Exponentielles Wachstum:

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1 Exponentielles Wachstum: Bsp.: Ein Wald hat zum Zeitpunkt t = 0 einen Holzbestand von N 0 = N(0) = m 3. Nach 0 Jahren ist der Holzbestand auf m 3 angewachsen. a) Nimm an, dass die Zunahme des Holzbestandes proportional zur vorhandenen Holzmenge ist, ermittle die entsprechende Differentialgleichung und löse sie! b) Gib eine Wachstumsfunktion an, zeichne ihren Graphen für 0 t 80 und beantworte: Wie viel m 3 sind nach 50 Jahren vorhanden? Wann überschreitet der Holzbestand m 3? In welchem Zeitraum verdoppelt sich der Holzbestand? Lösung: a) ohne Voyage: Differentialgleichung: Variablen trennen: integrieren: N(t) explizit ausdrücken: Lösung: a+b) mit Voyage: N (t) = k N(t) mit N (t) = dn dt dn = k dt N(t) dn = k dt N(t) N(t) = e N(t) = e k t + c k t N 0 e c k t mit e c = N0, k Proportionalitätsfaktor ln N(t) = k t + c (t) = N e exponentielles Wachstum Antworten: N(t) = e t In 50 Jahren sind ca m 3 Holz vorhanden. Nach ca.8,2 Jahren sind mehr als m 3 Holz vorhanden. Der Holzbestand verdoppelt sich in ca. 3 Jahren. oder N(t) = ,25 0, t = N(t) = ,02257 t Voyage 200: Differentialgleichungen Seite

2 Bsp.2: Das Bevölkerungswachstum (Zunahme der Bevölkerung) ist proportional zur jeweiligen Bevölkerung, d.h. es gilt (annähernd): B (t) = k B(t). a) Löse die Differentialgleichung allgemein! b) Im Jahre 990 gab es ca. 5,3 Mrd.Menschen, 7 Jahre später bereits 5,8 Mrd. Nimm 990 als Zeitpunkt t=0 an und ermittle eine Wachstumsfunktion. c) Angenommen, das Wachstum bliebe gleich: Wie viele Menschen werden 200 bzw auf der Erde leben? Wann leben mehr als 0 Mrd. Menschen auf der Erde? In welcher Zeitspanne verdoppelt sich die Bevölkerung? Wann wurde die Milliardengrenze überschritten? d) Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit in den Jahren 990 und 200? Lösungen: b) B(t)=5,3 e 0, t oder B(t)=5,3,0296 t c)6,86mrd. bzw.8,87mrd. ; ca.54 J. ; zwischen 860 und 86 d) Wachstumsgeschwindigkeit =.Ableitung B (t): 0,068 Mrd./Jahr= 68 Mio./Jahr bzw. 88 Mio./Jahr Bsp.3: Beim radioaktiven Zerfall einer Substanz zerfällt in gleich langen Zeitintervallen immer derselbe Bruchteil der gerade vorhandenen Atome. Sei N(t) die Anzahl der Atome zum Zeitpunkt t, so gilt für die Abnahme (Änderung) zum Zeitpunkt t: N (t) = - λ N(t). a) Löse die Differentialgleichung allgemein! (auch OHNE Voyage, erkläre die einzelnen Schritte zum Lösen einer Differentialgleichung) b) Zeige, dass für die Halbwertszeit τ gilt: λ τ = ln 2 Halbwertszeit = Zeit, in der immer die Hälfte der vorhandenen Menge zerfällt (auch OHNE Voyage: beachte: ln 2 = ln 2 - = - ln 2 ) c) Strontium 90 hat eine Zerfallsrate von 2,4% pro Jahr. Bestimme die Zerfallskonstante λ, die Halbwertszeit τ und die Zeit, in der 95% einer Menge N 0 zerfallen! Lösungen: a) b) c) λ 0,0243 ; τ 28,6 Jahre ; in 23,3 Jahren Voyage 200: Differentialgleichungen Seite 2

