Die Zahl e, Differentiale und e-funktionen

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1 Dieter Holzhäuser Überarbeitung: Die Zahl e, Differentiale und e-funktionen Was bedeutet die berühmte Zahl e und warum kommt sie bei vielen physikalischen und technischen Vorgängen vor? Wie oft der Durchmesser in den Umfang eines Kreises passt, wird durch die Zahl π (pi) angegeben. Was aber die Zahl e bedeutet, ist nicht so einfach zu sagen. In der Praxis verbirgt sich die Zahl e (Eulersche Zahl) meistens in e-funktionen. Üblicherweise wird ein Problem als gelöst betrachtet, wenn man die Funktion, nach der ein Vorgang abläuft, mit Hilfe von Differentialquotienten und der Infinitesimalrechnung gefunden hat. Auch wenn diese Funktion eine e-funktion ist, erfährt man dabei kaum etwas über das Wesen der Zahl e. Das Kapitalwachstum ist eine Ausnahme. Es öffnet den Blick und gibt die Möglichkeit, die Verwendung von Differentialen an vergleichbaren Beispielen zu zeigen. Vom Zinseszins zur Zahl e Betrachten wir zunächst das Wachstum von Kapital an einem Beispiel: Ein Kapital a, das mit jährlich 5% verzinst wird, hat sich nach 20 Jahren verdoppelt, wenn die Zinsen in einer Zahlung am Ende der Laufzeit zugeschlagen werden. Die Zahlung der Zinsen kann in beliebigen Zeitintervallen erfolgen, auch wenn der Zinsfuß sich auf ein Jahr bezieht. Werden die Zinsen in 2 Zahlungen zugeschlagen, wird das aktuell vorhandene Kapital um die Hälfte größer. Der Faktor ist,5 oder (+/2). Und dieser Faktor gilt sowohl in der ersten Hälfte des Zeitraums als auch in der zweiten. Für den ganzen Zeitraum ist der Faktor dann (+ 2 ) (+ 2 )=(+ 2 2 ) Bei n Zahlungen ist der Faktor (+ n n ). Würde jährlich eine Zinszahlung erfolgen, was die übliche Praxis ist, würde das Kapital nach 20 Jahren a=a 0 ( ) =a 0 ( ) =a 0 2,65.. betragen. Da der Zinsfuß (5%) in der Formel auftaucht, gilt für einen Zinsfuß p und n Jahre a=a 0 (+ p n 00 ), und das ist die bekannte Zinseszinsformel. Sind beispielsweise 000 Zinszahlungen in 20 Jahren vorgesehen, ergibt sich ein Kapital von a=a 0 ( ) =a 0 2,76... Der Faktor, mit dem das Kapital wächst, nähert sich mit zunehmender Anzahl Zinszahlungen einem Grenzwert, der erst bei unendlich vielen Zahlungen erreicht wird. Dieser Grenzwert ist die Eulersche Zahl e = 2, Als irrationale Zahl hat sie unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.

