Integralrechnung Rotationskörper 1

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1 Integralrechnung Rotationskörper 1 Volumenberechnung von Rotationskörpern y Datei Nr Juli 015 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen Inhalt 1. Berechnungsformel für das Volumen von Rotationskörpern um die -Achse Einführungsbeispiel 3 Training: Rotationskörperberechnung bei Drehung um die -Achse 4 (9 Musterbeispiele) 3 8 Übungsaufgaben 14 4 Herleitung der Volumenformel (nur für Interessierte) 16 5 Berechnungsformel für das Volumen von Rotationskörpern um die y-achse Kurze Herleitung der Formel 0 Trainingsbeispiele 1 Sonderfälle: Die Kurvengleichung lässt sich nicht nach umstellen 4 Erzeugung eines Rings 6 Formelübersicht 8 6 Übungsaufgaben 9 Die Lösungen der Übungsaufgaben stehen im Tet 4810.

3 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 3 Einführungsbeispiel 1 Berechnungsformel für das Volumen von Rotationskörpern um die -Achse f Gegeben ist die Funktion 9 Ihr Schaubild begrenzt mit der -Achse und den Geraden 1 und 5 eine Fläche. Wenn diese Fläche um die -Achse rotiert, entsteht ein Körper (Drehkörper oder Rotationskörper), dessen Volumen hier berechnet werden soll. Die Abbildung zeigt ein Schrägbild dieses Körpers. Die Berechnungsformel für das Volumen dieses Rotationskörpers beruht darauf, dass das Volumen eine Stammfunktion der Querschnittsfunktion ist. (Beweis für Interessierte einige Seiten später) Da wegen der Drehung jeder Querschnitt ein Kreis ist, hat jeder Querschnitt diese Fläche: r y f, denn der Funktionswert, also die y-koordinate, gibt den jeweiligen Radius an. r f6 Für das gesamte Volumen muss man alle Flächen aufsummieren, was man mit diesem Integral macht: 6 V f d Die untere Integrationsgrenze ist = 1 (die linke Begrenzungsgerade für die rotierende Fläche), die obere ist = 6 (die rechte Begrenzungsgerade. Weitere Berechnung: V 3 d 6 9 d , VE Man erkennt, dass solche Integrale schnell unhandlich groß werden. Heute haben Oberstufenschüler alle gute Rechner, die in solchen Fällen richtig nützlich sind. MERKE: Rotiert eine Fläche zwischen einer Kurve und der -Achse um die diese Achse, gilt für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers: V f d 1

4 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 4 Beispiel 1. Training Gegeben sei die Randfunktion f durch f 1. Die Abbildung zeigt die zwischen dem Schaubild K und der -Achse eingeschlossene Fläche von = 1 bis =. (Weil die Seiten parallel sind, nennt man es auch ein krummliniges Trapez.) Welches Volumen erhält der durch Rotation um die -Achse entstehende Drehkörper? Lösung 4 Zuerst quadrieren, dann integrieren: V 1 d 1 d V 1 V Screenshot des CAS-Rechners TI Nspire: Das Ergebnis einmal eakt, und einmal als Näherungs-Dezimalzahl. TurboPlot Funktionsgraphen- Parameterkurvenv3.5c >>Nicht registrierteshareware! << Hier eine Schrägbilddarstellung. Der Körper ist hier allerdings hohl dargestellt und im Maßstab leicht verzerrt.

5 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 5 Beispiel Dreht man die dargestellte Strecke AB um die -Achse, entsteht ein Kegel. Berechne sein Volumen. Lösung B Berechnung der Geradengleichung: Abgelesen: A 3 0 und R0 Steigung: y m 3 A R Geradengleichung: y (denn R ist der y-achsen-schnittpunkt). 3 Kegelvolumen als Drehkörper: V d 4 d V , Kegelvolumen mit der Kegelformel: Zum Vergleich: 1 3 V r h 10 mit dem Radius r f h 3 5. und der Höhe B A Es folgt: V

6 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 6 Beispiel 3 Leite die Volumenformel für den Kegel her. Ph r Lösung auf CD.

7 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 7 Beispiel 4 Leite die Volumenformel für die Kugel her. Lösung auf CD r Ergebnis: 4 VKugel r 3 3

8 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 8 Beispiel 5 Eine Fläche wird von einem Parabelbogen der Funktion f 4 und einer Geraden der Funktion 1 g 1 begrenzt. Bei Drehung dieser Fläche um die -Achse entsteht ein Körper, der einen Hohlraum hat. Berechne sein Volumen. S Lösung S 1 auf CD

9 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 9 Beispiel 6 Die Schaubilder der Funktionen f 4 4 und g 4 4 begrenzen eine Fläche, die sich um die -Achse dreht. Berechne das Volumen des Rotationskörpers. K f Lösung K g auf CD. Und dann noch eine 3D-Ansicht. Hier wurden die beiden Körper übereinander gelegt. Den dunklen Teil denke man sich herausgenommen, so dass eine Art Ring entsteht. y

10 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 10 Beispiel 7 Gegeben ist die Funktion f durch f Das Schaubild und die -Achse begrenzen eine Fläche. Dreht man diese um die -Achse, entsteht ein Rotationskörper. Berechne sein Volumen. Lösung: auf CD. y

11 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 11 Beispiel 8 Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y 5 1 Die Parabel und die Gerade y = 1 begrenzen ein Parabelsegment. Dreht man dieses um die Gerade g: y = 1, entsteht ein Drehkörper. Berechne dessen Volumen. Lösung auf CD.

