ALGEBRA UND GEOMETRIE

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1 ALGEBRA UND GEOMETRIE

2 VERKAUFSPREIS Für einen Laufmeter Stoff betragen die Selbstkosten S Euro, der Verkaufspreis ohne Mehrwertsteuer N Euro. a) Gib eine Formel für den Gewinn G in Abhängigkeit von N und S an. b) Der Gewinn beträgt x % von S. Gib eine Formel für x in Abhängigkeit von S und G an. c) Gib eine Formel für den Verkaufspreis B inklusive 20% Mehrwertsteuer in Abhängigkeit von N an. QUADRATISCHE GLEICHUNG 2 Für welche Werte von a R hat die Gleichung x² = a keine reelle Lösung, genau eine reelle Lösung bzw. zwei reelle Lösungen? Begründe deine Antwort! PARALLELITÄT 3 Gegeben sind zwei Gerade g und h durch die folgenden Gleichungen: g: x + y = 3 h: 3x + by = c (b, c R) Für welche Werte von b und c haben die Geraden g und h keinen Punkt gemeinsam? Gib alle möglichen Lösungen an.

3 WELTCUPRENNEN BORMIO Im italienischen Bormio findet jährlich ein Abfahrtsrennen in Rahmen des Skiweltcups statt. Die Abfahrtsstrecke ist insgesamt 3270m lang. Der Start befindet sich in 2255m Höhe, das Ziel in einer Höhe von 1245m. Das maximale Gefälle der Strecke beträgt 63%. a) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Rennläufers in km/h, der die Strecke in 1 Minute und 54,23 Sekunden bewältigt. b) Erläutere mit Hilfe einer Skizze, was ein Gefälle (Steigung) von 63% bedeutet. Bestimme den Winkel, den eine Strecke mit einem Gefälle von 63% mit der Horizontalen bildet. c) Berechne das durchschnittliche Gefälle der Abfahrtsstrecke von Bormio in Prozent. PARALLEL UND NORMAL a) Bestimme die Gleichung der Geraden g 1, die durch den Punkt P(-1/2) geht und zur Geraden g: 3x + y = 1 parallel ist. b) Bestimme die Gleichung der Geraden n 1, die durch den Punkt P(-1/2) geht und zur Geraden g: 3x + y = 1 normal ist. LUFTDRUCK Der atmosphärische Luftdruck p(h) nimmt mit zunehmender Höhe h ab. k h Es gilt das Gesetz p( h) = p e. p 0 : Luftdruck in Meereshöhe 0 p(h): Luftdruck in der Höhe h k: Konstante Der Luftdruck auf Meeresniveau (h = 0m) beträgt 1013mbar, in 4000m Höhe nur mehr 600mbar. a) Berechne den Luftdruck am Hochschwabgipfel (2277m). b) In welcher Höhe beträgt der Luftdruck nur mehr die Hälfte des Drucks in der Höhe h = 0m?

4 IDENTE GERADE g1 h1 Gegeben sind die beiden Geraden g: X = P + t g2 und h: X = Q + s h2. g 3 h3 Welche Schritte sind notwendig um nachzuweisen, dass die Geraden ident sind? POTENZEN UND LOGARITHMEN 3 Bestimme rationale Zahlen x, y, z so, dass folgende Aussagen gelten : a) 2 x = 8 b) c) 1 2 y = 8 z 3 2 = 4 ABSTAND PUNKT - GERADE IM RAUM 2 Gegeben ist der Punkt P(4/2/-3). a) Was versteht man unter dem Abstand eines Punktes P zur Geraden g? b) Berechne den Abstand von P zur y-achse (2. Achse).

5 FUNKTIONALE ABHÄNGIGKEIT

6 WANDERN 2 (GRAFISCH) Stefan verlässt um 8 Uhr Krems und marschiert mit konstanter Geschwindigkeit von 6km/h nach dem 29km entfernten Spitz. Gleichzeitig macht sich Edith von Spitz auf den Weg nach Krems, wobei ihre konstante Geschwindigkeit 3km/h ist. Löse grafisch, zu welchem Zeitpunkt sie einander begegnen. FUNKTION Gib die Funktionsgleichungen der durch die Graphen f 1 und f 2 dargestellten Funktionen an. f 1 :... f 2 :...

7 KRAFTSTOFFVERBRAUCH Hier ist der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und dem Kraftstoffverbrauch pro 100 km für eine bestimmte Automarke dargestellt. a) Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Kraftstoffverbrauch 7 l pro 100 km? b) Wie groß ist der Kraftstoffverbrauch bei einer Geschwindigkeit von 80 km/h? BIOBAUER Bei einem Biobauern kauft man 1 kg Kartoffeln um 0,38. Für die Fahrtkosten hin und zurück müssen allerdings noch 7,40 veranschlagt werden. a) Stelle eine Formel für die Kosten K(x) auf, die sich aus den Fahrtkosten und dem Preis für x kg Kartoffeln ergeben! b) Kauft man 1 kg derselben Kartoffelsorte im Geschäft, so bezahlt man pro kg 0,46. Wie viel kg Kartoffeln muss man mindestens kaufen, damit sich die Fahrt zum Biobauern lohnt? c) Bei welcher Menge Kartoffeln ist der Preisunterschied zwischen Geschäft und Biobauern größer als 25,--?