2 Die bekannteste mathematische Formel für e lautet: e=lim (+ n n n ) Grenzwerte werden durch den Ausdruck lim (limes) bezeichnet, da man n in der Formel nicht einfach durch das Zeichen für Unendlich ersetzen darf. Das Kapitalwachstum als e-funktion Bleiben wir beim kontinuierlichen (praktisch aber unmöglichen) Wachstum des Kapitals. Ein Kapital a 0 wächst in 20 Jahren um den Faktor e, in 40 Jahren um den Faktor e² und in 0 Jahren um den Faktor e 0,5. Dieser Vorgang wird durch die Funktion a=a 0 e x beschrieben. Der Exponent x ist die zeitabhängige Anzahl der Ver-e-fachungen. Nicht das Kapital a, sondern die reelle Zahl der Multiplikationen mit e ist der Zeit proportional. Größen die zeitabhängig sind, werden zweckmäßig als Produkt K t geschrieben, also x=k t Die Konstante K ist die Anzahl der Multiplikationen mit e in der Zeiteinheit, und t ist die Anzahl der Zeiteinheiten. Ganz analog ist der bei gleichförmiger Bewegung zurückgelegte Weg s das Produkt von zurückgelegtem Weg in der Zeiteinheit und der Anzahl der Zeiteinheiten, wodurch die bekannte Formel entsteht: Weg s = Geschwindigkeit v * Zeit t Die e-funktion des Kapitalwachstums lautet also: a=a 0 e K t Um e-funktionen einfach logarithmieren zu können, gibt es den Logarithmus zur Basis e (natürlicher Logarithmus ln): ln (e x )=x ln e=x oder e ln x = x Bei unserem Beispiel ist nach 20 Jahren x=k t= Mit t=20[a] ist K = 20 [ a ] Die Konstante K erweist sich als der Zinsfuß von 5%. Der Faktor des jährlichen Wachstums ist e K =e 20 =, also 5,27%. a[ Kapital] a[ Kapital] e=2,78.. a= e 0,05 t a= e 0,05 t e =0,367.. t [ Jahr] t [ Jahr] Die Grafik oben links zeigt den Funktionsgraphen für einen Zinsfuß von 5% und ein Anfangskapital, was gleichbedeutend ist mit dem Faktor, mit dem sich ein bestimmtes 2

3 Anfangskapital in einer bestimmten Zeit vermehrt hat. Für 20 Jahre ist dieser Faktor gleich e. Die e-funktion gilt auch für ein Kapital nach dem Beispiel zuvor, von dem kontinuierlich kleinste Beträge weggenommen werden, die also auf ein Jahr bezogen 5% betragen. Das Kapital des Beispiels wäre nach 20 Jahren auf den e-ten Teil zusammengeschmolzen, wie die Grafik oben rechts zeigt. Mathematisch bedeutet das einen negativen Exponenten von e, also K = 20 [a ] Fazit: Die praktische Bedeutung der Zahl e liegt darin, dass sie als Basis in Exponentialfunktionen auftritt, durch die Wachstums- und Schrumpfungsprozesse der realen Welt beschrieben werden. Warum verläuft ein Vorgang nach einer e-funktion? Oder, was haben Vorgänge, die nach einer e-funktion verlaufen, gemeinsam? Diese Fragen muss man einfach stellen, wenn man dem Wesen der Zahl e nachspürt. Die Antwort liegt bei den winzig kleinen Zinsbeträgen, die das aktuell vorhandene Kapital vermehren. Es wächst in einem mikroskopisch kleinen Zeitintervall Δt um einen ebenso mikroskopisch kleinen Betrag Δa. Mit dem Zeichen Δ (delta) wird die Veränderung bezeichnet, z.b. Δ a=a nachher a vorher Makroskopisch wächst das Kapital nur deshalb nach einer e-funktion, weil sich viele dieser mikroskopisch kleinen und doch unterschiedlich hohen Beträge summieren. Handelt es aber nur um einem solchen mikroskopischen Vorgang, dann gilt für ihn die ganz normale Zinsformel Δ a=a K Δ t. Der Zinsbetrag ist Δ a, a entspricht dem momentan vorhandenen Kapital und K dem Zinsfuß. Man erkennt, dass der mikroskopische Zuwachs der momentan vorhandenen Menge mit dem Faktor K proportional ist. Und das ist die Eigenschaft, die dazu führt, dass Vorgänge nach