Exponentialfunktionen

Transkript

1 Herr Kluge Mathematik Year 10 Exponentialfunktionen Ziel: Ich erkenne ein exponentielles Wachstum und kann es von einem linearen Wachstum unterscheiden. Ich weiß, wie man eine Gleichung zum exponentiellem Wachstum aufstellen. Gliederung: 1. Beenden des Themas trigonometrische Funktionen (Modellieren von trigonometrischen Prozessen) 2. Einstieg in das Thema der Exponentialfunktionen 3. Unterscheidung von linearem und exponentiellem Wachstum 4. Erste Übungen 5. Systematisches Lösen von Fragestellungen

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3 Abfrage:

4 Einstieg in das Thema Die Blaualge Die Erscheinungsform ist überwiegend flächig, kann aber auch knäuelig sein. Die Farbe kann schwankt zwischen dunkelgrün, schwarzlila, schwarzblau, abgestorbene Blaualgen können schwarze Beläge (Schmieralgen) bilden.

5 Hypothese des Wachstums: Anzahl der Algen zum Beginn: 50 Nach einer Stunde Zeitpunkt t t 1 Anzahl der Algen 50 Anzahl anders dargestellt Darstellung als Funktion Funktionsgleichung für den Verlauf: Definition: Eine Funktion mit der Gleichung y=b a x (mit a > 0, a 1) heißt Exponentialfunktion. Dabei ist a die Basis und b der Anfangswert.

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8 Essentials zum Thema 1. Unterscheidung von anderen Wachstumsprozessen (S. 64) 2. Wachstum und Zerfall Unterscheidung (S. 65) 3. Bestand durch eine Formel bestimmen (S. 67) 4. Wachstumsfaktor bestimmen, wenn zwei Bestände bekannt sind. (S. 66) 5. Zinseszinsformel und Anwendung (S. 67) 6. Aufbau und Eigenschaften einer exponentiellen Funktion (S. 69) 7. Graph und Funktionsgleichung in beide Richtungen bestimmen können (S. 71) 8. Funktionsgleichungen bestimmen, wenn zwei Punkte gegeben sind (S. 70) 9. Halbwertszeit und Verdopplungszeiten bestimmen (S. 70) 10. Bestimmung von Unbekannten (S. 72) 11. Modellierung von exponentiellen Prozessen (S )

9 Vergleich zwischen einem linearem Wachstum und einem exponentiellem Wachstum Eine Bewegung mit der Geschwindigkeit 10 km/h beginnt bei Kilometerstand 5. Pro Stunde wächst der Funktionswert um den konstanten Wert 10. f(0)= f(1)= Eine Bakterienkultur mit anfänglich 100 Bakterien wächst stündlich um 50 %. Pro Stunde wächst der Funktionswert mit einem konstanten Faktor 1,5. g(0)= g(1)= Wie kann man das Wachstum also unterscheiden? Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum: (konstanter Zuwachs) (Konstanter Wachstumfaktor) d= a= Umformulierung der Aufgabe bei exponentieller Abnahme:

10 Beispiele für 1.,3., 4., 8. und 10.

11 Essentials zum Thema 1. Unterscheidung von anderen Wachstumsprozessen (S. 64) 2. Wachstum und Zerfall Unterscheidung (S. 65) 3. Bestand durch eine Formel bestimmen (S. 67) 4. Wachstumsfaktor bestimmen, wenn zwei Bestände bekannt sind. (S. 66) 5. Zinseszinsformel und Anwendung (S. 67) K(t)=K(0)*(1+p/n) n*t 6. Aufbau und Eigenschaften einer exponentiellen Funktion (S. 69) 7. Graph und Funktionsgleichung in beide Richtungen bestimmen können (S. 71) 8. Funktionsgleichungen bestimmen, wenn zwei Punkte gegeben sind (S. 70) 9. Halbwertszeit und Verdopplungszeiten bestimmen (S. 70) 10. Bestimmung von Unbekannten (S. 72) >Bsp. Blaualge (Notebook 13): 11. Modellierung von exponentiellen Prozessen (S ) Bsp.: Zerfall von Bierschaum Folgende Werte wurden bei einem 15 cm hohen Zylinder gemessen: zu 9.:

12 11. Modellierung von exponentiellen Prozessen (S ) Bsp.: Zerfall von Bierschaum Folgende Werte wurden bei einem 15 cm hohen Zylinder gemessen: t in min h in cm 15 10,0 6,0 4,0 2,5 1,6 1,0 Lässt sich dieser Zerfall exponentiell modellieren?

13 Übungen Buch Seite 66, Nr. 2, 3 und 6 67, Nr. 8, 9 und 13 68, Nr. 15, 16 71, Nr. 6, 7, 8 und 9 72 Nr. 12 und 16 74, Nr. 2 75, Nr. 4, 5