A2.5: Scatter-Funktion
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- Simon Böhmer
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1 A2.5: Scatter-Funktion Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der in diesem Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese: die zeitvariante Impulsantwort η VZ (τ, t) = h(τ, t), die Verzögerungs Doppler Funktion η VD (τ, f D ), die Frequenz Doppler Funktion η FD (f, f D ), die zeitvariante Übertragungsfunktion η FZ (f, t). Die Indizes stehen für die Verzögerung τ, die Zeit t, die Frequenz f sowie die Dopplerfrequenz f D. Gegeben ist die Verzögerungs Doppler Funktion η VD (τ, f D ) entsprechend der oberen Grafik: In der Literatur wird η VD (τ, f D ) häufig auch Scatter Funktion genannt und mit s(τ, f D ), bezeichnet. Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion η VD (τ, f D ) dargestellt ist, so dass die negativen Gewichte der beiden letzten Diracfunktionen nicht zu erkennen sind. In dieser Aufgabe sollen die dazugehörige Verzögerungs Zeit Funktion η VZ (τ, t) und die Frequenz Doppler Funktion η FD (f, f D ) ermittelt werden. Hinweis: Die Aufgabe soll den Lehrstoff von Kapitel 2.3 verdeutlichen. Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist auf der Grafik der ersten Seite dieses Kapitels angegeben. Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 1 / 16 Technische Universitaet Muenchen
2 Fragebogen zu "A2.5: Scatter-Funktion" a) Bei welchen τ Werten hat die zeitvariante Impulsantwort η VZ (τ, t) Anteile? τ = 0, τ = 1 μs, andere τ Werte. b) Berechnen Sie η VZ (τ = 0, t). Welche der folgenden Aussagen treffen zu? η VZ (τ = 0, t) ist unabhängig von t. Es gilt η VZ (τ = 0, t) = A cos(2π f 0 t). Es gilt η VZ (τ = 0, t) = A sin(2π f 0 t). c) Berechnen Sie η VZ (τ = 1 μs, t). Welche der folgenden Aussagen treffen zu? η VZ (τ = 1 μs, t) ist unabhängig von t. Es gilt η VZ (τ = 1 μs, t) = A cos(2π f 0 t). Es gilt η VZ (τ = 1 μs, t) = A sin(2π f 0 t). d) Betrachten Sie nun die Frequenz Doppler Darstellung η FD (f, f D ). Für welche f D Werte ist diese Funktion ungleich 0? f D = 0, f D = ± 50 Hz, f D = ± 100 Hz. e) Welche Aussagen gelten für η FD (f, f D ) bei den relevanten Dopplerfrequenzen? η FD (f, f D = 100 Hz) ist unabhängig von f D. Es gilt η FD (f, f D = 50 Hz) = A cos (2π t 0 f). Es gilt η FD (f, f D = 50 Hz) = A sin (2π t 0 f). f) Wie kommt man zur zeitvarianten Übertragungsfunktion η FZ (f, t)? Durch Fouriertransformation von η VD (τ, f D ) bezüglich τ. Durch Fouriertransformation von η VZ (τ, t) bezüglich τ. Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 2 / 16 Technische Universitaet Muenchen
3 Durch Fourierrücktransformation von η FD (f, f D ) bezüglich f D. Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 3 / 16 Technische Universitaet Muenchen
4 Z2.5: Mehrwege-Szenario In der Aufgabe A2.5 war die Verzögerungs Doppler Funktion vorgegeben und man sollte daraus die drei weiteren Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe der Scatterfunktion s(τ 0, f D ) = η VD (τ 0, f D ) lautete dabei: Wir haben hier die Verzögerungsvariable τ durch τ 0 ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable τ 0 die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit τ 1 des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch τ 0 = 0 gekennzeichnet. Nun soll versucht werden, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich diese Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt: Gesendet wird eine einzige Frequenz f S = 2 GHz. Der mobile Empfänger (E) ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeug steht, sich auf den Sender (S) zubewegt oder sich von diesem entfernt. Das Signal gelangt zum Empfänger über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün). Die Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu einer Phasendrehung um π. S 2 und S 3 sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel α 2 und α 3 der Nebenpfade ermittelt werden können. Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Geschwindigkeit υ, der Lichtgeschwindigkeit c = m/s, der Signalfrequenz f S und dem Winkel α: Die Dämpfungsfaktoren k 1, k 2 und k 3 sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen d 1, d 2 und d 3. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten γ = 2: Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz d ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit d. Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 2.3 und bezieht sich auch auf das Pfadverlustmodell und den Dopplereffekt. Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 4 / 16 Technische Universitaet Muenchen
5 Fragebogen zu "Z2.5: Mehrwege-Szenario" a) Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei τ = 0, f D = 100 Hz. Welche Aussagen gelten für den Empfänger? Der Empfänger steht. Der Empfänger fährt direkt auf den Sender zu. Der Empfänger entfernt sich in Gegenrichtung zum Sender. b) Wie groß ist die Fahrzeuggeschwindigkeit? υ = km/h c) Welche Aussagen gelten dinsichtlich des Diracs bei τ 0 = 1 μs, f D = +50 Hz? Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad. Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad. Der Winkel α 2 (siehe Grafik) beträgt 30. Der Winkel α 2 (siehe Grafik) beträgt 60. d) Welche Aussagen gelten für den grünen Pfad? Für diesen gilt τ 0 = 1 μs und f D = 50 Hz. Der Winkel α 3 beträgt 60. Der Winkel α 3 beträgt 240. e) Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden? Es gilt d 3 = d 2. Es gilt k 3 = k 2. Es gilt τ 3 = τ 2. f) Wie groß ist die Laufzeitdifferenz Δd = d 2 d 1? Δd = m g) Welches Verhältnis besteht zwischen d 2 und d 1? h) Geben Sie die Distanzen d 1 und d 2 an. d 2 /d 1 = Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 5 / 16 Technische Universitaet Muenchen
6 d 1 = d 2 = m m Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 6 / 16 Technische Universitaet Muenchen
7 A2.6: Einheiten bei GWSSUS Der Mobilfunkkanal kann in seiner allgemeinsten Form durch vier Systemfunktionen beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen je zwei Funktionen durch die Fouriertransformation bzw. die Fourierrücktransformation gegeben ist. In unserem Lerntutorial werden diese Funktionen einheitlich mit η 12 bezeichnet und es gelten für die Indizes folgende Vereinbarungen: V steht für die Verzögerung τ (erster Index), F steht für die Frequenz f (erster Index), Z steht für die Zeit t (zweiter Index), D ist die Dopplerfrequenz f (zweiter Index). Die Zusammenhänge zwischen Systemfunktionen sind in der oberen Grafik (mit gelber Hinterlegung) dargestellt. Die Fourierkorrespondenzzeichen sind grün eingezeichnet, wobei der Übergang von einem weiß gefüllten Kreis zu einem grün gefüllten Kreis einer Fouriertransformation entspricht und die Gegenrichtung einer Fourierrücktransformation. Beispielsweise gilt: Die aus den Systemfunktionen abgeleiteten Korrelationsfunktionen φ 12 und Leistungsdichtespektren Φ 12 werden mit den gleichen Indizes versehen. Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren Grafik an der roten Schrift und alle Leistungsdichtespektren sind blau beschriftet. Es wird stets vom GWSSUS Modell ausgegangen. Betrachten wir hier die Systemfunktion η VZ (τ, t), also die zeitvariante Impulsantwort h(τ, t). Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen: Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 2.3. Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 7 / 16 Technische Universitaet Muenchen