einer e-funktion verlaufen. Fazit: Wachstums- und Schrumpfungsvorgänge lassen sich dann mit einer e-funktion beschreiben, wenn die mikroskopisch kleinen Beträge, um die sich die aktuelle Menge in entsprechend kleinen Intervallen verändert, dieser Menge proportional sind. Differentiale Obwohl die Differenzen Δ a und Δ t schon mikroskopisch klein sind, man kann sie immer noch kleiner machen. Das geht erst dann nicht mehr, wenn man festlegt, dass sie kleiner sein sollen als jede noch so kleine absolute Zahl, aber nicht Null. Größen mit diesen Eigenschaften werden als Differentiale bezeichnet und das Rechnen mit ihnen ist die Infinitesimalrechnung. Das Zeichen Δ wird durch das Zeichen d ersetzt, z.b. da oder dt. Das mikroskopische Geschehen beim Kapitalwachstum wird nun durch die Formel da=a K dt beschrieben, die für jeden Punkt des Wachstumsverlaufs gilt. Das heißt, dass diese Formel genauso wie a=a 0 e K t den Verlauf des ganzen Vorgangs ausdrückt. Allerdings nur fast. Das Anfangskapital a 0 kommt in da=a K dt nicht vor, weshalb diese Formel für jedes Anfangskapital gilt, das heißt für alle Graphen, die dem Graphen im Diagramm oben in y-richtung parallel sind. Die Formel da=a K dt hat die Merkmale, um sie eine Differentialgleichung nennen zu können. Unter dieser Begrifflichkeit ist a=a 0 e K t die Lösungsfunktion, was darauf hin deutet, dass die Mathematik einen Weg kennt, aus der Differentialgleichung die Lösungsfunktion zu ermitteln. Dieser Weg heißt Integrieren. Auch den umgekehrten gibt es. Es ist das Differenzieren, das hier aber keine Bedeutung hat. 3

4 Gibt es die Differentiale wirklich? Ja, es gibt diese schwer zu begreifenden Gebilde. Man stelle sich eine Tangente z.b. an den Graphen vor, der das kontinuierliche Kapitalwachstum beschreibt. Die Steigung der Tangente ist die makroskopische Entsprechung der Steigung, die der Graph im Berührungspunkt hat. Eine Steigung ist nicht ohne Steigungsdreieck denkbar. Im Berührungspunkt (und in jedem anderen Punkt) des Graphen muss sich daher ein unendlich kleines Steigungsdreieck befinden. Folglich sind auch dessen Katheten unendlich klein. Ihre Länge kann nicht durch eine reelle Zahl und auch nicht durch Null angegeben werden. Deshalb muss es dafür unendlich kleine Zahlen geben, und das sind die Differentiale wie z.b. da und dt Die Steigung des Graphen im Berührungspunkt ist eine reelle Zahl (wie die Steigung einer Straße) und entspricht dem Quotient zweier Differentiale, dem Differentialquotient da dt. Zwei unendlich kleine Zahlen stehen also für eine reelle Zahl. Letztlich ist es dieses Phänomen, das den Übergang zwischen der reellen und der differentiellen Welt und damit die Infinitesimalrechnung möglich macht. Integrieren von da=a K dt Der Zweck des Integrierens ist, die Differentiale zum Verschwinden zu bringen. Die Gleichung wird so umgestellt, dass die Werkzeuge der Integralrechnung auf beiden Seiten der Gleichung angewandt werden können: a da= K dt Ohne auf die Werkzeuge einzugehen, sieht die Lösung so aus: ln a= K t+c, wobei C die noch zu bestimmende Integrationskonstante ist. Zur Potenz von e erhoben ergibt sich: a=e C e K t Mit dem Anfangskapital a 0 zum Zeitpunkt t=0 entstehen: a 0 =e C und a=a 0 e K t Man sieht, dass es sich beim Integrieren um eine ganz formale Angelegenheit handelt, aus der kaum Erkenntnisse über das Wesen der Zahl e zu erhalten sind. Integrieren ist in Physik und Technik unverzichtbar, weil die Vorgänge meistens nur durch Differentialgleichungen