L [u(at)] (s) = 1 ( s a. u(at)e st dt r=at = u(r)e s a r dr = 1 ( s a. u(t) = ah(t) sin(kω 0 t)

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1 Übung 9 /Grundgebiete der Elektrotechnik 3 WS7/8 Laplace-Transformation Dr. Alexander Schaum, Lehrstuhl für vernetzte elektronische Systeme Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Im Folgenden wird die Laplace-Transformation betrachtet: Us = L [ut] s = ut = L [Us] t = πj ute st, σ+j σ j a Use st ds, t. b Aufgabe Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften gelten: a Ähnlichkeitssatz: b Dämpfungssatz: L [uat] s = s a L[ut] = s a a U. a L [ ute at] s = L[ut] s + a = U s + a. Lösung: a Per Definition der Laplace-Transformation gilt L [uat] s = = a uate st r=at = ure s r a a dr ure s a r dr = s a L[ut]. a b Einsetzen des Ausdrucks in das Laplace-Integral liefert L [ ute at] s = ute at e st = ute s+at = L[ut]s + a. Aufgabe Im Folgenden stellt ht die Heaviside-Sprungfunktion dar. a Zeigen Sie, dass die Laplace-Transformierte der Funktion gegeben ist durch ut = ht sinω t Us = ω s + ω. b Bestimmen Sie mittels des Ähnlichkeitssatzes Aufgabe, a die Laplace-Transformierte der Funktion mit Konstanten a R und k N. ut = aht sinkω t

2 c Bestimmen Sie mit Hilfe des Dämpfungssatzes die Laplace-Transformierte der Funktion ut = hte at cosω t + sinω t, < a R. Lösung: a Nach der Eulerschen Darstellung komplexer Zahlen gilt vgl. Vorlesung zu GET-3 Es folgt, dass L [ht sinω t] s = sinω t = j sinω te st e jω t e jω t. = e jω t e jω t e st j = e s jωt e s+jω t j = e s jωt + j s jω = j s jω s + jω = jω js + ω = ω s + ω. t= e s+jω t s + jω Alternativ kann dieser Zusammenhang auch mittels der Kenntnis der Transformierten von e at erfolgen. Es gilt vgl. Vorlesung vom 6. oder PDF-Dokument zur Fourier-Transformation und Laplace-Transformation Somit gilt b Gemäß dem Ähnlichkeitssatz gilt L [ e at] s = s + a. L [ht sinω t] s = e jω t e jω t e st j = [ L e jω t ] s L [ e jω t ] s j = j s jω t s + jω t = ω s + ω. L [aht sinkω t] s = L [aht sinω kt] s = a s k L[sinω t] k = a k s k ω + ω kω = a s + kω. t=

3 Dieses Ergebnis ist intuitiv klar, da man alternativ auch ohne Verwendung des Ähnlichkeitssatzes wie folgt argumentieren kann: L [aht sinkω t] s ω k=kω = L [aht sinωk t] s = a s + ωk ω k kω = a s + kω. c Zunächst erhält man aufgrund der Linearität der Laplace-Transformation L [ hte at cosω t + sinω t ] s = L [ e at cosω t ] s + L [ e at sinω t ] s. Unter Verwendung des Dämpfungssatzes folgt direkt L [ e at cosω t ] s + a s + a s = L[cosω t]s + a = s + a + ω = s + as + a + ω L [ e at sinω t ] s = L[sinω t]s + a = s + a + ω = s + as + a + ω Somit erhält man ω ω L [ hte at cosω t + sinω t ] s = s + a + ω s + as + a + ω. Aufgabe 3 Man betrachte die folgende Parallelschaltung eines Widerstands R mit einer Spule mit Induktivität L, sowie einem Kondensator mit Kapazität C. Zum Zeitpunkt t = sei der Schalter geschlossen und der Strom durch die Spule betrage i L = i L, sowie die Spannung am Kondensator u C = u C. Zum Zeitpunkt t = wird der Schalter geöffnet. i q t R L C Die Differentialgleichung, welche das zeitliche Verhalten des Stroms durch die Spule beschreibt ist gegeben durch vgl. Übung 9, Aufgabe a mit î q =. d i L t + di L t RC i L = i L di L = L u C. + i Lt = a Transformieren Sie die Differentialgleichung unter Ausnutzung des Differentiationssatzes für die Laplace-Transformation in den Bildbereich. b Lösen Sie die entstehende algebraische Gleichung im Bildbereich für die Laplace-Transformierte I L s = L [i L t] s. c Bestimmen Sie für den Fall, dass 4R C > L die Frequenz des Schwingkreises. 3