8 Fragebogen zu "A2.6: Einheiten bei GWSSUS" a) Welche Einheiten besitzen die Systemfunktionen? Welche Aussagen treffen zu? η VZ (τ, t) hat die Einheit [1/s]. η FZ (f, t) hat keine Einheit. η VD (τ, f D ) hat keine Einheit. η FD (f, f D ) hat die Einheit [1/Hz]. b) Welche Einheiten besitzen folgende Funktionen? Welche Aussagen treffen zu? φ VZ (Δτ, Δt) hat die Einheit [1/s]. Φ VZ (τ, Δt) hat die Einheit [1/s]. Φ V (τ) hat die Einheit [1/s]. c) Welche Einheiten besitzen folgende Funktionen? Welche Aussagen treffen zu? φ FZ (Δf, Δt), φ F (Δf) und φ Z (Δt) haben keine Einheit. Φ VD (τ, f D ) hat die Einheit [1/s]. Φ FD (Δf, f D ) und Φ D (f D ) haben die Einheit [1/Hz]. Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 8 / 16 Technische Universitaet Muenchen
9 A2.7: Kohärenzbandbreite Für das Verzögerungs Leistungsdichtespektrum wird meist ein exponentieller Ansatz gewählt. Mit Φ 0 = Φ V (τ = 0) gilt: Die Konstante τ 0 lässt sich entsprechend der oberen Grafik aus der Tangente im Punkt τ = 0 ermitteln. Beachten Sie, dass Φ V (τ) die Einheit [1/s] aufweist. Weiter gilt: Die Wahrscheinlichkeitsdichte f V (τ) ist formgleich mit Φ V (τ), jedoch auf die Fläche 1 normiert. Die mittlere Verzögerungszeit (engl. Average Excess Delay) m V ist der lineare Erwartungswert E[τ], der sich auch aus der WDF f V (τ) bestimmen lässt. Die Mehrwegeverbreiterung (engl. Multipath Spread) σ V ist gleich der Standardabweichung (Streuung) der Zufallsgröße τ. Im Theorieteil wird hierfür auch die Bezeichnung T V verwendet. Die unten dargestellte Frequenzkorrelationsfunktion φ F (Δf) kann als die Fouriertransformierte des Verzögerungs Leistungsdichtespektrums Φ V (τ) berechnet werden: Die Kohärenzbandbreite B K ist derjenige Δf Wert, bei dem die Frequenzkorrelationsfunktion φ F (Δf) auf den halben Betrag abgefallen ist. Hinweis: Die Aufgabe behandelt das Themengebiet von Kapitel 2.3. Benötigt werden dazu Kenntnisse zur Momentenberechnung für Zufallsgrößen aus dem Buch Stochastische Signaltheorie. Außerdem kann folgende Fouriertransformation als gegeben vorausgesetzt werden: Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 9 / 16 Technische Universitaet Muenchen
10 Fragebogen zu "A2.7: Kohärenzbandbreite" a) Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f V (τ) der Verzögerungszeit? f V (τ) = exp( τ/τ 0 ), f V (τ) = 1/τ 0 exp( τ/τ 0 ), f V (τ) = Φ 0 exp( τ/τ 0 ). b) Bestimmen Sie die mittlere Verzögerungszeit für τ 0 = 1 μs. m V = μs c) Welcher Wert ergibt sich für die Mehrwegeverbreiterung mit τ 0 = 1 μs? σ V = μs d) Berechnen Sie die Frequenzkorrelationsfunktion φ F (Δf). Welche Gleichung gilt? φ F (Δf) = [1/τ 0 + j 2π Δf] 1, φ F (Δf) = exp [ (τ 0 Δf) 2 ]. e) Bestimmen Sie die Kohärenzbandbreite B K. B K = khz Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 10 / 16 Technische Universitaet Muenchen