zu beschreiben sind. Das Kapitalwachstum macht eine Ausnahme, weil es in der Praxis in Stufen vor sich geht, die einer einfachen Formel folgen, ganz anders als bei physikalisch technischen Vorgängen, die fast immer kontinuierlich sind. Das hindert aber nicht daran, sich ein infinitesimales Steigungsdreieck für einen solchen Vorgang vorzustellen. Das Problem ist schon fast gelöst, wenn es gelingt, den Differentialquotienten da zu formulieren, der sich z.b. beim dt Kapitalwachstum aus der einfachen Zinsformel ergeben hat. Differentialquotienten werden auch gebildet, nicht um zu integrieren, sondern um zweckmäßige Einsetzungen vornehmen zu können. Bei den Beispielen Kondensator und Induktivität wird davon Gebrauch gemacht. Jedes der folgenden Beispiele führt zu einer Differentialgleichung in der Form da=a K dt. Integrieren ist nicht erforderlich, da die Lösungsfunktion a=a 0 e K t bekannt ist. Der Reiz der Beispiele liegt vielmehr darin, den Faktor K zu bestimmen. 4

5 Kondensator Der Strom, der beim Umschalten des Schalters S2 kurzzeitig fließt (siehe Schaltbild unten), ist das zu untersuchende Phänomen, denn eigentlich dürfte kein Strom fließen, da sich zwischen den Kondensatorplatten ein Isolator befindet. Der Kondensator wird durch diesen Strom geladen, wenn die Spannungsquelle U2 angeschaltet wird. Die andere Schalterstellung entlädt ihn, wobei sich die Stromrichtung umkehrt. gilt: du C = dq C Die Abhängigkeit des Stromes I von der Zeit t wird also gesucht. Der Ansatzpunkt dafür ist die Beziehung zwischen den Differentialen di und dt. Um sie zu finden, werden Differentiale anderer Größen, sie sich ebenfalls mit dem Strom ändern, benutzt. Mit einer differentiellen Stromänderung sind am Widerstand R die Spannungsänderung du R =R di und am Kondensator C die gleich große, aber entgegen gesetzte Spannungsänderung du C verbunden. Also gilt: R di = du C Die Formel für die Kapazität eines Kondensators lautet: C= Q U C (Die Kapazität gibt an, mit wie viel Ladung die Spannung von V den Kondensator laden kann.) Differentiell. Oben eingesetzt ergibt das: di = dq RC. Ladung und Strom sind über die Zeit verbunden. Differentiell bedeutet das: dq= I dt. Wiederum oben eingesetzt, ergibt sich di = I dt. Diese Differentialgleichung RC entspricht in ihrer Form der des Kapitalwachstums, wobei K = ist. Die RC Lösungsfunktion ist damit: I = I 0 e RC t I [ A] Laden Laden I = 0V 000Ω e Entladen 000 Ω 0 6 F t I = 0V 000Ω e 000 Ω 0 6 F t t [s] t [s] Die nebenstehende Grafik zeigt den Verlauf des Stromes über der Zeit bei der Schaltung oben. In der Praxis spielt K keine Rolle, wohl aber das Produkt RC = τ (tau), die Zeitkonstante. Sie beträgt 0,00 s. Das ist die Zeit, in der Strom auf den e-ten Teil, also etwa 3,6 ma, abgesunken ist. Praktisch ist der Lade- bzw. Entladevorgang nach 5τ beendet. Auch die Spannungen an den Bauteilen sind für die Praxis interessant, und zwar am Widerstand U R e RC t und am Kondensator U C ( e RC t ) 5

6 Induktivität An der Induktivität entsteht beim Umschalten des Schalters S eine Spannung, die nicht aus einem Ohmschen Spannungsabfall herrührt, da die Spule im Idealfall den Widerstand Null hat. Diese Spannung ist also das Phänomen, das zu untersuchen ist. In Anlehnung an den Kondensator kann man auch bei der Induktivität sagen, dass sie geladen wird, wenn man die Spannungsquelle U anschaltet. Nur handelt es sich dabei nicht um elektrische Ladung, sondern um magnetischen Fluss. An der Spule entsteht die Spannung, die