12 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 1 Beispiel 9 Gegeben ist: 1 f e Die Fläche zwischen K, der -Achse und = 4 rotiere um die -Achse. Lösung auf CD. 3D-Ansichten:

13 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 13 Zusatzaufgabe: Man verschiebe den rechten Rand der Fläche gegen Unendlich. Besitzt dann der Rotationskörper ein endliches Volumen? Lösung auf CD. y

14 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen Übungsaufgaben (Lösungen in 4811) 1) Ein Trapez wird definiert durch die Geraden g: 1 y 4 und h: 1 4 y sowie = 0 und = 4. Dreht man dieses Viereck um die -Achse, entsteht ein Hohlkörper. Berechne dessen massives Volumen. () Gegeben: 1 5 f 3 Drehe das von K und der -Achse begrenzte Parabelsegment um die -Achse. (3) Die nebenstehende Trapezfläche rotiere um die -Achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers. (4) Ein Paraboloid entsteht durch Drehen eines Parabelsegments. Wenn wir den Radius des Grundkreises mit r und die Höhe bis zum Scheitel mit h bezeichnen ergibt sich eine Formel für das Volumen. Leite sie her. h h r r

15 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 15 (5) Das Schaubild der Funktion f mit f 4 ist eine schräg liegende Parabel. Sie begrenzt mit der -Achse eine Fläche. Welches Volumen hat der Körper, der bei Drehung dieser Fläche um die -Achse entsteht? (6) f 4. Die Fläche zwischen K, der waagerechten Asymptote und den Geraden = 1 und = 6 wird um die y-achse gedreht. Berechne das Volumen des Drehkörpers. 1 (7) Gegeben ist die Funktion f e. Ihr Schaubild K, die Tangente im Schnittpunkt mit der y-achse und die Gerade = begrenzen eine Fläche. Diese soll um die -Achse rotieren. Welches Volumen hat der Drehkörper? (8) Das Schaubild der Funktion f 4ln 1, die Koordinatenachsen und die Gerade = e begrenzen eine Fläche. Diese soll um die -Achse rotieren. Berechne den Rauminhalt des entstehenden Rotationskörpers.

16 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen Herleitung der Volumenformel (nur für Interessierte) f Im Einführungsbeispiel mit der Funktion wurde von K mit der -Achse und den Geraden 1 und 6 eine Fläche begrenzt. Diese hat um die -Achse rotiert, es entstand ein Drehkörper Die Querschnittsfläche ist an jeder Stelle ein Kreis vom Inhalt y-koordinate gibt den jeweiligen Radius an. r y f, denn der Funktionswert, also die 9 In Abbildung 3 (unten) wird der Körper bis zu = 4 dargestellt. Die rechts sichtbare Kreisfläche liegt bei = 6 und hat den Radius r f6 6 und den Querschnitt Q6 f Der Kreis der linken Randfläche hat den Radius r f 1 und den Querschnitt 19 Q1 f1. An der Stelle = 4 hat der Querschnitt den Radius 8 und die Fläche r f 4 3,11 Q 4 f 4. Man erkennt also, dass es zu 4 jeder Stelle eindeutig eine Querschnittsfläche 1 Q f 3 9 Q gibt. Das Ziel ist die Berechnung des Volumens dieses Rotationskörpers. Das erste Ergebnis der gleich folgenden Theorie lautet: 9 r f6 Die Volumenfunktion ist eine Stammfunktion der Querschnittsfunktion Das heißt: V' Q bzw. V Q()d Diese Volumenfunktion V() gibt das Volumen des Drehkörpers vom linken Rand (hier = 1) bis zu einer variablen rechten Randstelle an. V ist demnach das Volumen, das man erhält man diese Fläche mit den Begrenzungen = 1 und = um die -Achse dreht. V(6) ist dann das ganze Volumen (von = 1 bis = 6). Und nun Staunen: Wie groß ist V(1)? In diesem Fall geht die Fläche von = 1 bis = 1, besteht also nur noch aus einem Strich, und bei Drehung wird daraus nur ein Kreis und kein Körper mehr; das Volumen ist dann Null! Die Berechnungsformel für den Drehkörper von = 1 bis = 6 entsteht dann durch dieses Integral: 6 V f d 1 Allgemein beweisen wir jetzt: V f d 1