11 Z2.7: B K für den LZI Zweiwegekanal Für das GWSSUS Modell werden zwei statistische Kenngrößen angegeben, die beide die durch Mehrwegeausbreitung entstehenden Verzögerungszeiten τ erfassen. Mehr Informationen hierüber finden Sie auf Seite 8 des Theorieteils. Die Mehrwegeverbreiterung T V ist definitionsgemäß gleich der Standardabweichung der Zufallsgröße τ. Diese kann aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f V (τ) ermittelt werden, wobei berücksichtigt werden kann, das f V (τ) formgleich mit dem Verzögerungs Leistungsdichtespektrum Φ V (τ) ist. Die Kohärenzbandbreite B K beschreibt den gleichen Sachverhalt im Frequenzbereich. Diese ist implizit durch die Frequenzkorrelationsfunktion φ F (Δf) festgelegt als derjenige Δf Wert, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte abgefallen ist: Der Zusammenhang zwischen Φ V (τ) und φ F (Δf) ist durch die Fouriertransformation gegeben: Beide Definitionen sind bei einem zeitinvarianten Kanal nur bedingt geeignet. Beispielsweise verwendet man für einen zeitinvarianten Zweiwegekanal, also mit konstanten Pfadgewichten, entsprechend obiger Grafik oft als Näherung für die Kohärenzbandbreite: In dieser Aufgabe soll geklärt werden, warum es in der Literatur verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite gibt, welcher Zusammenhang zwischen B K und B K ' besteht, und welche Definitionen bei welchen Randbedingungen sinnvoll sind. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf einige Theorieseiten in Kapitel 2.2 und Kapitel 2.3. Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 11 / 16 Technische Universitaet Muenchen
12 Fragebogen zu "Z2.7: B K für den LZI Zweiwegekanal" a) Welche Kohärenzbandbreitennäherungen ergeben sich für Kanal A und B? Kanal A: B K ' = Kanal B: B K ' = khz khz b) Wie lautet die WDF f V (τ), wenn G das Gewicht des zweiten Pfades angibt? f V (τ) = δ(τ) + G δ(τ τ 0 ), f V (τ) = δ(τ) + G 2 δ(τ τ 0 ), f V (τ) = 1/(1 + G 2 ) δ(τ) + G 2 /(1 + G 2 ) δ(τ τ 0 ). c) Berechnen Sie die Mehrwegeverbreiterung. Kanal A: T V = Kanal B: T V = μs μs d) Welche Kohärenzbandbreite B K weist der Kanal A auf? Es gilt B K = 333 khz. Es gilt B K = 500 khz. Es gilt B K = 1 MHz. B K ist nach dieser Definition nicht angebbar. e) Welche Kohärenzbandbreite B K weist der Kanal B auf? Es gilt B K = 333 khz. Es gilt B K = 500 khz. Es gilt B K = 1 MHz. B K ist nach dieser Definition nicht angebbar. Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 12 / 16 Technische Universitaet Muenchen
13 A2.8: COST-Verzögerungsmodelle In der Grafik sind vier Verzögerungs Leistungsdichtespektren logarithmisch aufgetragen, also als Funktion der Verzögerungszeit τ. Hierbei ist ϕ 0 = ϕ V (τ = 0). Es handelt sich um die sog. COST Verzögerungsmodelle. Die obere Skizze beinhaltet die beiden Profile RA (Rural Area) und TU (Typical Urban). Für diese beiden gilt folgender Verlauf: Der Wert des Parameters τ 0 (Zeitkonstante der AKF) soll in der Teilaufgabe a) aus der gegebenen Grafik ermittelt werden. Beachten Sie hierzu die angegebenen τ Werte für 30 db: Die untere Grafik gilt für ungünstigere Verhältnisse in städtischen Gebieten (Bad Urban, BU): in ländlichen Gebieten (Hilly Terrain, HT): Für die Modelle RA, TU und BU sollen folgende Kenngrößen ermittelt werden: Die Mehrwegeverbreiterung T V ist die Standardabweichung (Streuung) der Verzögerungszeit τ. Hat das Verzögerungs LDS Φ V (τ) einen experimentellen Verlauf wie bei den Profilen :RA und :TU, so gilt T V = τ 0, siehe Aufgabe A2.7. Die Kohärenzbandbreite B K ist derjenige Δf Wert, bei dem die Frequenzkorrelationsfunktion φ F (Δf) betragsmäßig erstmals auf die Hälfte abgefallen ist. Bei exponentiellem Φ V (τ) wie bei :RA und :TU ist das Produkt T V B K 0.276, siehe Aufgabe A2.7. Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 2.3. Vorgegeben sind die folgenden bestimmten Integrale: Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 13 / 16 Technische Universitaet Muenchen