3 Begrenztes Wachstum: Bsp.4: In einem Teich ist Platz für 300 Fische. Zum Zeitpunkt t befinden sich N(t) Fische im Teich. Das Fischwachstum N (t) =Änderung der Fischanzahl sei immer proportional zum noch verfügbaren Platz im Teich, also zu N(t), d.h. es gilt: N (t) = k ( 300-N(t) ). Bezeichnungen: G = 300 Grenze, Obergrenze, Gleichgewichtswert G - N(t) Freiraum a) Löse die Differentialgleichung allgemein! b) Vor 5 Tagen waren 50 Fische im Teich, heute (t=0) befinden sich bereits 60 Fische im Teich. Bestimme die Wachstumsfunktion und zeichne ihren Graphen für -50 t 300. Lösung: a) ohne Voyage: Differentialgleichung: Variablen trennen: integrieren: dn N (t) = k (300 - N(t) ) mit N (t) = dt dn = k dt 300 N(t) dn = k dt 300 N(t) ( 300 N(t) ) = k t c ln + ln 300 N(t) = k t + c N(t) explizit ausdrücken: ( ) 300 N(t) = e N(t) = 300 e k t + c k t k t a mit c e = N(t) = G a e begrenztes Wachstum a Lösung: a+b) mit Voyage: Wachstumsfunktion: N(t) = e -0,0082 t oder N(t) = ,992 t Beachte: y2=300 Asymptote Voyage 200: Differentialgleichungen Seite 3

4 Bsp.5: In einer Stadt mit Einwohnern breitet sich ein Gerücht aus: Die Anzahl der Personen, die das Gerücht neu erfahren, ist proportional zur Anzahl der Personen, die das Gerücht noch nicht kennen. Nach 5 Stunden kennen bereits 4250 Personen das Gerücht. Wie viele Personen kennen es nach 2 Stunden? Wann kennen Personen das Gerücht? Stelle die entsprechende Differentialgleichung auf, löse sie und bestimme damit eine Wachstumsfunktion. Beantworte dann die gestellten Fragen! Hinweise: N(t) Anzahl der Personen, die das Gerücht zum Zeitpunkt t kennen N (t) Änderung = Anzahl der Personen, die das Gerücht neu erfahren G = Obergrenze G N(t) Personen, die das Gerücht noch nicht kennen N(0) = zu Beginn (t=0) kennt eine Person das Gerücht Lösungsvorschlag: Bsp.6: Eine Nährlösung bietet Platz für Bakterien. Wenn vor 3 Stunden 350 und vor 2 Stunden schon 000 Bakterien in der Nährlösung waren, wie viele sind jetzt drinnen bzw. werden in 5 Stunden drinnen sein? Wann ist die Nährlösung zu 75% bzw. 95% gefüllt? Wann zu 00%? Nimm begrenztes Wachstum an, um die Fragen zu beantworten! Hinweise: Wähle günstige Zeitpunkte: vor 3 Stunden t = 0 vor 2 Stunden t = jetzt t = in 5 Stunden t = Lösungsvorschlag: Antworten: Jetzt sind ca Bakterien und in 5 Stunden werden es ca sein. Die Nährlösung ist in ca.80 Stunden zu 75% und in ca. 78 Stunden zu 95% gefüllt. Die Frage nach 00% zeigt die Grenzen des mathematischen Modells auf! Voyage 200: Differentialgleichungen Seite 4