17 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen Schritt: Die Volumenfunktion ist eine Stammfunktion der Querschnittsfunktion Beweis: Das Schaubild Randfunktion f begrenzt mit der -Achse ein krummliniges Trapez A(). Dieses soll um die -Achse rotieren. Dabei entsteht ein Körper, dessen Querschnitt mit der -y-ebene rechts abgebildet ist. Weil man den variablen rechten Rand der Fläche nennen muss, wird die -Achse in t-achse umbenannt. Das vom Bogen RP oben begrenzte Kru-Li-Trap rotiert um die -Achse und erzeugt dabei einen Drehkörper vom Inhalt V(). t Um sein Volumen berechnen zu können, wendet man einen alten Trick der Differentialrechnung an. Er besteht darin, dass man eine Veränderung durchführt und dann beobachtet, was passiert, wenn man sie dann wieder rückgängig macht. Der Punkt P wird um die Strecke nach rechts bis Q verschoben. Weil jetzt der rechte Rand bei liegt, ist das neue vergrößerte Volumen V( ). Für den Volumenzuwachs gilt: V V( ) V(). Den Volumenzuwachs kann abschätzen, wenn man die Volumenscheibe V zwischen zwei Zylindereinschließt: Ein innenliegender Zylinder (links), der in P berührt und ein außen herum liegender Zylinder, der bis Q heranreicht. Innere Zylinder: Volumenzuwachs: Äußere Zylinder: i i V r h V a a V r h Radius = y P = f() Radius = y f Höhe i Höhe. V f i Q V f Inneres Zylindervolumen < V < Äußeres Zylindervolumen f V f Division durch liefert: V f f (1)

18 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 18 Jetzt wird die Volumenvergrößerung wieder rückgängig gemacht, wobei Q wieder nach P rückt. Dazu gehört 0 geht. Wir beobachten, wie sich dabei die Ungleichung (1) verändert- Auf der linken Seite ändert sich nichts, weil sie von unabhängig ist. Rechts wird f zu f(). V In der Mitte steht der Bruch. Aus ihm wird 0, was nicht weiter hilft. 0 y Man sollte sich jedoch an diese Formel erinnern lim f ' (Siehe Einführung der Ableitung). Daher gilt hier analog: V lim V ' 0 Mit der Doppelungleichung (1) dann passiert also folgendes: V f f bleibt wird zu V '() wird zu f() Also nähert sich der rechte Rand dem linken an, wobei der mittlere Bruch ständig dazwischen liegt. Schließlich (wenn 0 ist), sind alle drei zusammengefallen und somit gleich: Das heißt, es gilt: V' f () Mit anderen Worten: V ist eine Stammfunktion der rechts stehenden Querschnittsfunktion.

19 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 19. Schritt: Ermittlung der Stammfunktion V in einem Beispiel Beispielfunktion: f. Die Querschnitte sind Kreise mit Q r f 4 4 r f und dem Inhalt Die Querschnittsfunktion ist laut obiger Rechnung die Ableitung der V. Volumenfunktion V' Q 4r Durch Integration entsteht die Stammfunktion: 1 (3) V Q()d 4 d 4 C C Berechnung des Volumens: Man kann die Integrationskonstante C berechnen aus dieser Randbedingung berechnen: Der linke Rand des Drehkörpers soll bei = 1 liegen! Die darauf folgende Konsequenz ist die, dass dann das Volumen von = 1 bis = 1 Null ist. Man schreibt dies so: V1 0 (denn gibt ja den rechten Rand an, und der soll ja 1 sein). Also lautet unsere Randbedingung: V1 0 Eingesetzt in (3): 1C 0 Daraus folgt: C Somit lautet die Volumenfunktion für unser Beispiel: V Man kann jetzt zu jedem > 1 das Volumen berechnen: Wenn der rechte Rand = 6 ist, folgt: V Schritt: Ermittlung der Stammfunktion V allgemein: Die allgemeine Randfunktion sei y f verläuft. Dann ist die Querschnittsfunktion. Wir setzen (unser Kurvenbogen oberhalb der -Achse Q f. Da die Volumenfunktion dazu eine Stammfunktion ist, berechnen wir sie durch Integration. V Q d S C (4) wobei S die Stammfunktion von Q sei. Randbedingung zur Berechnung von C: Der linke Rand des Drehkörpers soll bei = a liegen, Also gilt: V a S a C C S a. Va 0. Aus (3) folgt. Vergleicht man beides, erhält man Somit lautet die Volumenfunktion: V S Sa Gesamtvolumen des Drehkörpers: Vb Sb Sa (5) Dies ist genau die Schreibweise, die beim bestimmten Integral Verwendung findet. b a genau dasselbe. a b Also liefert die Formel: V f d S SbSa Ergebnis: Das Volumen eines Rotationskörpers um die -Achse wird so berechnet: a b b b a V b Q d f d S S b S a a a

20 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen 0 5 Berechnungsformel für das Volumen von Rotationskörpern um die y-achse auf CD