4 d Transformieren Sie für den Fall 4R C > L und unter Ausnutzung des Ähnlichkeitssatzes die Lösung I L s im Bildbereich direkt zurück in den Zeitbereich, d.h. ohne das Faltungsintegral auszurechnen. Verwenden Sie hierzu insbesondere die Ergebnisse aus Aufgabe c. e Überprüfen Sie ihr Ergebnis mit der Lösung für î q = aus Aufgabe, Übung 9. Lösung: a Mittels dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation erhält man s I L s si L L u C + RC si Ls i L + I Ls =. Bringt man die Anfangsbedingungen auf die rechte Seite dieser Gleichung erhält man s + RC s + I L s = s + i L + RC L u C. b Die Lösung im Bildbereich ist gegeben durch I L s = s + RC il + L u C s + RC s +. c Der Ausdruck im Nenner der Lösung entspricht der charakteristischen Gleichung, welcher zu der Differentialgleichung assoziiert ist. Die Lösungen dieser Gleichung lauten s, = RC ± 4R C und sind konjugiert komplex für den angegebenen Fall, dass 4R C > L. Somit können sie geschrieben werden als s, = σ ± jω, σ = RC, ω = 4R C, wobei ω die gesuchte Frequenz des Schwingkreises darstellt. d Die obige Lösung I L s kann in die Summe zweier gebrochen rationaler Funktionen zerlegt werden: + RC i L + L u C s I L s = i L s + RC s + s + RC s +. Um den Zusammenhang mit Aufgabe,c herzustellen muss der Nenner mittels σ und ω ausgedrückt werden. Dies geschieht wie folgt : s + RC s + = s + RC s + = s + RC s + 4R C + RC = s σs + ω + σ = s σ + ω. Alternativ kann direkt aus der Kenntnis der Äquivalenz mit dem charakteristischen Polynom geschrieben, der Nenner in Linearfaktoren zerlegt werden, d.h. s σ jωs σ + jω = s σ + ω 4

5 Somit liegt der Nenner in der Form aus Aufgabe,c vor mit a = σ. Um den Ähnlichkeitssatz wie in dieser Teilaufgabe anwenden zu können müssen noch die Zähler angepasst werden. Hierzu wird der erste Zähler umgeschrieben gemäß s s + RC s + = s σ s σ + ω + σ s σ + ω und der letzte Teil dieses Ausdrucks mit dem zweiten Anteil der obigen Lösung für I L s verrechnet. Es folgt s σ I L s = i L s σ + ω + σ ω ω s σ + ω + i L + }{{} RC L u ω C ω s σ + ω = σ s σ = i L s σ + ω + σ ω i L + ωl u C + σ ω i L s σ = i L s σ + ω + ωl u C σ ω i ω L s σ + ω = i L L [ e σt cosωt ] s + ωl u C σ ω i L ω s σ + ω L [ e σt sinωt ] s. Somit gilt für die Rücktransformation mittels der inversen Laplace-Transformation i L t = e i σt L cosωt + ωl u C σ ω i L sinωt. e Ein Vergleich mit der allgemeinen Lösung aus Aufgabe, Übung 9 für î q = bestätigt das Ergebnis. Aufgabe 4 Betrachten Sie das nachfolgende Netzwerk, bestehend aus einer Spannungsquelle mit zeitlichem Verlauf u q t, einem Zweitor mit einem Widerstand R in Reihe mit einer Spule der Induktivität L, sowie einem Lastwiderstand R. u q t R L R Der Verlauf der Quellspannung sei gegeben durch u q t = û ht ht δ, und der Strom, welcher zum Zeitpunkt t = durch die Spule fließt betrage i L = i L. a Bestimmen Sie die Gleichung, welche die Abhängigkeit des Stroms i R t durch den Lastwiderstand R in Abhängigkeit des Stroms i L t durch die Spule beschreibt. b Leiten Sie die Differentialgleichung für den Strom i L t durch die Spule her. c Geben Sie die charakteristische Zeitkonstante für den Ausgleichsprozess an. 5