8 FUNKTIONSGRAPHEN ZUORDNEN 2 s² t Gegeben ist die Formel r = für r, s, t, u > 0. u a) t und u sind konstant, r = f(s): Welcher der dargestellten Funktionsgraphen stellt die Funktion f(s) dar? b) s und u sind konstant, r = f(t): Welcher der dargestellten Funktionsgraphen stellt die Funktion f(t) dar? c) s und t sind konstant, r = f(u): Welcher der dargestellten Funktionsgraphen stellt die Funktion f(u) dar? Trage in die Tabelle die entsprechenden Funktionen f 1, f 2, f 3, f 4 ein: a) b) c) 2. Achse 2. Achse f 1 f 2 1. Achse 1. Achse 2. Achse 2. Achse f 3 f 4 1. Achse 1. Achse

9 FUNKTIONSEIGENSCHAFTEN 1 Kreuze in der Tabelle an, in welchen Intervallen die abgebildete Funktion a) [ - 5 ; - 3 [ b) [ 4 ; 5 ] c) [ - 2 ; 0 ] streng monoton fallend ist. streng monoton steigend ist. konstant ist.

10 LINEARE FUNKTION Gegeben sind die Geraden g 1, g 2 und g 3 sowohl durch ihre Graphen als auch durch ihre Gleichungen. Für jede der Geraden ist außerdem ein Steigungs-Dreieck eingezeichnet, allerdings fehlen in den Darstellungen die x-achsen. Zeichne jeweils die x-achse so ein, dass die dargestellte Gerade die gegebene Gleichung hat. g 1 g 2 g 3 g 1 : y = 2 3 x g2 : y = 2 3 x - 3 g3 : y = 2 3 x + 2 SCHACHTELVOLUMEN Aus einem quadratischen Stück Pappe (Seitenlänge 6 dm) soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden in den vier Ecken kleinere (gleich große) Quadrate mit der Seitenlänge x herausgeschnitten. Die dabei entstehenden Rechteckstreifen werden aufgebogen, damit eine Schachtel (ohne Deckel) entsteht. a) Ermittle eine Funktionsgleichung für das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von x. Stelle eine Wertetabelle für diese Funktion auf und zeichne den zugehörigen Graphen. b) Suche in der Tabelle bzw. im Graphen jenen Wert x, für den die Schachtel ein möglichst großes Volumen hat.

11 SCHNITT EINER KURVE MIT DER Y- ACHSE Gegeben: f(x) = c a x (c R, a > 0) Gib die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-achse an. REKURSIVES MODELL Gegeben ist das rekursive Funktionsmodell: N(t+1) = q.n(t) a) Stelle die Funktionen für q=1,2 und q=0,8, sowie N(0)=1000 grafisch dar (Ausdruck oder Skizze). Gib die dazugehörigen Wertetabellen im Intervall [0; 10] an. b) Für welche Prozesse könnten solche Funktionen mathematische Modelle sein? WACHSTUM Vom Graphen eines Wachstumsprozesses sind zwei Punkte bekannt: A(2 4), B(4 6). a) Gib die Gleichung der Funktion f(x) an, mit der der Wachstumsprozess beschrieben werden kann, wenn lineares Wachstum angenommen wird. b) Gib die Gleichung der Funktion g(x) an, wenn exponentielles Wachstum angenommen wird. c) Skizziere die Graphen der beiden Funktionen f und g im Intervall [0;6].

12 EXPONENTIALFUNKTION x 1 Skizziere die Graphen der Funktionen f 1 : y = 2 und f2 : y = im Intervall [-3 ; 3] in das 2 vorgegebene Koordinatensystem und beschrifte sie entsprechend mit f 1 und f 2. x

13 TRIGONOMETRISCHE FUNKTION 1 Skizziere zum vorgegebenen Graphen der Funktion f(x) = sin(x) den Graphen der Funktion a) g(x) = 2 sin(x) b) h(x) = - sin(x)

14 TRIGONOMETRISCHE FUNKTION 3 Skizziere zum vorgegebenen Graphen der Funktion f(x) = sin(x) den Graphen der Funktion π g(x) = sin x +. 2

15 TRIGONOMETRISCHE FUNKTION 7 Skizziere zum vorgegebenen Graphen der Funktion f(x) = sin(x) den Graphen der Funktion g(x) = sin(2x).

16 HALBWERTSZEIT Ein radioaktiver Stoff der Menge N 0 zerfällt nach dem Gesetz N(t) = N 0 e -λt. N(t) ist die zur Zeit t noch vorhandene Menge des radioaktiven Stoffes, λ ist eine für das jeweilige Material typische Größe. Unter der Halbwertszeit τ des Stoffes versteht man jene Zeitspanne, in der die Hälfte des Materials zerfallen ist. Begründe, warum die Zahl τ nicht von der ursprünglich vorhandenen Menge abhängt. POLYNOMFUNKTION 3. GRADES Gegeben ist die Polynomfunktion 3. Grades f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Wie viele reelle Nullstellen kann diese Funktion besitzen? Belege jeden möglichen Lösungsfall durch eine passende Skizze.

