Logistisches Wachstum

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1 Logistisches Wachstum Themenheft Logistisches Wachstum Sehr viele Berechnungen werden auch mit TI Nspire CAS durchgeführt, was sich empfiehlt, weil die Rechnungen teilweise sehr anspruchsvoll sind. Hier gibt es viel Theoretisches für Lehrer und Studenten, aber auch viele ganz ausführliche Beispiele, die dann in als Aufgaben aufgeführt werden. Datei Nr Stand: 23. Februar 2012 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 45830 Logistisches Wachstum 2 Hier die Übersicht über die Vielfalt der Texte zum Wachstum: Niveau Klassenstufe 10: Lineares Wachstum Aufgaben dazu Exponentielles Wachstum Finanzmathematik Didaktische Hinweise dazu Aufgaben Exponentielles Wachstum 1a Begrenztes Wachstum Aufgaben Begrenztes Wachstum 1b Niveau Oberstufe (mit Hilfsmitteln der Analysis) Zentraltext mit Übersicht Mathematische Hintergründe Quadratisches Wachstum Exponentielles Wachstum Aufgaben Exponentielles Wachstum 2a Begrenztes Wachstum Aufgaben begrenztes Wachstum 2b Logistisches Wachstum Aufgaben logistisches Wachstum Andere Wachstumsmodelle (Logistischer Zerfall, vergiftetes, chaotisches sowie verzögertes Wachstum) Im Moment sind noch alle Texte verfügbar - Februar 2012

3 45830 Logistisches Wachstum 3 1 Beispielaufgabe zum Einstieg 4 (Wachstum einer Fichte) 4 Trendwende am Wendepunkt 5 Anfangsphase des Wachstums 6 Endphase des Wachstums 7 Nachweis, dass logistisches Wachstum vorliegt 8 Differenzialgleichung des logistischen Wachstums 8 2 Übungen zu den Grundaufgaben 9 Aufgabe 1: Startwert und Grenzwert berechnen Aufgabe 2: Wendepunkt berechnen Aufgabe 3: Termumwandlung Aufgabe 4: Näherungsfunktionen für Anfangs- und Endphase 3 Rekursive Berechnung einer Wachstumsfolge 10 Herleitung der Differenzengleichung 11 4 Lösung der Differenzialgleichung überprüfen 13 Allgemein 13 Speziell am Beispiel 1 14 Speziell am Beispiel Übersicht über die Funktionsterme des logistischen Wachstums 16 Anwendung: Eine logistische Funktion aufstellen 17 6 Lösung einer Differenzialgleichung berechnen (Hochschulmethode) 18 7 Die Wachstumsrate beim logistischen Wachstum 20 Berechnung des Wendepunkts, Punktsymmetrie zu diesem 22 8 Aus der Wachstumsrate das Wachstum berechnen 24 9 Eine Tabelle auswerten (CAS-Lösung) Lösungen der Aufgaben 27-38

4 45830 Logistisches Wachstum 4 1 Beispielaufgabe zum Einstieg (1) Das Wachstum einer Fichte beginnt exponentiell, verlangsamt sich dann und geht in ein gebremstes Wachstum über. Das ist grob gesagt, das Merkmal des sogenannten logistischen Wachstums. Die Höhengleichung (Wachstumsgleichung) einer Fichte wird durch die Funktion h angegeben: = h t 0,02 + e. (h in m, t in Jahren) Mit einem geeigneten Rechner oder Mathegrafix kann man sich das Schaubild genauer ansehen: (2) Analyse des Wachstumsverlaufs: Zum Zeitpunkt des Beginns der Beobachtung (t=0) hat 0 0,02 + e 1, 02 die Fichte die Höhe h( 0) = = 0,59 ( m) Nach etwa 40 Jahren (abgelesen am Schaubild) hat sie ihre Maximalgröße etwa erreicht: limh( t) = = = 30 ( m). t 0,02 + lim e 0, t Das Schaubild hat also die waagrechte Asymptote y = 30 (für t ). Es gibt eine zweite waagrechte Asymptote: y = 0 für t, denn lim = 0 t 0,02 + e (3) Berechnung von zwei Ableitungen. Dazu verwendet man einen günstigen Funktionsterm: h t 0,02 e 0,02 + e = = ( + ) 1 ( 0,2324 t 2 ) 0,234 t h' t = 1 0,02 + e e 0,2324 : Die Kettenregel kam zweimal zur Anwendung: 1 Ableitung, also die Ableitung von e Kettenregel erneut: ( e )' e ( 0,234) 0,02 + e verlangt die innere. Und für diese Ableitung benötigt man die =. Zusammenfassen und dabei den konstanten Faktor vor den Bruch schreiben: h' t = 0,1404 e ( 0,02 + e ) 2 Dies ist zugleich die Wachstumsgeschwindigkeit. u' v+ v' u v Die Quotientenregel liefert nun schlimme Brüche: h' ( t) = 2 2 ( ) ( + ) ( + ) ( ) 4 ( 0,02 + e ) e 0,234 0,02 e 2 0,02 e e 0,234 e h'' t = 0,1404 Im Zähler kann man ( 0,02 e ) + ausklammern und dann wegkürzen:

