen gelte: { 0 0 q(k) = e(t kt S ) a) Geben Sie einen mathematischen Ausdruck an, aus dem hervorgeht, wie das Sendesignal s(t) aus e(t) und q(k) gebildet wird. b) Skizzieren Sie einen Ausschnitt aus dem Sendesignal s(t) für den Ausschnitt aus der Quellfolge q(k). c) Welche Stoßantwort muß das Empfangsfilter besitzen, wenn die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei der Übertragung minimal sein soll? Skizzieren Sie den Signalverlauf am Ausgang des Empfangsfilters für den unter b) definierten Ausschnitt aus q(k). d) Skizzieren Sie das zu c) gehörige Augenmuster. e) Das Empfangsfilter sei nun statt auf e(t) fälschlicherweise auf e( 2t) eingestellt, womit sich am Ausgang dieses Filters ein Signalverlauf einstellt, der gegenüber c) verändert ist. Skizzieren Sie diesen veränderten Verlauf und das resultierende Augenmuster. 5

6 6 Aufgabe 2.7 Betrachtet werde nun eine Biorthogonal-Übertragung mit M = 4. Das Elementarsignal e 0 (t) soll folgendes Spektrum E 0 (f) besitzen: a E 0 (f) E 0 (f) = a cos ( ) ( ) π f 2 f g rect f 2f g -f g f g f a) Berechnen Sie e 0 (t). b) Wie groß muss die Symbolrate T S als Funktion von f g gewählt werden, damit e 0 (t) das. Nyquist-Kriterium erfüllt? c) Formulieren Sie das. Nyquist-Kriterium für e 0 (t) im Frequenzbereich mit Hilfe der Darstellung { ϕ E ee (k T Ee für k = 0 S) = ϕ 0 sonst E ee (t) ( ) t III = E e δ(t) ( ) T S T S Skizzieren Sie die linke und die rechte Seite der Gleichung ( ) im Frequenzbereich. Für e (t) gelte: e (t) = e 0 (t). d) Geben Sie ein reellwertiges Elementarsignal e 2 (t) an, das aus e 0 (t) durch eine möglichst kleine Verschiebung des Spektrums E 0 (f) hervorgeht. Wie lautet e 3 (t)? e) Skizzieren Sie das Blockbild des optimalen Empfängers. f) Wie groß ist die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b für N 0 = 45.6 V2 Hz, a = Vs, f g = khz? Aufgabe 2.8 a) Gegeben sei ein optimaler Empfänger für ein Alphabet mit orthogonalen Elementarsignalen gleicher Energie. Betrachtet werden die Zufallsvariablen y i vor der Maximum-Entscheidung. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen y 0 und y unkorreliert sind. b) Für einen reellwertigen, gaußverteilten Zufallsvektor y = [ y 0 ] y gilt allgemein folgende Verbund-Verteilungsdichtefunktion (M = 2):

7 7 p y (x; m, K) = (2π)M det K e 2 (x m)t K (x m) K = E {[ y0 y ] } [ y 0 y ] = Kovarianzmatrix [ σ 2 y0 C y0y C yy 0 σ 2 y 0 ] µ = C y 0y σ y0 σ y = C y y 0 σ y0 σ y m = normierter Korrelationskoeffizient zwischen y 0 und y [ my0 m y ] : Mittelwerte σy 2 0, σy 2 : Streuungen Sind die Zufallsvariablen y 0 und y (s. oben) statistisch unabhängig voneinander? Kann man hieraus schließen, dass gilt: p y (x) = M i=0 p yi (x i ) c) Zeigen Sie, dass bei einer Übertragung mit M orthogonalen Elementarsignalen gleicher Energie bei gegebener Symbolfehlerwahrscheinlichkeit P s für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b gilt: M P b = 2(M ) P s Hinweis: In einem Binärwert der Länge m = log 2 M Bit gibt es ( ) m k Möglichkeiten für k Bitfehler. Ferner gilt: m ( ) m k = m 2 m k k=0 d) Gegeben sei eine biorthogonale Übertragung mit M = 4, wobei die Elementarsignale gleiche Energie besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gesendetes Elementarsignal in eines der beiden nächstliegenden Elementarsignale verfälscht wird sei P, die Wahrscheinlichkeit, dass es in das entferntere Elementarsignal verfälscht wird sei P 2. Berechnen Sie die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit.

8 8 PSfrag replacements Aufgabe 2.9 Ein Impulsradar bestimmt die Entfernung zwischen Radarantenne und einem Objekt, das elektromagnetische Wellen reflektiert, dadurch, dass kurze elektromagnetische Impulse gesendet werden und die Laufzeit der Echos gemessen wird. Über die Ausbreitungsgeschwindigkeit im freien Raum ergibt sich die Entfernung. Wichtig für die Genauigkeit der Entfernungsmessung ist das äquivalente Tiefpasssignal e(t), insbesondere die Energie der empfangenen Reflexion. Folgendes Modell im äquivalenten Tiefpassbereich soll gelten: weißes Rauschen, Leistungsdichte N 0 Sender unbekannte Laufzeit Dämpfung, Faktor Kanal Empfangsfilter Alle auftretenden Signale sollen reellwertig sein; der Index T soll zur Vereinfachung der Schreibweise weggelassen werden. a) Bestimmen Sie die Stoßantwort w(t) des Empfangsfilters so, dass zum Zeitpunkt t = t 0 am Ausgang dieses Filters das Signal-/Rauschleistungsverhältnis SNR a (t 0 ) maximiert wird. b) Welchen Einfluss hat die Verteilungsdichtefunktion des Rauschprozesses auf das unter a) gefundene Ergebnis? c) Der Abtastzeitpunkt t 0 ist hier per Definition unbekannt. Wie würden Sie das Signal y(t) am Ausgang des Empfangsfilters weiterverarbeiten, um die Laufzeit t 0 möglichst exakt zu bestimmen? d) Ändert sich etwas an dem unter a) gefundenen Ergebnis, wenn mehrere Reflexionen sich am Empfangsort so überlagern, dass keine Überlappungen auftreten?