Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik. SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierungstechnik am

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1 Technische Universität Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik SCHRIFTLICHE PRÜFUNG zur VU Automatisierungstechnik am.. Arbeitszeit: min Name: Vorname(n): Matrikelnummer: Note: Aufgabe 3 4 erreichbare Punkte erreichte Punkte Bitte tragen Sie Name, Vorname und Matrikelnummer auf dem Deckblatt ein,... rechnen Sie die Aufgaben auf separaten Blättern, nicht auf dem Angabeblatt,... beginnen Sie für eine neue Aufgabe immer auch eine neue Seite,... geben Sie auf jedem Blatt den Namen sowie die Matrikelnummer an,... begründen Sie Ihre Antworten ausführlich und... kreuzen Sie hier an, an welchem der folgenden Termine Sie nicht zur mündlichen Prüfung antreten können: Fr., 8.. Mo.,.. Viel Erfolg!

2 . Abbildung zeigt die Operationsverstärkerschaltung eines Integrators mit Differenzbildung. Beachten Sie, dass die Kapazität C der Kondensatoren eine Funktion der Spannung ist, wobei gilt: C(u C )=C + C u C, C,C >. Der Operationsverstärker sei ideal (unendliche Verstärkung, keine Input-Bias Ströme, keine Offset Spannungen). Die Eingänge des Systems sind die Spannungen u e und u e, der Ausgang die Spannung u a. C(u C ) R u C R u e u e u C C(u C ) u a Abbildung : Integrator mit Differenzbildung. a) Wählen Sie für die in Abbildung dargestellte Schaltung geeignete Zustands- 4 P. größen x und bestimmen Sie das zugehörige mathematische Modell der Form ẋ = f(x, u) y = g(x, u). b) Bestimmen Sie alle Ruhelagen des Systems für u e = u e =. Linearisieren Sie 3 P. das System um die Ruhelage u e = u e = bei ungeladenen Kondensatoren und schreiben Sie es in der Form Δẋ = AΔx + BΔu Δy = c T Δx an. c) Ist das linearisierte System vollständig erreichbar? P. d) Berechnen Sie die Teilübertragungsfunktionen ûa(s) ûa(s) û e und (s) û e des linearisierten P. (s) Systems.

3 . In Abbildung 3 ist die Impulsantwort eines zeitdiskreten Systems gegeben. Dieses setzt sich aus zwei aufeinanderfolgenden Teilsystemen G und G zusammen, wobei die Impulsantwort des Systems G bekannt ist: g [k] =δ[k]+4δ[k ] + 5δ[k ] (u k ) (y k ) G G Abbildung : Teilsysteme G und G. (yk) Abbildung 3: Impulsantwort des Gesamtsystems. k a) Bestimmen Sie die z-übertragungsfunktion des Gesamtsystems. Geben Sie wei- 4 P. ters die Impulsantwort des unbekannten Teilsystems G im Zeitbereich an. b) Ist das Gesamtsystem BIBO-stabil? Können Sie dies direkt anhand der Impul- P. santwort von Abbildung 3 feststellen? Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich. c) Bestimmen sie mit Hilfe der z-übertragungsfunktion die eingeschwungene Lö- 3 P. sung zur Eingangsfolge (u k )= cos ( π 4 kt a + π 8 mit der Konstanten T a =. Hinweis: Falls Sie die Teilaufgabe (a) nicht lösen können, so verwenden Sie zur Berechnung der eingeschwungenen Lösung die z-übertragungsfunktion G(z) = (z +4z +) (z 3 z ). ) 3

4 3. Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben und begründen Sie Ihre Aussagen ausführlich. Hinweis: Alle Teilaufgaben (a,b,c,d,e) können unabhängig voneinander gelöst werden. a) Überprüfen Sie mit Hilfe des PBH-Eigenvektortests, ob das folgende lineare, 3.5 P. zeitinvariante Abtastsystem 4 x k+ = 6 3 x k + u k 3 y k = [ ] x k vollständig beobachtbar ist. b) Entwerfen Sie für das System 3.5 P. [ ] [ ] x k+ = 4 x k + u k 8 y k = [ ] x k einen vollständigen Luenberger-Beobachter mit Hilfe der Formel von Ackermann und legen Sie die Eigenwerte der Fehlerdynamikmatrix auf λ =,λ =. c) Zeigen Sie, dass die Eigenschaft der vollständigen Beobachtbarkeit eines linea- P. ren zeitinvarianten Systems invariant gegenüber regulären Zustandstransformationen der Form x = Vz ist. d) Welche Eigenschaften muss eine Übertragungsfunktion aufweisen, damit man P. sie phasenminimal nennt? Bestimmen Sie jenen Wertebereich der Parameter k und h, sodass die Strecke G(s) = s + k 3 s + h + phasenminimal ist. e) Überprüfen Sie die Strecke P. G(s) = auf Sprungfähigkeit und Realisierbarkeit. s(s ) s +s + 4

5 4. Bearbeiten Sie folgende Teilaufgaben und begründen Sie Ihre Aussagen ausführlich. Hinweis: Alle Teilaufgaben (a,b,c) können unabhängig voneinander gelöst werden. a) Gegeben ist die Strecke 3 P. G(s) = s + (s +)(s ). Skizzieren Sie das Bode-Diagramm der Streckenübertragungsfunktion anhand der Asymptoten. Verwenden Sie dafür die beiliegende Vorlage. Hinweis: log () 6 b) Der Regler und die Strecke G(s) = R(s) = s s s + s +3s werden in einem einfachen Regelkreis nach Abbildung 4 verwendet. r e - R(s) d u G(s) y Abbildung 4: Regelkreis. i. Ist die Führungsübertragungsfunktion T r,y des geschlossenen Regelkreises.5 P. BIBO-stabil? ii. Ist der geschlossene Regelkreis intern stabil?.5 P. c) Berechnen Sie die Transitionsmatrix Φ(t) des Systems 3 P. ẋ(t) = mit Hilfe der Laplace-Transformation. [ ] x(t) 4 5

6 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (db) 6