14 Fragebogen zu "A2.8: COST-Verzögerungsmodelle" a) Geben Sie den LDS Parameter τ 0 für die Profile RA und TU an. b) Wie groß ist die Mehrwegeverbreiterung dieser Kanäle? RA: τ 0 = μs TU: τ 0 = μs RA: T V = μs TU: T V = μs c) Welche Kohärenzbandbreite stellen diese Kanäle bereit? RA: B K = khz TU : B K = khz d) Bei welchem Kanal spielt Frequenzselektivität eine größere Rolle? Bei Rural Area. Bei Typical Urban. e) Wie groß ist die (normierte) Leistungsdichte für Bad Urban und τ = μs bzw. τ = μs? BU: Φ(τ = μs) = Φ 0 Φ(τ = μs) = Φ 0 f) Wir betrachten weiterhin BU. Wie groß ist der prozentuale Leistungsanteil P 1 der Signalanteile zwischen 0 und 5 μs? BU: P 1 /(P 1 + P 2 ) = % g) Berechnen Sie die Mehrwegeverbreiterung T V des Profils BU. Hinweis: Die mittlere Laufzeit beträgt m V = E[τ] = μs. BU: T V = μs Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 14 / 16 Technische Universitaet Muenchen
15 A2.9: Korrelationsdauer Der Einfluss des Rayleigh Fadings wird im Frequenzbereich vollständig durch das Jakes Spektrum beschrieben. Mit dem Rayleigh Parameter σ = (Wurzel aus 1/2) ergibt sich dieses im Doppler Frequenzbereich f D f D, max zu Diese Funktion ist in der Grafik für f D, max = 50 Hz (blaue Kurve) und für f D, max = 100 Hz (rote Kurve) dargestellt. Die Zeitkorrelationsfunktion ist die Fourierrücktransformierte des Doppler Leistungsdichtespektrums Φ D (f): Hierbei bezeichnet J 0 die Besselfunktion nullter Ordnung. Diese ebenfalls symmetrische Funktion ist in der Grafik unten skizziert, aus Platzgründen allerdings nur die rechte Hälfte. Aus jeder dieser beiden Beschreibungsfunktionen lässt sich eine Kenngröße ableiten: Die Dopplerverbreiterung B D bezieht sich auf das Doppler LDS Φ D (f D ) und gibt dessen Streuung σ D an. Zu berücksichtigen ist, dass das Jakes Spektrum mittelwertfrei ist, so dass die Varianz σ D 2 gleich dem quadratischen Mittelwert ist. Die Berechnung geschieht in analoger Weise wie die Bestimmung der Mehrwegeverbreiterung T V aus dem Verzögerungs LDS Φ V (τ) Aufgabe A2.7. Die Korrelationsdauer T D bezieht sich dagegen auf die Zeitkorrelationsfunktion φ Z (Δt) und gibt denjenigen Δt Wert an, bei dem deren Betrag erstmals auf die Hälfte ihres Maximums (stets bei Δt = 0) abgefallen ist. Man erkennt die Analogie zur Bestimmung der Kohärenzbandbreite B K aus der Frequenzkorrelationsfunktion φ F (Δf) Aufgabe A2.7. Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Kapitel 2.1 und Kapitel 2.3. Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral: Abschließend noch einige Werte für die Besselfunktion nullter Ordnung (J 0 ): Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 15 / 16 Technische Universitaet Muenchen
16 Fragebogen zu "A2.9: Korrelationsdauer" a) Welche Aussagen treffen im vorliegenden Fall für die Wahrscheinlichkeitsdichte (WDF) der Dopplerfrequenz zu? Die Doppler WDF ist identisch mit dem Doppler LDS. Die Doppler WDF ist nur formgleich mit dem Doppler LDS. Doppler WDF und Doppler LDS unterscheiden sich grundsätzlich. b) Bestimmen Sie die Dopplerverbreiterung B D nach der angegebenen Definition. f D, max = 50 Hz: B D = f D, max = 100 Hz: B D = Hz Hz c) Welcher Zeitkorrelationswert ergibt sich für Δt = 5 ms? f D, max = 50 Hz: φ Z (Δt = 5 ms) = f D, max = 100 Hz: φ Z (Δt = 5 ms) = d) Wie groß sind die Korrelationsdauern für beide Parametersätze? f D, max = 50 Hz: T D = f D, max = 100 Hz: T D = ms ms e) Welcher Zusammenhang gilt ganz allgemein zwischen Dopplerverbreiterung B D und Korrelationsdauer T D, wenn vom Jakes Spektrum ausgegangen wird? B D T D 1, B D T D 0.5, B D T D Lehrstuhl fuer Nachrichtentechnik (LNT) 16 / 16 Technische Universitaet Muenchen
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