P (X = 0) = P (X = 2) = 2

Transkript

1 Aufgabe 3% Gegeben ist der diskrete Kanal in Abbildung mit ufallsvariable X {,, } am Sender und Y {A, B} am Empf anger. Nehmen Sie an, dass gilt p P (X ) p p P (X ) P (X ) X Y.8. A.5.5 B..8 Abbildung : Ein diskreter Kanal. 8%. Bestimmen Sie die Transinformation I(X; Y ) als Funktion von p. Hinweis: log 3.6, log 5.3 und log 7.8 P (Y A) P (Y B) I(X; Y ) H(Y ) H(Y X) P P H(.5,.5) H(.,.8) + P H(.5,.5) + H(.,.8) [( P ).7 + P ].3.3P 8%. Nutzen Sie die Maximum-a-posteriori-Detektion, um die optimale Entscheidung beim Empf anger zu bestimmen, wenn das empfangene Symbol A ist. argmax px Y (X Y A) PX Y (X Y A) P (Y A X x)p (X x) P (Y A) / Fortsetzung der Klausur...

2 PX Y X.8( P ) X X P.( P ) Fallunterscheidung: F ur P <. ist die optimale Entscheidung X. F ur P >. ist die optimale Entscheidung X. F ur P. ist die optimale Entscheidung sowohl X als auch X. 7%.3 Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit, die sich im Aufgabeteil. ergibt? P <. P (Error Y A) P (X Y A) + P (X Y A). +.8P P >. P (Error Y A) P (X Y A) + P (X Y A) P P >. P (Error Y A) P. +.8P Aufgabe % Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der kontinuierlichen ufallsvariable X in Abbildung. Diese ufallsvariable wird anhand des folgenden Schemas quantisiert ( ˆ falls X, X 3 falls X > ˆ die ufallsvariable nach der Quantisierung darstellt. wobei X Hinweis: Die Quantisierungspunkte sind xˆ und xˆ 3 und die Entscheidungsschwelle liegt bei. / Fortsetzung der Klausur...

3 fx (x) /8 3/8 /8 /8 3 x Abbildung : Die Verteilung der ufallsvariable X. ˆ 6%. Bestimmen Sie die Transinformation I(X; X). Hinweis: log 3.6, log 5.3 und log 7.8 ˆ {, 3} { 5, 3 } X 8 8 ˆ H(X) ˆ H(X X) ˆ I(X; X) 5 H( ) %. Ist diese Wahl der Quantisierungspunkte und Entscheidungsschwelle optimal? Begr unden Sie Ihre Antwort. Nein, weil E[X X Ri ] 6 xˆi. E[X X Ri ] x X Ri fx (x) dx P (X Ri ) 3 E[X X R ] 7 E[X X R ] 6 8%.3 Bestimmen Sie den mittleren quadratischen Fehler (MSE). 3/ Fortsetzung der Klausur...

4 MSE X i (x xˆi )fx (x)dx x Ri (x 3) fx (x)dx (x ) fx (x)dx (x ) dx + (x ) dx + (x 3) dx + (x 3) dx Aufgabe 3 33% Ein System kann sich in drei ust anden {R, U, F } befinden. Das ustandsdiagramm des Systems ist in Abbildung 3 gegeben. PU R.8 PR U R U PU F PR F PF U F Abbildung 3: Das ustandsdiagramm mit den drei ust anden R, U und F. 8% 3. Nehmen Sie an, dass P (R).7, P (U )., P (F ).. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten PF U, PR U, PU R, PR F und PU F. / Ende der Klausur