17 FUNKTIONSGRAPH Lies aus dem Graphen der dargestellten Polynomfunktion 4. Grades die x-koordinaten folgender Punkte möglichst genau ab: a) Nullstellen b) Extrempunkte (Art der Extrema) c) Wendepunkte d) Bestimme die Monotoniebereiche der Funktion.

18 DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

19 FREIER FALL Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit Weg Funktion s(t) durch s(t) Dabei ist g 10 m/s² die Fallbeschleunigung. a) Welchen Weg legt der Körper in den ersten drei Sekunden zurück? b) In welcher Zeit legt er die ersten 20 m zurück, wenn s(0) = 0 ist? c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [2 ; 4] Sekunden. d) Berechne die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 Sekunden. g 2 t 2 = gegeben. TANGENTENANSTIEG Gegeben ist die Funktion f: y = -x² + 6x 5. a) Berechne die Koordinaten jenes Punktes P des Funktionsgraphen, in dem die Tangente parallel zur x-achse verläuft. b) Berechne den Schnittpunkt S des Graphen mit der y-achse und gib die Gleichung der Tangente in diesem Punkt an. c) Berechne die Koordinaten jenes Punktes Q des Funktionsgraphen, in dem die Tangente parallel zur Geraden g: 4x - y = 8 verläuft.

20 BESTIMMTES INTEGRAL Die stetige reelle Funktion f mit dem abgebildeten Graphen hat Nullstellen bei x 1 = 1, x 2 = 3 und x 3 = 6. Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? Kreuze an! 6 a) f(x) dx < 0 richtig falsch 1 3 b) dx + f(x) dx > 1 6 f(x) 0 richtig falsch 3 6 c) f(x) dx + f(x) dx > richtig falsch 3 3 d) f(x) dx > 0 und f(x) dx < 0 richtig falsch e) f(x) dx < 2 richtig falsch 1 f) 6 f(x) dx ergibt den Flächeninhalt zwischen Graph und 1 x-achse im Intervall [1; 6]. g) 6 f(x) dx ergibt den Flächeninhalt zwischen Graph und 1 x-achse im Intervall [1; 6]. 3 6 h) f(x) dx + f(x) dx ergibt den Flächeninhalt zwischen 1 3 Graph und x-achse im Intervall [1; 6]. richtig falsch richtig falsch richtig falsch

21 FLÄCHE ZWISCHEN ZWEI KURVEN Aufgabenstellung: Die Funktionsgraphen von f und g schließen ein gemeinsames Flächenstück ein. Welche der folgenden Berechnungsvorschriften zur Ermittlung dieses Flächeninhalts sind richtig bzw. falsch? Kreuze an. richtig falsch

22 WAHRSCHEINLICHKEIT UND STATISTIK

23 TAGESUMSÄTZE Die Tagesumsätze (in ) eines Restaurants für eine bestimmte Woche sind in folgendem Diagramm angegeben: Sonntag Samstag Freitag Donnerstag Mittwoch Dienstag Montag a) Um wie viel wird am Samstag mehr als am Montag umgesetzt? b) Wie groß ist der durchschnittliche Tagesumsatz in dieser Woche?

24 MULTIPLE CHOICE 1 Bei einem Aufnahmetest werden vier Fragen mit je drei Antwortmöglichkeiten gestellt, wobei jeweils genau eine Antwort richtig ist. Der Kandidat kreuzt rein zufällig jeweils eine Antwort an. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der richtigen Antworten an. a) Um welche Art der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X handelt es sich? Begründe deine Antwort. b) Stelle die Verteilung von X grafisch dar. Bestimme den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwei Antworten richtig anzukreuzen? TÖCHTER Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Geburt das Kind ein Mädchen ist, sei p = 0,5. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Familie mit vier Kindern 0, 1, 2, 3 beziehungsweise 4 Mädchen gibt? b) Unter 200 Familien mit je vier Kindern wurde die Anzahl der Töchter festgestellt und nebenstehendes Ergebnis protokolliert: Anzahl der Töchter Anzahl der Familien Berechne die relativen Häufigkeiten der Anzahl der Töchter in den Familien. c) Vergleiche die Ergebnisse aus a) und b). Begründe, warum sich die relativen Häufigkeiten aus b) zum Teil wesentlich von den in a) prognostizierten Werten unterscheiden. ÄPFEL Äpfel sind hinsichtlich ihrer Masse annähernd normalverteilt mit µ = 200g und σ = 50g. Äpfel, die weniger als 150g wiegen, werden als zu klein nicht als Speiseobst zum Verkauf zugelassen. Die übrigen Äpfel werden in die Kategorien Standard und Extragroß so eingeteilt, dass der Anteil von beiden gleich groß ist. Bei welcher Masse liegt die Grenze zwischen Standard und Extragroß?