sich umkehrt, wenn die Induktivität bei der anderen Schalterstellung entladen wird. Die Abhängigkeit der Spannung von der Zeit t ist also gesucht. Der Lösungsansatz dafür ist jetzt die Beziehung der Differentiale d und dt. Vergleichbar mit dem Kondensator gilt, dass eine differentielle Spannungsänderung an der Induktivität L eine gleich große, aber entgegengesetzte Spannungsänderung am Widerstand R zur Folge hat. Als Formel: d = di R Die Induktivität L einer Spule ist der magnetische Fluss Φ, den A des hindurch fließenden Stromes erzeugt, was die Formel L= Φ I ausdrückt, in differentieller Form: di = d Φ L Oben eingesetzt ergibt das d = d Φ L R Analog zur elektrischen Ladung sind magnetischer Fluss und angesammelte Spannung über die Zeit t verbunden. In differentieller Form lautet die Formel dafür: d Φ= dt R d Φ oben eingesetzt ergibt die Differentialgleichung d = dt, deren Form der des L Kapitalwachstums entspricht. Die Lösungsfunktion ist demzufolge e R L t und für K gilt: K = R L [V ] Laden =0V e 00 Ω 0.H t Die Grafik zeigt den Verlauf der Spannung in Abhängigkeit der Zeit t. Die Zeitkonstante ist τ = L / R = 0,00 s. In dieser Zeit ist beim Laden auf 0 V / e = 3,67 V abgesunken. Praktische Bedeutung hat auch der Verlauf der Spannung am Widerstand U R ( e R L t ) t [s] Entladen = 0V e 00 Ω 0.H t 6

7 Radioaktiver Zerfall Es ist offensichtlich, dass beim radioaktiven Zerfall in einem unendlich kleinen Zeitintervall dt der Verlust an Teilchen dn der vorhandenen Teilchenmenge n proportional ist. Daher gilt für den Vorgang, genauso wie für Schwinden von Kapital, die Gleichung dn= n K dt und integriert n=n 0 e Kt, wobei n 0 die ursprüngliche Menge an Teilchen ist. Der Zerfall ist durch nichts zu beeinflussen. Also gibt es keine Parameter. Die Gleichung wird deshalb dazu verwendet, aus den Daten eines Experiments die Konstante K zu bestimmen, die dann Zerfallskonstante λ (lambda) genannt wird. Sie ist für die jeweilige radioaktive Substanz typisch. Bei Jod 3 ist die Zerfallskonstante 0,00000 s, das heißt die Teilchenmenge vermindert sich in s auf den e-ten Teil. Die Zeit, in der sich die Menge auf die Hälfte verringert hat, wird Halbwertszeit T h genannt. Sie ist eine aussagekräftigere Variante der Zerfallskonstanten. Man erhält mit n 0 2 =n 0 e λt h und dann mit λ T h =ln 2 die Halbwertszeit T h =0,693/ λ Für Jod 3 ist T h = 0, s =693000s=8,02d, also etwa 8 Tage. Luftdruck und Höhe Bei einer Flüssigkeitssäule nimmt der Druck mit zunehmender Höhe linear ab, und zwar weil das spezifische Gewicht der Flüssigkeit γ konstant ist. Es gilt die einfache Beziehung p= γ h. Bei Gasen, also auch bei Luft, ist das spezifische Gewicht vom Druck abhängig. Es wird mit zunehmender Höhe kleiner. Diesen Verlauf kann man daher zunächst nur differentiell angegeben, und zwar so: dp= γ dh Bei konstanter Temperatur ist das Produkt aus Volumen V und Druck p eine Konstante (Boyle-Mariottesches Gesetz). Also gilt für eine Ausgangshöhe 0 und eine beliebige andere: V 0 = p V Weil Volumen und spezifisches Gewicht in umgekehrt proportionalem Zusammenhang stehen, gilt: γ = p γ 0 und umgestellt γ= p γ 0 Das spezifische Gewicht oben eingesetzt, ergibt die Differentialgleichung dp= p γ 0 dh in der bereits bekannten Form. Die Lösungsfunktion ist p= p0 e γ 0 h Die nach h umgestellte Formel, also zum Berechnen der Höhe, lautet: h= γ 0 ln p Das Beispiel zeigt, dass es nicht immer die Zeit ist, die als unabhängig Veränderliche im Exponent der e-funktion auftritt. 7