5 PU R PR R. P (F ).5 PF U P (U ) PR U PF U.5 P (R) [P (U )PR U + P (R)PR R ] PR F. P (F ) PU F PR F.6 Hinweis: Wenn Sie Aufgabenteil 3. nicht l osen k onnen, verwenden Sie alternativ zur Bearbeitung der anschließenden Aufgabenteile die folgenden Wahrscheinlichkeiten: PF U., PR U.6, PU R., PR F.3 und PU F.7. 5% 3. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass der u bern achste ustand R ist, wenn der aktuelle ustand R ist: P (3 R R)? P (3 R R) P (3 R, R R) + P (3 R, U R) + P (3 R, F R) {z } P (3 R R, R)P ( R R) + P (3 R U, R)P ( U R) P (3 R R)P ( R R) + P (3 R U )P ( U R).7 Die alternative L osung: P (3 R R).76 % 3.3 Bestimmen Sie H(i ). Hinweis: log 3.6, log 5.3 und log 7.8 H(i ) H(.7,.,.) 8% 3. Bestimmen Sie H(i i ). Hinweis: log 3.6, log 5.3 und log 7.8 5/ Fortsetzung der Klausur...

6 H(i i ) P (R)H(.8) + P (U )H(.5) + P (F )H(.).78 Die alternative L osung: H(i i ).76 % 3.5 Bestimmen Sie I(i ; i, i ). Hinweis: Wenn Sie Aufgabenteilen 3.3 and 3. nicht l osen k onnen, verwenden Sie alternativ zur Bearbeitung dieses Aufgabenteils: H( ).5 und H( ).8. I(i ; i, i ) I(i ; i ) + I(i ; i i ) I(i ; i ) + I(i ; i i ) {z } H(i ) H(i i ).356 % 3.6 eigen Sie, dass die folgenden Ausdr ucke richtig sind.. H(,, 3 ) H(, ). I( ; 3 ) I( ; 3 ) H(,, 3 ) H(, ) + H(3, ) {z } I( ; 3 ) H(3 ) H(3 ) H(3 ) H(3, ) H(3 ) H(3 ) I( ; 3 ) Aufgabe % Ein Sender sendet Signale x[k] X u ber einen Kanal, wobei k den eitindex darstellt. Das Signal X ist mittelwertsfrei und hat die mittlere Leistung P. Nehmen Sie an, dass die gesendeten Signale voneinander stochastisch unabh angig sind. Die Kanalimpulsantwort ist wie folgt gegeben: h[l] δ[l] + δ[l ] + δ[l ]. Nehmen Sie außerdem einen AWGN-Kanal mit der Rausch-Verteilung n N (, ) am Empf anger an. 6/ Fortsetzung der Aufgabe...

7 6%. Bestimmen Sie hdes und H int mit dem Empfangssignal hdes x[k] + H int xint [k] + n[k] {z } {z } {z} y[k] gew unschte Signal und y[k] y[k] y[k + ] y[k + ] Interferenzsignal () Rauschen n[k] n[k] n[k + ]. n[k + ] x[k ] xint [k] x[k + ] Hinweis: Wenn Sie diesen Aufgabenteil nicht l osen k onnen, verwenden Sie zur Bearbeitung der anschließenden Aufgabenteile die folgenden Werte: H int 8. hdes 8 hdes H int. 6%. Gegeben sei das Empfangsfilter (ero-forcing Filter oder Matched-Filter) u c c. c3 Bestimmen Sie die reellen Koeffizienten c, c und c3 so, dass das Empfangsfilter u f ur sehr große Sendeleistung P geeignet ist. Bestimmen Sie den Koeffizienten so, dass die gew unschte Signalleistung P betr agt. F ur sehr große Sendeleistung: ero-forcing Filter: ut H int. c + c 8 c3 c + c3 8 ut hdes c Die alternative L osung: c 6%.3 Bestimmen Sie ein Empfangsfilter (ero-forcing Filter oder Matched-Filter), das f ur sehr kleine Sendeleistung P geeignet ist. F ur sehr kleine Sendeleistung: Matched Filter: u hhdes. des u 7/ Fortsetzung der Aufgabe...

8 %. Gegeben ist ein optimales Filter w. Berechnen Sie f ur u aw das SINR (Signal zu Interferenz-Rausch-Verh altnis). Welchen Einfluss hat a auf das SINR? ut hdes htdes up SINR T u H int H Tint up + ut u a wt hdes htdes wp T a w H int H Tint wp + a wt w wt hdes htdes wp T w H int H Tint wp + wt w Der Faktor a hat keinen Einfluss auf das SINR. 8/ Fortsetzung der Aufgabe...