6 d Transformieren Sie die Differentialgleichung in den Bildbereich der Laplace-Transformation. e Bestimmen Sie die Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich. f Berechnen Sie den Strom durch den Lastwiderstand R über dem Intervall t, δ, sowie die momentane Verlustleistung, welche an dem Widerstand in Wärme umgesetzt wird. Lösung: a Für die Spannungen und Ströme im Netzwerk gelten folgende Zusammenhänge Kirchhoffsche Regeln: u q t u L t u R t = u R t u L t = Weiterhin gilt für die Einzelbauteile, dass i R t i L t i R t =. u L t = L di Lt, u R t = R i R t, u R t = R i R t. Es folgt somit für die Spannung am Lastwiderstand und daher für den Strom durch diesen u R t = u L t = L di Lt i R t = u R t R = L di L t. R b Aus den obigen Zusammenhängen für die Ströme und Spannungen im Netzwerk folgt = u q t L di Lt = u q t L di Lt = u q t L di Lt R i R t R i L t + i R t R i L t + L di L t. R Somit erhält man foldende Differentialgleichung für den Spulenstrom i L t oder R L + dil t + R i L t = u q t R R di L t + R R LR + R i Lt = R LR + R u qt c Die charakteristische Zeitkonstante für den Ausgleichsprozess lautet somit durch gegeben. = LR + R R R 6

7 d Unter Ausnutzung der Linearität und des Differentiationssatzes für die Laplace-Transformation ergibt sich, dass die Differentialgleichung im Bildbereich der algebraischen Gleichung entspricht. Hierbei gilt, dass si L s i L + I Ls = R U qs U q s = û e sδ. s e Die Lösung für I L s im Bildbereich ist gegeben durch I L s = s + i L + R U qs = s + i L + û R s e sδ. Die Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt somit [ ] [ i L t = i L L s + t + û R L s s + e sδ] t. Hierbei gilt [ ] L s + t = hte t/. Des Weiteren erhält man mittels Partialbruchzerlegung s s + = A s + B s + = A s + + Bs s s + was genau dann gilt, wenn A und B so gewählt werden, dass Dies ist erfüllt für A + Bs + A =. A =, B =, d.h. es gilt s s + = s s +. Aufgrund der Linearität der inversen Laplace-Transformation, sowie dem Verschiebungssatz erhält man somit [ L s s + e sδ] [ ] [ ] t = L t L s s + t + [ ] [ ] s L e sδ t L s + e sδ t = ht e t/ ht δ e t δ/. 7

8 Zusammenfassend erhält man somit für den zeitlichen Verlauf des Spulenstroms i L t i L t = i L e t/ ht + û ht e t/ û ht δ e t δ/. R R f Aus der Lösung i L t folgt für den Strom über dem angegebenen Intervall i L t = i L e t/ ht + û R e t/, t, δ. Nach Aufgabe a gilt somit für den Strom durch den Widerstand R i R t = L di L t R = L R i L û R e t/. Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass der Strom in den Sprungzeitpunkten kurzzeitig d.h., über einem infinitesimalen Zeitintervall unendlich groß ist. Die momentane Leistung am Widerstand R beträgt somit p R t = R i L R t = R R i L û e t/ R R = R R + R i L û e t/ R wobei im letzten Schritt der Wert für die charakteristische Zeitkonstante aus der Teilaufgabe c eingesetzt wurde. Mathematisch wird dies mit Hilfe der δ-distribution δt ausgedrückt, für welche gilt, dass δt = {, t, t =, δt =. 8