5 Logistisches Wachstum: Annahme: Die Zunahme ist sowohl zur vorhandenen Menge als auch zum Freiraum proportional. Differentialgleichung des logistischen Wachstums: N (t) = k N(t) (G - N(t) ) dn mit N (t) = dt, G Obergrenze Bsp.7: Löse diese Differentialgleichung allgemein (Anleitung: Partialbruchzerlegung) Lösung: N(t) = G + a e Gkt Voyage: Bsp.8: Diskutiere die Funktion f(t) = e 0,4 t und zeichne ihren Graphen samt Asymptoten! ) D=R, stetig 2) keine Nullstellen 3) keine Extremstellen 4) W(5,49/5), t W : y = t - 0,49 5) waagrechte Asymptoten: y=0, y=0 6) Graph: Bsp.9: Eine Bakterienkultur wächst in einer Nährlösung, die höchstens Bakterien aufnehmen kann. Zu Beginn werden 000 Bakterien in die Nährlösung gegeben, nach 4 Stunden sind es bereits Wie viele sind es nach 8 Stunden? Wann sind es Bakterien? Wann ist eine Auslastung von 95% erreicht? Nimm logistisches Wachstum an, stelle die Differentialgleichung auf, löse sie, beantworte die Fragen und zeichne den Graphen der Wachstumsfunktion! Antworten: In 8 Stunden sind es ca Bakterien, sind es in ca. 7 3 Stunden und eine Auslastung von 95% erreicht man in ca. 26 Stunden. Voyage 200: Differentialgleichungen Seite 5

6 weitere Übungsbeispiele: Bsp.0: Vor 3 Jahren enthielt ein Stein 00 mg einer radioaktiven Substanz. Heute enthält er nur noch 60 mg dieser Substanz. Dabei ist die Abnahme immer proportional zur noch vorhandenen Menge. Stelle die Differentialgleichung auf und löse sie! Welches Wachstum liegt vor? Nach welcher Zeit enthält der Stein nur noch 0 mg der radioaktiven Substanz? Wie groß ist die Halbwertszeit? Bsp.: In einem Ort gibt es Haushalte. Eine Firma verkauft eine neue Küchenmaschine, die noch kein Haushalt hat und auch von keinem Haushalt öfter als einmal angeschafft wird. Im ersten Halbjahr wurden 950 Maschinen verkauft. Die Firma rechnet damit, dass sie nach 3 Jahren 0000 Stück verkauft hat. Überprüfe diese Annahme! Nimm dazu begrenztes Wachstum an, stelle die entsprechende Differentialgleichung auf und löse sie! Wann wird die Firma nach diesem Modell 0000 Stück verkauft haben? Bsp.2: Maximilian setzt ein Gerücht in die Welt: In seiner Heimatstadt mit Einwohnern kennen nach 4 Stunden bereits 460 Menschen das Gerücht. Wie viele Personen kennen es nach 0 Stunden? Wann kennen Personen das Gerücht? Wann kennen es über 95% der Einwohner? Stelle die entsprechende Differentialgleichung auf, löse sie und bestimme damit eine Wachstumsfunktion. Zeichne ihren Graphen und beantworte dann die gestellten Fragen! Nimm dazu a) begrenztes b) logistisches Wachstum an! Wo sind die größten Unterschiede, wo ist die Abweichung eher gering? Bsp.3: In einer autokatalytischen Reaktion wird ein Stoff X in einen anderen Stoff Y umgewandelt, die Gesamtmasse bleibt dabei gleich. Der momentane Zuwachs der Menge des Stoffes Y ist sowohl zur Menge von X als auch zur Menge von Y proportional. Nimm an, dass ursprünglich 00g von X und 25g von Y vorhanden waren und der Proportionalitätsfaktor 0,3 beträgt. Stelle für die Menge N(t) des Stoffes Y, abhängig von der Zeit t in Minuten, eine Differentialgleichung auf und löse diese! Zeichne den Graphen von N(t)! Wann sind gleich viel von X und Y vorhanden, wann ist von X weniger als 5% vorhanden? Bsp.4: Die (logistische) Wachstumsfunktion N(t) = G + a e Gkt waagrechte Asymptote bei y = 000 und den Wendepunkt bei t=5. Bestimme die Konstanten a, G und k und diskutiere die Funktion N(t)! mit N(0) = 300 hat eine Bsp.5: Löse die Differentialgleichung y (x) = 32 y(x) (60 - y(x) ) mit y(0,) = 45 a) ohne Voyage mittels Partialbruchzerlegung b) mit Voyage! Vergleiche die beiden Ergebnisse! Voyage 200: Differentialgleichungen Seite 6