5 45830 Logistisches Wachstum 5 h'' t = 0,1404 0,23 ( 0,02 + e ) ( 0,23 ) 4 t e 0, e ( 0, 234) 4 t 0, 234 t +, e e 0,234 ( 0,02+ e ) t 4 3 ( 0,02 + e ) e 0,234 0,02 + e 2 e 0,234 e h'' t = 0,1404 (4) Bestimmung des Wendepunkts: Man setzt den Zähler 0 und vereinfacht dann: e 0,234 0,02 + e 2 e 0,234 e = 0 0,02 + e 2 e = 0 + = 0,02 e 2 e 0 0,02 e = 0 e = 0,02 0,234 t = ln0,02 ln0,02 t = 16,7 0,234 Dazu gehört die Höhe h( 16,7) 15 ( m) Die Kurve hat also den Wendepunkt 3 stehen lassen! : 0,234 e = Dies kann man durch Einsetzen berechnen. W 16,7 15. Der Wendepunkt hat eine ganz entscheidende Bedeutung im Wachstum des Baumes. Vor Erreichen des Wendepunkts hat das Schaubild Linkskrümmung, dort nimmt die Steigung zu. Das bedeutet für den Baum, dass im Zeitintervall [ ] 0 ; 16,7 die Wachstumsgeschwindigkeit wächst. Mit anderen Worten in gleich großen Zeitspannen, etwa pro Jahr, wächst der Baum immer schneller, nimmt seine Höhe um immer größere Beträge zu. Mit Erreichen des Wendepunkts ändert sich das: Die Kurve hat nun Rechtskrümmung, die Steigung, also die Wachstumsgeschwindigkeit, geht zurück. Jetzt nimmt die Höhe pro Jahr um immer weniger zu. Das Wachstum verlangsamt sich und geht asymptotisch gegen 0. Real gesehen wird der Baum irgendwann wirklich aufhören zu wachsen, was nicht zum mathematischen Modell passt, denn eine Asymptote erreicht man ja gar nie! Der Wendepunkt markiert also die Trendwende im Wachstum. Damit ist auch klar, dass die größte Wachstumsgeschwindigkeit (gemäß diesem mathematischen Modell) genau im Wendepunkt, also zum Zeitpunkt t = 16,7 (Jahre) vorliegt. (Hier ignoriert das Modell die Tatsache, dass es Jahreszeiten gibt und somit der Baum während des Jahres unterschiedlich stark wächst.) 0,234 16,7 e m vmax = h' ( 16,7) = 0,1404 1,75 2 Jahr 0,234 16,7 ( 0,02 + e )

6 45830 Logistisches Wachstum 6 (5) Wann hat der Baum z. B. 90% seiner Maximalgröße erreicht? 90% der Maximalhöhe 30 (m) sind 90% von 30 = 0,90 30 = 27 (m) h t = ,02 e = + Bedingung: t 27 = 0,02 + e e = 0,0022 ln 0,0022 0,234 t ln 0,0022 t 90% 26,1 (Jahre) 0,234 Ob das Ergebnis mit der Wirklichkeit übereinstimmt, müsste man statistisch überprüfen: (6) Behauptung: Das Wachstum ist in der Anfangsphase annähernd exponentiell. Dazu bestimmt man eine Näherungskurve für t (nicht für x 0!), was mit Hilfe einer trickreichen Überlegung geht (die man sich für diesen Fall merken sollte): Fortsetzung auf der Mathe-CD.